【导学精练】初中数学七年级上册专题2.3.有理数的乘法（浙教版）
一、有理数乘法法则的辨析
1．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
3．下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、利用有理数乘法的符号辨别
4．（2023七上·吉林期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023七上·伊宁月考）下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、有理数的乘法运算
7．的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
8．把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．（2024七上·温州期末）计算：＝ ．
10．计算： ．
11．（2023七上·濉溪月考）下列计算结果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
四、有理数乘法运算律
12．阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
13．用简便方法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
14．给下面的计算过程标明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
15．计算：
（1）
（2）
（3）
五、有理数乘法的实际应用
16．（2024·青山模拟）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
17．（2023九上·南岗月考）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场．
18．（2024七下·翁源期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（AB）1.5米、宽（BC）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为0.1m，则需要的玻璃总面积为 平方米．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
六、有理数乘法的新定义问题
20．规定，则的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
21．（2023七上·新化期末）若定义一种新运算，规定，则 ．
22．（2023七上·江津月考）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
23．（2023七上·诸暨期中） 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算 ．
24．记符号表示不超过x的最大整数，如，，．
（1）分别写出和的值；
（2）计算：．
七、倒数的概念与运用
25．2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2023
26．如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
27．下列语句说法正确的个数是（ ）
（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．做一做：
①5的倒数是 ； ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；
④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ； ⑥的倒数是 ．
29．下列说法正确的是（ ）
A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1
B．一个假分数的倒数一定小于本身
C．若一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1
D．若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1
30．若，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为倒数 B．与互为相反数
C．与相等 D．与相等
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数中的“非”数问题；有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．
∴正确的有2个；
故选：A．
【分析】 ① 非负数包括负数和0，当其中一个数是0时，其乘积一定为0
② 0的相反数是0，乘积为0
③ 有理数都可以在数轴上表示出来
④ 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，和为正
⑤几个有理数相乘， 当其中一个为0时，结果为0.
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据任何数同零相乘，都得0，
若，则a，b，c至少有一个为0，故选：C．
【分析】根据0乘任何数都得0，可得：多个有理数相乘时，当其中至少有一个为0时，结果为0.
3．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该A说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该B说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该C说法错误；
④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该D说法错误；
故选：A．
【分析】①当两个负数相乘时，积为正，符号改变
② 根据乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负
③ 当a=b=0时，积为0
④四个非0有理数相乘，若有三个负因数，则积为负
4．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、有两个负因数，积为正.故A错误；
B、有三个负因数，积为负.故B正确；
C、有一个因数0，积为0.故C错误；
D、有四个负因数，积为正.故D错误；
故答案为：B.
【分析】几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，即为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零。根据法则可以准确判断答案。
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，不符合题意；
B、，2个负号，积为正数，不符合题意；
C、，2个负号，积为正数，不符合题意；
D、，3个负号，积为负数，符合题意；
故选D．
【分析】根据有理数乘法法则进行逐一定号判断即可得出结果.
6．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
，，，，
故选：B．
【分析】A、根据数轴可得：，根据两数相乘，异号得负，可知.
B、根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，由数轴可知：，因此可得.
C、由数轴可知：a-1>0，b+1>0，根据根据两数相乘，同号得正，可得：.
D、由数轴可知：a+1>0，b-1<0，根据根据两数相乘，异号得负，可得：.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，故选：A．
【分析】根据乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，可以得出答案.
8．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，．
综上分析可知，共4种．故选：C．
【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，可得：，，，．
9．【答案】-6
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据有理数的乘法运算：两数相乘，同号为正，异号为负，然后把绝对值相乘，即可求解.
10．【答案】10
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，故答案为：10．
【分析】先把两个带分数化为假分数，可得：，再根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可.
11．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A：
B：
C：
D：
∵-384<-120<0<24，
故答案为：A．
【分析】先计算各项的乘积，然后比较大小解题即可．
12．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）根据 乘法分配律 的逆用，提取588，可得：，然后先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（2）逆用乘法的分配律可得：，然后先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（3）先根据乘法分配律 的逆用，提取，同时把带分数化为，可得：，然后计算括号里的得：，然后再提取-10.5，可得：，再计算括号里的，最后再根据乘法法则进行计算即可.
