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浙教版九上第四章《相似三角形》专题：母子形与K字形 专项练习
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A A A B C B D B A B
题号 12 13
答案 B C
一．选择题（共13小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（ ）
A．2 B． C． D．5
【思路点拔】首先根据矩形的性质，求得AD∥BC，即可得到∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABM∽△DEA，由△ABM∽△DEA可以得到，根据勾股定理可以求得AD的长，继而得到答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵M是边BC的中点，BC＝3，AB＝2，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，掌握相关形式是解题的关键．
2．如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）米．
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拔】根据题意证△CHO∽△OHD，求出树高OH即可．
【解答】解：如图：
由题知，OH⊥CD，∠COD＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，∠C+∠COH＝90°，
∴∠COH＝∠D，
∵∠CHO＝∠OHD＝90°，
∴△CHO∽△OHD，
∴，
∵CH＝1米，DH＝4米，
∴OH＝2米，
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【思路点拔】依据矩形的性质以及折叠，即可得到AD，DE，CE的长；再根据△ADE∽△ECF，利用对应边成比例即可得CF的长．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，
∴CD＝6，
又∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝3，
Rt△ADE中，AD3，
由题可得，∠D＝∠C＝∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠EFC+∠CEF，
∴∠AED＝∠EFC，
∴△ADE∽△ECF，
∴，即，
解得CF，
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的性质以及勾股定理的运用，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，且不与A，D重合，过点P作PE⊥CP交AB于点E，设PD＝x，AE＝y，则y于x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】由矩形的性质得∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，因为PE⊥CP交AB于点E，AD＝4，PD＝x，AE＝y，所以∠CPE＝90°，PA＝4﹣x，推导出∠AEP＝∠DPC，可证明△AEP∽△DPC，则，所以yx2x，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，
∵P是AD上的动点，PE⊥CP交AB于点E，PD＝x，AE＝y，
∴∠CPE＝90°，PA＝4﹣x，
∴∠AEP＝∠DPC＝90°﹣∠APE，
∴△AEP∽△DPC，
∴，
∴，
整理得yx2x，
故选：A．
【点评】此题重点考查函数关系式、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEP∽△DPC是解题的关键．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若CE＝2，OC＝3，则矩形的面积为（ ）
A．24 B．12 C．10 D．8
【思路点拔】由矩形的性质得OA＝OC＝OD＝OB，则S△AOD＝S△AOB＝S△COB＝S△CODS矩形ABCD，由CE⊥BD于点E，CE＝2，OD＝OC＝3，求得S△CODOD CE＝3，则S矩形ABCD＝4S△COD＝12，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OCAC，OD＝OBBD，且AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∴S△AOD＝S△AOB＝S△COB＝S△CODS矩形ABCD，
∵CE⊥BD于点E，CE＝2，OD＝OC＝3，
∴S△CODOD CE3×2＝3，
∴S矩形ABCD＝4S△COD＝12，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、三角形的面积公式等知识，推导出OA＝OC＝OD＝OB，进而证明S△AOD＝S△AOB＝S△COB＝S△COD是解题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由菱形的面积公式得到FG＝AE＝3，由勾股定理求出AG＝2，判定△EAG∽△DAE，推出AE：AD＝AG：AE，求出AD，即可得到菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC＝CD，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∵AE⊥CD，
∴形ABCD的面积＝BC FG＝CD AE，
∴FG＝AE＝3，
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣3＝1，
∴AG2，
∵∠AGE＝∠AED＝90°，∠EAG＝∠DAE，
∴△EAG∽△DAE，
∴AE：AD＝AG：AE，
∴3：AD＝2：3，
∴AD，
∴菱形的边长为．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出FG＝AE＝3，判定△EAG∽△DAE，推出AE：AD＝AG：AE．
7．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE时，则AD的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【思路点拔】首先由翻折性质得到△ADE≌△DEF，所以AD＝DF，AE＝EF，再利用一线三等角证明出△BDF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边的比相等计算出DF的长即可解答．
【解答】解：∵△ABC边长为4，AE，
∴CE＝4，
∵由翻折性质得：△ADE≌△FDE，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∵∠DFE＝∠A＝60°，
