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浙教版九上第四章《相似三角形》专题：A字形、8字形 专项练习
一．试题（共20小题）
1．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD AB；④AB CD＝AC BC．其中不能判定△ACD∽△ABC的是 （填序号）．
2．已知△ABC中，AD∥BC，CD交AB于E，EF∥BC，AE：EB＝1：2，S△ADE＝1，则S△AEF＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为 ．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，已知∠D＝∠ACB，那么补充下列条件后不能判定△ADC∽△ACB的是（ ）
A．AC平分∠DAB B．∠DCA＝∠B
C． D．
8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG＝DF＝3，GD＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，过点O的直线与AB，CD分别相交于点E，F，若AB＝2，CD＝4，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（ ）
A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2
11．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
12．如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 ．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果DF＝10，那么DE＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．
15．如图，在 ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F．若AE：EB＝1：2，则S△AEF：S△ABC＝ ．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝ ．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝7，DE＝3，BD＝4，求AE的长．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE AB．连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE，求AE的长．
19．如图，已知 ABCD，BD⊥CD于点D．延长CD至E，使DE＝2CD，连结AE．
（1）求证：BC＝AE．
（2）连结BE交AD于点F，若BE⊥AD，AF＝1，求四边形ABCE的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．动点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段CP的中点Q，过点P作PN⊥CB，在BC的上方取线段PN，使PN＝2PQ，以PQ、PN为边作矩形PQMN．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MQ的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点N在边AB上时，求t的值；
（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上第四章《相似三角形》专题：A字形、8字形 专项练习
一．选择题（共9小题）
题号 2 3 4 6 7 8 9 10 11
答案 C D C D C D C D A
一．试题（共20小题）
1．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD AB；④AB CD＝AC BC．其中不能判定△ACD∽△ABC的是 ④ （填序号）．
【思路点拔】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：①∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
②∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
③∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
④条件不符合，不能判定△ACD∽△ABC，
故答案为：④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键是要对相似三角形的判定定理很熟练．
2．已知△ABC中，AD∥BC，CD交AB于E，EF∥BC，AE：EB＝1：2，S△ADE＝1，则S△AEF＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】已知AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得出AE：EB＝AF：FC，也就求出EF与AD的比例关系；由于△ADE和△AEF等高，因此它们的面积比等于底边比，已知了EF、AD的比例关系，根据△ADE的面积即可求出△AEF的面积．
【解答】解：∵AD∥EF∥BC，
∴，
∴，
∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3，
∵S△ADE＝1，
∴S△AEF．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积的计算公式．注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
4．如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
【思路点拔】过点D作DH∥BE，交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HE，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，交AC于H，
则，
∵D是△ABC的边BC的中点，
∴CD＝DB，
∴CH＝HE，
∵DH∥BE，
∴AE：EH＝AF：FD＝1：2，
∴AE：CE＝1：4，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为 或2 ．
【思路点拔】根据折叠的性质得到BE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝4，
∴CE＝4﹣BE，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，即或，
解得：BE或2，
故答案为：或2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
【思路点拔】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7．如图，在四边形ABCD中，已知∠D＝∠ACB，那么补充下列条件后不能判定△ADC∽△ACB的是（ ）
A．AC平分∠DAB B．∠DCA＝∠B
C． D．
【思路点拔】由AC平分∠DAB，得∠DAC＝∠CAB，而∠D＝∠ACB，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADC∽△ACB，可判断A不符合题意；由∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB，可证明△ADC∽△ACB，可判断B不符合题意；因为，∠D＝∠ACB不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，所以C符合题意；由，∠D＝∠ACB，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADC∽△ACB，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
故A不符合题意；
∵∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
故B不符合题意；
∵，∠D＝∠ACB不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，
∴，∠D＝∠ACB不能证明△ADC与△ACB相似，
故C符合题意；
∵，∠D＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG＝DF＝3，GD＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据AB∥CD∥EF，得到，再代入数据计算即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AG＝DF＝3，GD＝1，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，过点O的直线与AB，CD分别相交于点E，F，若AB＝2，CD＝4，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由AB∥CD，证明△AOB∽△COD，因为AB＝2，CD＝4，所以，由AE∥DF，证明△AOE∽△DOF，得，但不一定等于，不一定等于，可判断C符合题意，A不符合题意，B不符合题意；由，得，由不一定等于，证明不一定等于，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD与BC相交于点O，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵过点O的直线与AB，CD分别相交于点E，F，