13．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据乘法的交换律和结合律可得：，根据乘法法则依次进行计算即可.
（2）根据乘法的分配律a(b+c)=ac+ab可得：，再根据乘法法则依次进行计算即可.
（3）根据乘法的分配律的逆用：ac+ab=a(b+c)可得：，依次运算顺序，先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（4）根据拆项法可得：，再根据乘法的分配律a(b+c)=ac+ab可得：，再根据乘法法则依次进行即可.
14．【答案】解：
（乘法分配律）
（有理数的乘法运算）
（有理数的加法交换律）
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】【分析】先根据乘法分配律a(b+c)=ac+bc进行计算可得：，然后根据乘法法则依次进行计算可得：，再根据同号结合法可得：，根据加法法则依次进行计算即可.
15．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘可得：，然后再进行约分即可.
（2）根据乘法的分配律a(b+c)=ac+bc可得：，再根据乘法法则依次进行计算可得：，然后根据同号结合法和加法法则进行计算即可.
（3）根据乘法分配律的逆用：ac+bc=a(b+c)可得：，再根据运算顺序，计算括号里的可得：，结果为0.
16．【答案】；
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，
则加工该件艺术品最少需要：（分钟）；
需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟，
在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），，
综上，最少投入为：（元），
故答案为：，．
【分析】求出加工该件艺术品最少时间；然后在准备阶段可以缩短分钟，在制作阶段可以缩短分钟，最后分钟则根据两个阶段投入的费用多少作比较解题．
17．【答案】66
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：12支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：．
故答案为：66．
【分析】根据单循环比赛的计算公式计算即可．
18．【答案】1.17
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：（平方米），
故答案为：1.17．
【分析】根据总面积（长木框架宽）（宽木框架宽），求解即可．
19．【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
20．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，故选：B．
【分析】根据新定义：，先计算=（-2）×（-3）-1=5，再计算即可.
21．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】利用新定义运算法则计算即可．
22．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
【分析】根据新定义运算的运算法则，依次计算， 即可解题．
23．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：-112.
【分析】用-2与7分别替换新定义运算中的a与b，列出式子，进而根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
24．【答案】（1）解：，
（2）解：．
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据新定义的概念表示不超过x的最大整数，可得：，.
（2）先根据新定义概念算出各项得：，然后代入，根据乘法法则进行计算即可.
25．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2023的相反数，的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是故选：C．
【分析】数a的相反数为-a，非0数a是倒数为.
26．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解∶A、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、的倒数是的倒数是的倒数大于的倒数，符合题意；
D、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意．故选：C．
【分析】任何非零数a的倒数为，
A、>b，但，不符合题意.
B、C、，2>-1且，符合题意.
D 、>b，但2<3，不符合题意.
27．【答案】（1）B
【知识点】有理数的倒数；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意；
（2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意；
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意；
（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如，
但，此时，故（4）不符合题意；
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意．故选：B．
【分析】（1）几个非0有理数相乘，积的符号是由负因数个数确定的.
（2）因为0没有倒数，因此除以一个非零数等于乘以这个数的倒数.
（3）根据减法法则： 加上一个数等于减去这个数的相反数，可知（3）是正确的．
（4）如果a>b，那么a的倒数可能小于b的倒数，比如.
（5）绝对值具有非负性，因此一个数 大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 .
28．【答案】；；10；；；
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：①∵，∴5的倒数是，故答案为：；
②∵，∴的倒数是，故答案为：；
③∵，∴的倒数是10，故答案为：10；
④∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑤∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑥∵，∴的倒数是，故答案为：．
【分析】根据倒数的定义：如果两个数相乘为1，则这两个数互为倒数，因此任意非零数a的倒数为.
① 5的倒数是.
②先把化为假分数，根据倒数定义可得：的倒数是.
③根据倒数定义可得：的倒数是10.
④因为，可得的倒数是.
⑤的倒数是.
⑥因为可得的倒数是.
29．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】A、因为1的倒数是1，1和1互为倒数，故说法错误；
B、一个假分数的倒数不一定小于本身，故此选项错误；
C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；
D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1，故此选项正确．故选：D．
【分析】A、1的倒数是1
B、一个假分数的倒数不一定小于本身，比如：的倒数是
C、倒数等于它本身的数是±1
D、根据倒数的定义可得： 若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1.