∴∠DFB+∠EFC＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠EFC+∠CEF＝120°，
∴∠CEF＝∠DFB，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴BD：CF＝BF：CE＝DF：FE＝1：，
∴DFFE，
∴AD＝DF．
故选：B．
【点评】本题重点考查了折叠的两个图形全等、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是利用一线三等角证明三角形相似．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，有三个正方形CDEF、DGHK、GRPQ，它们分别是△ACB、△EDB和△HGB的内接正方形，EF＝10cm，HK＝7cm，则第三个正方形的边长PQ的长（ ）
A．4cm B．5cm C．4.5cm D．4.9cm
【思路点拔】先由相似三角形的判定可得△QPH∽△KHE，再由相似三角形的性质可得QP：KH＝QH：KE，然后将已知条件代入，即可求得PQ的长度．
【解答】解：∵PQ∥HK，∴∠QPH＝∠KHE，
又∵∠PQH＝∠HKE＝90°，
∴△QPH∽△KHE，
∴QP：KH＝QH：KE，
设正方形GRPQ的边长为xcm．
又∵正方形CDEF的边长为10cm，正方形DGHK的边长为7cm，
∴x：7＝（7﹣x）：3，
解得x＝4.9．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到△QPH∽△KHE是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G．则S△BGF：S△BAF＝（ ）
A． B．2：3 C． D．
【思路点拔】设正方形的边长为2a，由勾股定理求得，易证△DEG∽△BAG，得到，进而求得，再证△ABF∽△EAD，利用相似三角形的性质求得，于是，最后进一步求比值即可．
【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝AD＝AC＝2a，AB∥CD，
∵点E为边CD的中点，
∴，
在Rt△ADE中，，
∵AB∥CD，
∴△DEG∽△BAG，
∴，
又∵，
∴，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°＝∠EDA，
∵∠BAF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠BAF＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴S△BGF：S△BAF＝FG：AF＝2：3，
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练运用以上知识点解题是关键．
10．如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，∠AFD＝∠FDE＝∠DEB，点G是EF的中点，连接AG并延长交BC于点H，已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】AH交DF于Q点，如图，先证明DE∥AC，DF∥CE，则可判断四边形CEDF为平行四边形，所以DF＝CE，设DF＝3x，BC＝7x，CE＝3x，BE＝4x，接着证明△EHG∽△FQG，利用相似比得到EH＝FQ，然后证明△ADE∽△ABC，则，证明△AQF∽△AHC得到，设QF＝3t，CH＝7t，则EH＝3t，CE＝10t，所以10t＝3x，解得tx，则CHx，然后计算的值．
【解答】解：AH交DF于Q点，如图，
∵∠AFD＝∠FDE＝∠DEB，
∴DE∥AC，DF∥CE，
∴四边形CEDF为平行四边形，
∴DF＝CE，
∵，
∴设DF＝3x，BC＝7x，
∴CE＝3x，
∴BE＝BC﹣CE＝4x，
∵FQ∥EH，
∴△EHG∽△FQG，
∴1，
即EH＝FQ，
∵DF∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵QF∥CH，
∴△AQF∽△AHC，
∴，
∴设QF＝3t，CH＝7t，
∴EH＝3t，
∵CE＝EH+CH＝10t，
∴10t＝3x，
解得tx，
∴CH＝7tx，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
11．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则GH的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【思路点拔】证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算推理即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD，AB＝6，
∴AB＝AD＝CD＝6，
∵正方形CEFG，CE＝2，
∴CE＝GF＝CG＝2，
∴DG＝CD﹣CG＝4，
由题意得AD∥GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，即，
解得DH＝3，
∴GH＝DG﹣DH＝4﹣3＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，AE、BD交于点G，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接DF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如图：过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，过F作FN⊥CD于点N，易证△ABE≌△EMF可得AB＝EM，BE＝MF，设正方形ABCD的边长为a，则，易证四边形CMFN为正方形可得进而得到，再证明△AGD∽△EGB，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后代入求值即可．
【解答】解：如图：过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，过F作FN⊥CD于点N，
∴∠FME＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FME＝∠ABC，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠CEF+∠BEA＝90°．
∴∠CEF＝∠BAE，
∵AE＝EF，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM，BE＝MF，
设正方形ABCD的边长为a，则，
∴EM＝AB＝a，MF＝BE，
∵，
∴，
∴，
∵∠CMF＝∠CNF＝∠DCM＝90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠DNF＝90°，
∴，
∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠GEB，∠ADG＝∠GBE，