∴AE∥DF，
∴△AOE∽△DOF，
∴，但不一定等于，不一定等于，
故C符合题意，A不符合题意，B不符合题意；
∵，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定等于，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AOB∽△COD及△AOE∽△DOF是解题的关键．
10．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（ ）
A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2
【思路点拔】根据题意及平行四边形的性质，证明△ABF∽△CEF，即可解答．
【解答】解：∵DE：EC＝1：2，
∴EC：CD＝2：3，
∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
即EC：AB＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF：EF＝AB：EC＝3：2，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
11．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【思路点拔】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
12．如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 1：3 ．
【思路点拔】根据相似三角形的性质得到△AOB与△COD的相似比＝OB：OD．
【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比．
13．如图，已知l1∥l2∥l3，AB：BC＝1：2，如果DF＝10，那么DE＝ ．
【思路点拔】首先由已知l1∥l2∥l3，证得又由AB：BC＝1：2，DF＝10，即可求得DE的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB：BC＝1：2，AB+BC＝AC，
∴AB：AC＝1：3，
∵DF＝10，
∴DE：10＝1：3，
∴DE．
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理．解题时要注意找准对应关系，注意数形结合思想的应用．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．
【思路点拔】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．
15．如图，在 ABCD中，点E在边AB上，连接DE，交对角线AC于点F．若AE：EB＝1：2，则S△AEF：S△ABC＝ ．
【思路点拔】利用平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，S△ACD＝S△ABC，利用比例的性质得到，证明△AEF∽△CDF得到，，进而推出，再利用图形面积之间的比例关系即可求解．
【解答】解：由题意可得：AB∥CD，AB＝CD，S△ACD＝S△ABC，
∴，
∴，
由题意可得：△AEF∽△CDF，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝ 2 ．
【思路点拔】取CD中点G，连接OG，可得OG为△BDC的中位线，可得OG＝2，再证明△ECF∽△EGO，推出，即可得答案．
【解答】解：取CD中点G，连接OG，如图：
∵O为BD中点，G为CD中点，
∴OG为△BDC的中位线，
∴OG∥BC，且OGBC＝4，
又∵CECD，CF∥OG，
∴△ECF∽△EGO，
∴，
又OG＝4，
∴CF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解此题的关键．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝7，DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【思路点拔】（1）由CD＝CE，得∠CED＝∠CDE，可证明∠CEA＝∠ADB，而∠DAC＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACE∽△BAD；
（2）由相似三角形的性质得，而CE＝7，DE＝3，BD＝4，则，求得AE＝4．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CDE，
∴∠CEA＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，即∠EAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD．
（2）解：∵△ACE∽△BAD，
∴，
∵CE＝7，DE＝3，BD＝4，
∴，
解得AE＝4或AE＝﹣7符合题意，舍去），
∴AE的长为4．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠CEA＝∠ADB，进而证明△ACE∽△BAD是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE AB．连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE，求AE的长．
【思路点拔】（1）根据AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE AB可得出，进而即可证出△ABD∽△ADE；
（2）证明△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，结合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度，则AE的长可求出．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE AB，
∴，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，
△DCE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．如图，已知 ABCD，BD⊥CD于点D．延长CD至E，使DE＝2CD，连结AE．
（1）求证：BC＝AE．
（2）连结BE交AD于点F，若BE⊥AD，AF＝1，求四边形ABCE的面积．
【思路点拔】（1）作AH⊥CE，则四边形BDHA是矩形，证明BC＝AD＝AE即可；
（2）根据四边形ABCE 的面积＝ ABCD的面积+△ADE 的面积求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
作AH⊥CE，
∵BD⊥CD，
AHD＝∠BDH＝∠DBA＝90°，
∴四边形BDHA是矩形，
∴AB＝CD＝DH，
又∵DE＝2CD，
∴DH＝HE，即AH是DE中垂线，
∴AD＝AE＝BC；
（2）解：∵DE＝2CD，AB∥DE，
∴，
∴DF＝2，AD＝3，
∴AE＝AD＝3，
又∵BE⊥AD，
∴，
∴
∴四边形ABCE 的面积＝ ABCD的面积+△ADE 的面积＝
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．动点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段CP的中点Q，过点P作PN⊥CB，在BC的上方取线段PN，使PN＝2PQ，以PQ、PN为边作矩形PQMN．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MQ的长为 2t （用含t的代数式表示）；
（2）当点N在边AB上时，求t的值；
（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【思路点拔】（1）根据时间乘以速度得CP＝2t，可得CQ＝PQ＝t，再根据PN＝2PQ得出答案；
（2）说明△BNP∽△BAC，可得答案；
（3）分三种情况当0＜t≤2时，当时，当时，画出图形，再求出面积即可．
【解答】解：（1）根据题意可知CP＝2t，
∵点Q是CP的中点，
∴CQ＝PQ＝t，
∴PN＝2PQ＝2t；矩形PQMN中，MQ＝PN＝2t，
故答案为：2t；
（2）如图，当点N在边AB上时，
∵PN⊥BC，
∴∠C＝∠BPN＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BNP∽△BAC，
∴，即，
解得t＝2；
（3）当0＜t≤2时，S＝t 2t＝2t2，
当点M在AB上时，可知△BMQ∽△BAC，
∴，即，解得；
当时，根据题意可知BP＝PD＝8﹣2t，
∴MN＝DN＝2t﹣8+2t＝4t﹣8，
∴；
当时，根据题意，得 PD＝PB＝8﹣2t，EQ＝BQ＝8﹣t，QP＝t，
∴．
∴S与t之间的函数关系式为S8t或S＝﹣6t2+32t﹣32．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