30．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，∴与互为倒数，故选A．
【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数.
1 / 1【导学精练】初中数学七年级上册专题2.3.有理数的乘法（浙教版）
一、有理数乘法法则的辨析
1．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；有理数中的“非”数问题；有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．
∴正确的有2个；
故选：A．
【分析】 ① 非负数包括负数和0，当其中一个数是0时，其乘积一定为0
② 0的相反数是0，乘积为0
③ 有理数都可以在数轴上表示出来
④ 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，和为正
⑤几个有理数相乘， 当其中一个为0时，结果为0.
2．若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据任何数同零相乘，都得0，
若，则a，b，c至少有一个为0，故选：C．
【分析】根据0乘任何数都得0，可得：多个有理数相乘时，当其中至少有一个为0时，结果为0.
3．下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该A说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该B说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该C说法错误；
④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该D说法错误；
故选：A．
【分析】①当两个负数相乘时，积为正，符号改变
② 根据乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负
③ 当a=b=0时，积为0
④四个非0有理数相乘，若有三个负因数，则积为负
二、利用有理数乘法的符号辨别
4．（2023七上·吉林期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、有两个负因数，积为正.故A错误；
B、有三个负因数，积为负.故B正确；
C、有一个因数0，积为0.故C错误；
D、有四个负因数，积为正.故D错误；
故答案为：B.
【分析】几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，即为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零。根据法则可以准确判断答案。
5．（2023七上·伊宁月考）下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，不符合题意；
B、，2个负号，积为正数，不符合题意；
C、，2个负号，积为正数，不符合题意；
D、，3个负号，积为负数，符合题意；
故选D．
【分析】根据有理数乘法法则进行逐一定号判断即可得出结果.
6．如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
，，，，
故选：B．
【分析】A、根据数轴可得：，根据两数相乘，异号得负，可知.
B、根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，由数轴可知：，因此可得.
C、由数轴可知：a-1>0，b+1>0，根据根据两数相乘，同号得正，可得：.
D、由数轴可知：a+1>0，b-1<0，根据根据两数相乘，异号得负，可得：.
三、有理数的乘法运算
7．的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，故选：A．
【分析】根据乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，可以得出答案.
8．把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，．
综上分析可知，共4种．故选：C．
【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，可得：，，，．
9．（2024七上·温州期末）计算：＝ ．
【答案】-6
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据有理数的乘法运算：两数相乘，同号为正，异号为负，然后把绝对值相乘，即可求解.
10．计算： ．
【答案】10
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，故答案为：10．
【分析】先把两个带分数化为假分数，可得：，再根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可.
11．（2023七上·濉溪月考）下列计算结果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：A：
B：
C：
D：
∵-384<-120<0<24，
故答案为：A．
【分析】先计算各项的乘积，然后比较大小解题即可．
四、有理数乘法运算律
12．阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）根据 乘法分配律 的逆用，提取588，可得：，然后先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（2）逆用乘法的分配律可得：，然后先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（3）先根据乘法分配律 的逆用，提取，同时把带分数化为，可得：，然后计算括号里的得：，然后再提取-10.5，可得：，再计算括号里的，最后再根据乘法法则进行计算即可.
13．用简便方法计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据乘法的交换律和结合律可得：，根据乘法法则依次进行计算即可.
（2）根据乘法的分配律a(b+c)=ac+ab可得：，再根据乘法法则依次进行计算即可.
（3）根据乘法的分配律的逆用：ac+ab=a(b+c)可得：，依次运算顺序，先计算括号里的，再根据乘法法则进行计算即可.
（4）根据拆项法可得：，再根据乘法的分配律a(b+c)=ac+ab可得：，再根据乘法法则依次进行即可.
14．给下面的计算过程标明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】解：
（乘法分配律）
（有理数的乘法运算）
（有理数的加法交换律）
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；有理数的加法运算律
【解析】【分析】先根据乘法分配律a(b+c)=ac+bc进行计算可得：，然后根据乘法法则依次进行计算可得：，再根据同号结合法可得：，根据加法法则依次进行计算即可.
15．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘可得：，然后再进行约分即可.
（2）根据乘法的分配律a(b+c)=ac+bc可得：，再根据乘法法则依次进行计算可得：，然后根据同号结合法和加法法则进行计算即可.