∴△AGD∽△EGB，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
13．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（ ）
A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D．
【思路点拔】证明△AEH和△ACB全等，即可判断选项A和选项B，根据△AEH和△BCJ相似，得到D选项正确．
【解答】解：∵四边形ACDE是正方形，
∴∠EAC＝∠E＝90°，AE＝AC，
∵HA⊥AB，
∴∠HAB＝90°，
∴∠EAH＝∠CAB，
在△AEH和△ACB中，
，
∴△AEH≌△ACB（ASA），
∴AH＝AB，EH＝CB，故A选项正确；
∵BJ＞CB，
∴BJ＞EH，故B选项正确；
∵△AEH∽△BCJ，
∴，
∴，故D选项正确；
∵，故C选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质等，属于综合题，掌握性质和判定方法是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
14．如图，△ABC中，D是BC上一点，且∠BAD＝∠CAE，DE交AC于点F，要证明：△ABC∽△ADE．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ∠B＝∠ADE或∠C＝∠E或 ．
【思路点拔】根据相似三角形的判定方法添加条件即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
∴当∠B＝∠ADE或∠C＝∠E或时，△ABC∽△ADE，
故答案为：∠B＝∠ADE或∠C＝∠E或．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC中点，∠C＝2∠BAD，则的值为 ．
【思路点拔】延长CB至E，使BE＝BD，连接AE，证明∠E＝∠ADE＝∠EAC，推出AC＝CE＝3a，再证明△ECA∽△EAD，求得ADa，据此计算即可求解．
【解答】解：延长CB至E，使BE＝BD，连接AE，设BD＝a，
∵∠B＝90°，
∴∠ABD＝∠ABE，
∴Rt△ABD≌Rt△ABE（HL），
∴∠E＝∠ADE，AE＝AD，
∵∠C＝2∠BAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠D＝∠C+∠DAC，
∴∠E＝∠ADE＝∠EAC，
∴AC＝CE＝3a，
∵∠E＝∠ADE＝∠EAC，∠C＝∠EAD，
∴△ECA∽△EAD，
∴，
∵AE＝AD，即，
∴ADa，
又AC＝3a，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明∠E＝∠ADE＝∠EAC是解题的关键．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且满足∠ADC＝∠CAB，若AC＝4，AD＝3，则BD的长度为 ．
【思路点拔】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B，由三角形内角和定理得到∠CAD＝∠B，因此∠C＝∠CAD，推出CD＝AD＝3，判定△CAD∽△CBA，推出AC：BC＝CD：AC，求出BC，即可得到BD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ADC＝∠CAB，∠ACD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠C＝∠CAD，
∴CD＝AD＝3，
∵∠ACD＝∠ACB，∠ADC＝∠CAB，
∴△CAD∽△CBA，
∴AC：BC＝CD：AC，
∴4：BC＝3：4，
∴BC，
∴BD＝BC﹣CD．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由等角对等边推出CD＝AD，判定△CAD∽△CBA，推出AC：BC＝CD：AC．
17．如图，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，垂足分别为C，D，若AB＝6，AD＝4，那么CD的长为 2 ．
【思路点拔】由角平分线定义得到∠BAC＝∠CAD，由垂直的定义得到∠ACB＝∠D＝90°，判定△ABC∽△ACD，推出AB：AC＝AC：AD，求出AC2＝24，由勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AB：AC＝AC：AD，
∵AB＝6，AD＝4，
∴6：AC＝AC：4，
∴AC2＝24，
∴CD2．
故答案为：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定△ABC∽△ACD，推出AB：AC＝AC：AD．
18．如图，线段AD、BC相交于点O，∠A＝∠C，若AD＝5，OD＝2，CO：OB＝1：4，那么BC的长为 ．
【思路点拔】由CO：OB＝1：4，得COBC，OBBC，由AD＝5，OD＝2，求得AO＝3，由∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，证明△AOB∽△COD，得，所以BCBC＝3×2，求得BC，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵线段AD、BC相交于点O，CO：OB＝1：4，
∴COBCBC，OBBCBC，
∵AD＝5，OD＝2，
∴AO＝AD﹣OD＝3，
∵∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∴CO OB＝AO OD，
∴BCBC＝3×2，
解得BC或BC（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOB∽△COD是解题的关键．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，连接CD．若AC＝10，AD＝12，且∠ADC＝∠A，则线段BD的长为 ．
【思路点拔】作CE⊥AB于点E，利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用面解法求出①，由勾股定理得64+（6+BD）2＝BC2②，把①代入②即可求出BD的长．
【解答】解：作CE⊥AB于点E，
∵∠ADC＝∠A，
∴，
∴，
∵，
∴（12+BD）×8＝10BC，
∴①，
∵CE2+BE2＝BC2，
∴64+（6+BD）2＝BC2②，
∴，
∴9BD2﹣84BD+196＝0，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC＝12，取BC的中点E，连结AE交BD于点F，则BF＝ ．
【思路点拔】根据菱形的性质、勾股定理求出AB＝BC＝AD＝10，BC∥AD，OD＝8，BD＝16，根据平行线的性质求出△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是边长为10的菱形，AC＝12，
∴AB＝BC＝AD＝10，AC⊥BD，OAAC＝6，ODBD，BC∥AD，
∴OD8，
∴BD＝16，
∵BC的中点E，