（3）根据乘法分配律的逆用：ac+bc=a(b+c)可得：，再根据运算顺序，计算括号里的可得：，结果为0.
五、有理数乘法的实际应用
16．（2024·青山模拟）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
【答案】；
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，
则加工该件艺术品最少需要：（分钟）；
需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟，
在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），，
综上，最少投入为：（元），
故答案为：，．
【分析】求出加工该件艺术品最少时间；然后在准备阶段可以缩短分钟，在制作阶段可以缩短分钟，最后分钟则根据两个阶段投入的费用多少作比较解题．
17．（2023九上·南岗月考）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场．
【答案】66
【知识点】有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：12支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：．
故答案为：66．
【分析】根据单循环比赛的计算公式计算即可．
18．（2024七下·翁源期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（AB）1.5米、宽（BC）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为0.1m，则需要的玻璃总面积为 平方米．
【答案】1.17
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：（平方米），
故答案为：1.17．
【分析】根据总面积（长木框架宽）（宽木框架宽），求解即可．
19．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
六、有理数乘法的新定义问题
20．规定，则的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，故选：B．
【分析】根据新定义：，先计算=（-2）×（-3）-1=5，再计算即可.
21．（2023七上·新化期末）若定义一种新运算，规定，则 ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】利用新定义运算法则计算即可．
22．（2023七上·江津月考）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
【分析】根据新定义运算的运算法则，依次计算， 即可解题．
23．（2023七上·诸暨期中） 小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算 ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：-112.
【分析】用-2与7分别替换新定义运算中的a与b，列出式子，进而根据含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
24．记符号表示不超过x的最大整数，如，，．
（1）分别写出和的值；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
（2）解：．
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据新定义的概念表示不超过x的最大整数，可得：，.
（2）先根据新定义概念算出各项得：，然后代入，根据乘法法则进行计算即可.
七、倒数的概念与运用
25．2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2023的相反数，的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是故选：C．
【分析】数a的相反数为-a，非0数a是倒数为.
26．如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解∶A、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、的倒数是的倒数是的倒数大于的倒数，符合题意；
D、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意．故选：C．
【分析】任何非零数a的倒数为，
A、>b，但，不符合题意.
B、C、，2>-1且，符合题意.
D 、>b，但2<3，不符合题意.
27．下列语句说法正确的个数是（ ）
（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】（1）B
【知识点】有理数的倒数；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意；
（2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意；
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意；
（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如，
但，此时，故（4）不符合题意；
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意．故选：B．
【分析】（1）几个非0有理数相乘，积的符号是由负因数个数确定的.
（2）因为0没有倒数，因此除以一个非零数等于乘以这个数的倒数.
（3）根据减法法则： 加上一个数等于减去这个数的相反数，可知（3）是正确的．
（4）如果a>b，那么a的倒数可能小于b的倒数，比如.
（5）绝对值具有非负性，因此一个数 大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 .
28．做一做：
①5的倒数是 ； ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；
④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ； ⑥的倒数是 ．
【答案】；；10；；；
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：①∵，∴5的倒数是，故答案为：；
②∵，∴的倒数是，故答案为：；
③∵，∴的倒数是10，故答案为：10；
④∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑤∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑥∵，∴的倒数是，故答案为：．
【分析】根据倒数的定义：如果两个数相乘为1，则这两个数互为倒数，因此任意非零数a的倒数为.
① 5的倒数是.
②先把化为假分数，根据倒数定义可得：的倒数是.
③根据倒数定义可得：的倒数是10.
④因为，可得的倒数是.
⑤的倒数是.
⑥因为可得的倒数是.
29．下列说法正确的是（ ）
A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1
B．一个假分数的倒数一定小于本身
C．若一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1
D．若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】A、因为1的倒数是1，1和1互为倒数，故说法错误；
B、一个假分数的倒数不一定小于本身，故此选项错误；
C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；
D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1，故此选项正确．故选：D．
【分析】A、1的倒数是1
B、一个假分数的倒数不一定小于本身，比如：的倒数是
C、倒数等于它本身的数是±1
D、根据倒数的定义可得： 若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1.
30．若，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为倒数 B．与互为相反数
C．与相等 D．与相等
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，∴与互为倒数，故选A．
【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数.
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