∴BE＝5，
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴，
∴BF，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝6，BC＝8，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，则AE的长为 ．
【思路点拔】根据勾股定理在Rt△ABC中，求得，根据△ABC的面积求出，进而得到，从而根据勾股定理在Rt△ACD中求得，在Rt△ADE求得，即可解答．
【解答】解：由题意可得：，
，
∵∠CDA＝90°，
，即，
∴，
∵DE：CE＝1：3，且，
∴，
∵在Rt△ACD中，，
∴在Rt△ADE中，．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．在学校选修课上，王强和同学一起准备利用面积为400cm2的正方形纸板，按照如图所示裁剪方法制作一个正方体纸盒，则这个正方体纸盒的体积是 cm3．
【思路点拔】设EF＝x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到，可求出AE，即可得到正方体纸盒的棱长，从而计算体积．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，，
设EF＝x cm，
∵∠A＝∠D＝90°，△AEF和△DEG为等腰直角三角形，
∴△AEF∽△DEG，
∴，即，
∴AE＝4cm，
∴，
∴正方体纸盒的棱长为，
∴体积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝6，ED＝3BE，则AB的值为 4 ．
【思路点拔】由矩形的性质推导出AO＝BO，由AE⊥BD于点E，得∠AEB＝90°，由ED＝3BE，推导出BEBD，则OE＝BO﹣BEBD，所以BE＝OE，则AE垂直平分OB，所以AB＝AO＝BO，则BE＝OEBOAB，由AEAB＝6，求得AB＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝COAC，BO＝DOBD，且AC＝BD，
∴AO＝BO，
∵AE⊥BD，垂足为E，
∴∠AEB＝90°，
∵ED＝3BE，
∴BD＝BE+ED＝BE+3BE＝4BE，
∴BEBD，
∴OE＝BO﹣BEBDBDBD，
∴BE＝OE，
∴AE垂直平分BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴BE＝OEBOAB，
∵AEAB＝6，
∴AB＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，推导出BE＝OE是解题的关键．
24．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘．
（1）容器内水的体积为 54 ；
（2）则图②中水面宽度CD长 5 ，高度为 ．
【思路点拔】（1）根据长方体体积公式求解即可；
（2）设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．
【解答】解：（1）一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，水面高为6，
根据长方体体积公式V＝a×b×h（其中V为体积，a为长，b为宽，h为高），可得水的体积为：
V＝3×3×6＝54，
故答案为：54；
（2）过点C作CF⊥BG于F，如图：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
即，
∴，
故答案为：5；．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
25．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB．
（1）求证：BD2＝BE BA；
（2）AB＝6，BC＝4，求DE的长．
【思路点拔】（1）连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，得AD⊥BC，因为DE⊥AB于点E，所以∠DEB＝∠ADB＝90°，而∠B＝∠B，则△DBE∽△ABD，所以，则BD2＝BE BA；
（2）因为AB＝6，BC＝4，所以BD＝CD＝2，求得AD4，由S△ABD6DE2×4，求得DE．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABD，
∴，
∴BD2＝BE BA．
（2）解：∵AB＝6，BC＝4，
∴BD＝CDBC＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴AD4，
∵S△ABDAB DEBD AD，
∴6DE2×4，
∴DE，
∴DE的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
26．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，∠DAB＝∠DEA．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝4，DE＝6，求BE的长．
【思路点拔】（1）由 ABCD得，∠DAB＝∠C，进而得∠DEA＝∠C，由AD∥BC，得∠ADE＝∠DEC，即可求证△ADE∽△DEC；
（2）由△ADE∽△DEC得，可得到AD＝9，进而得到BC＝AD＝9，再由线段的和差关系即可求解．
【解答】（1）证明：∵ ABCD，
∴∠DAB＝∠C，AD∥BC，
∵∠DAB＝∠DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴△ADE∽△DEC；
（2）解：由△ADE∽△DEC，得，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝9，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠ADB．
（1）求证：△CDE∽△CBD；
（2）已知AB＝2，BC＝4，求△CEF的面积．
【思路点拔】（1）由平行线的性质可证∠EDC＝∠CBD＝∠ADB，即可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求EC的长，通过证明△ADF∽△CEF，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠ECD＝∠DCB，
∴△CDE∽△CBD；
（2）解：∵△CDE∽△CBD，
∴，
∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，
∴EC＝1，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴，
∵S△ADC4×2＝4，
∴S△DFCS△ADC，
∴S△EFCS△FDC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
【思路点拔】（1）利用菱形的性质得AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，证明△DCP≌△BCP，得∠CDP＝∠CBP，再证明∠CBP＝∠F，证明△BPE∽△FPB，即可证明；
（2）由△BPE∽△FPB，结合PB＝2PE，得，得BF＝2BE，由AD∥BC，得△BEF∽△ADF，可得，得AF＝2AD，即可计算．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC菱形的对角线，
∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，
∴∠CDP＝∠F，
在△DCP与△BCP中，
，
∴△DCP≌△BCP（SAS），
∴∠CDP＝∠CBP，
∴∠CBP＝∠F，
又∵∠BPE＝∠FPB，
∴△BPE∽△FPB，
∴，
∴PB2＝PE PF；
（2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB，
∴，
∵AD＝6，PB＝2PE，
∴，
∴BF＝2BE，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△ADF，
∴，
∴，
∴AF＝2AD，
∵AB＝AD＝6，
∴AF＝2AD＝12，
∴BF＝AF﹣AB＝6．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC，BC于点E，F．
（1）求证：四边形ABFD是菱形；
（2）若AC⊥AB，DF＝2，AC＝6，EF，求EO的长．
【思路点拔】（1）先证明四边形ABFD是平行四边形，再根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠DBF，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBF，进而得出∠ADB＝∠ABD，推出AB＝AD，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理得出，再证明△ECF∽△ACB，得出，求出，再证明△AOD∽△COB，得出，求出，OC＝4，再根据勾股定理求出，进而可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形；
（2）解：∵AC⊥AB，AC＝6，，
∴，
∵DF∥AB，
∴∠CEF＝∠CAB＝90°，
∵∠ECF＝∠ACB，
∴△ECF∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵AC＝6，
∴OAAC6＝2，OC＝4，
∴，
∴EO＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，
所以EO的长为1．
【点评】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
【思路点拔】（1）由菱形的性质证得∠BOE＝∠AOB＝90°，再由同角的余角相等证得∠BAO＝∠EBO，利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BEO∽△ABO，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；
（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定△ABE∽△BOE，从而可得比例式，利用勾股定理求得EB的长，再由比例式可得EO的值，进而得出AO的值，然后由关系式ECAC﹣OE＝AO﹣EO求得答案即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBO，
又∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BEO∽△ABO，
∴，
（2）∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO，
∴△ABE∽△BOE，
∴，
已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB5，
∴，
∴EO，
∴AO＝AE﹣EO＝13，
∴ECAC﹣OE＝AO﹣EO．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
31．如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
【思路点拔】分别利用相似三角形的性质得出对应正方形面积，进而比较得出答案．
【解答】解：（1）设正方形边长为y cm，由题意可得：DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
∴，
解得：．
（2），
作AB边上的高CH，交DE于点M，
由，
可得：，
解得：，
由题意可得：DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴，
设正方形DEFG的边长为x cm，则CM＝（x）cm，
则，
解得：，
∵，
∴（1）种情形下正方形的面积大．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用相似三角形的性质得出正方形边长是解题关键．
32．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C'处，点D落在点D'处，C'D'交线段AE于点M．
（1）求证：△BC'F∽△AMC'；
（2）若C'是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AM的长．
【思路点拔】（1）根据题意和图形可以找出△BC'F∽△AMC'的条件，从而可以解答本题；
（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AM的长．
【解答】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠MC'F＝90°，
∴∠BFC'+∠BC'F＝90°，∠AC'M+∠BC'F＝90°，
∴∠BFC'＝∠AC'M，
∴△BC'F∽△AMC'．
（2）∵C'是AB的中点，AB＝6，
∴AC'＝BC'＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AMC'∽△BC'F，
∴，
∴，
解得，AM．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
33．如图，已知 ABCD，BD⊥CD于点D．延长CD至E，使DE＝2CD，连结AE．
（1）求证：BC＝AE．
（2）连结BE交AD于点F，若BE⊥AD，AF＝1，求四边形ABCE的面积．
【思路点拔】（1）作AH⊥CE，则四边形BDHA是矩形，证明BC＝AD＝AE即可；
（2）根据四边形ABCE 的面积＝ ABCD的面积+△ADE 的面积求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
作AH⊥CE，
∵BD⊥CD，
AHD＝∠BDH＝∠DBA＝90°，
∴四边形BDHA是矩形，
∴AB＝CD＝DH，
又∵DE＝2CD，
∴DH＝HE，即AH是DE中垂线，
∴AD＝AE＝BC；
（2）解：∵DE＝2CD，AB∥DE，
∴，
∴DF＝2，AD＝3，
∴AE＝AD＝3，
又∵BE⊥AD，
∴，
∴
∴四边形ABCE 的面积＝ ABCD的面积+△ADE 的面积＝
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上第四章《相似三角形》专题：母子形与K字形 专项练习
一．选择题（共13小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（ ）
A．2 B． C． D．5
2．如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）米．
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，且不与A，D重合，过点P作PE⊥CP交AB于点E，设PD＝x，AE＝y，则y于x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若CE＝2，OC＝3，则矩形的面积为（ ）
A．24 B．12 C．10 D．8
6．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE时，则AD的长是（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，有三个正方形CDEF、DGHK、GRPQ，它们分别是△ACB、△EDB和△HGB的内接正方形，EF＝10cm，HK＝7cm，则第三个正方形的边长PQ的长（ ）
A．4cm B．5cm C．4.5cm D．4.9cm
9．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G．则S△BGF：S△BAF＝（ ）
A． B．2：3 C． D．
10．如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，∠AFD＝∠FDE＝∠DEB，点G是EF的中点，连接AG并延长交BC于点H，已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则GH的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
12．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，AE、BD交于点G，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接DF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（ ）
A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D．
二．填空题（共11小题）
14．如图，△ABC中，D是BC上一点，且∠BAD＝∠CAE，DE交AC于点F，要证明：△ABC∽△ADE．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC中点，∠C＝2∠BAD，则的值为 ．
16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，且满足∠ADC＝∠CAB，若AC＝4，AD＝3，则BD的长度为 ．
17．如图，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，垂足分别为C，D，若AB＝6，AD＝4，那么CD的长为 ．
18．如图，线段AD、BC相交于点O，∠A＝∠C，若AD＝5，OD＝2，CO：OB＝1：4，那么BC的长为 ．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，连接CD．若AC＝10，AD＝12，且∠ADC＝∠A，则线段BD的长为 ．
20．如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC＝12，取BC的中点E，连结AE交BD于点F，则BF＝ ．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝6，BC＝8，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，则AE的长为 ．
22．在学校选修课上，王强和同学一起准备利用面积为400cm2的正方形纸板，按照如图所示裁剪方法制作一个正方体纸盒，则这个正方体纸盒的体积是 cm3．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝6，ED＝3BE，则AB的值为 ．
24．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘．
（1）容器内水的体积为 ；
（2）则图②中水面宽度CD长 ，高度为 ．
三．解答题（共9小题）
25．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB．
（1）求证：BD2＝BE BA；
（2）AB＝6，BC＝4，求DE的长．
26．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，∠DAB＝∠DEA．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝4，DE＝6，求BE的长．
27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠ADB．
（1）求证：△CDE∽△CBD；
（2）已知AB＝2，BC＝4，求△CEF的面积．
28．如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP．
（1）求证：PB2＝PE PF．
（2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长．
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC，BC于点E，F．
（1）求证：四边形ABFD是菱形；
（2）若AC⊥AB，DF＝2，AC＝6，EF，求EO的长．
30．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
31．如图，已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
32．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C'处，点D落在点D'处，C'D'交线段AE于点M．
（1）求证：△BC'F∽△AMC'；
（2）若C'是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AM的长．
33．如图，已知 ABCD，BD⊥CD于点D．延长CD至E，使DE＝2CD，连结AE．
（1）求证：BC＝AE．
（2）连结BE交AD于点F，若BE⊥AD，AF＝1，求四边形ABCE的面积．
