1.2 《二次函数的图象》（4）-浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025·光明模拟） 已知二次函数为，则它的图象可能是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2025·钱塘模拟）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．（2024·泰安模拟）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·温州开学考）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ．
6．（2024九上·北京市期中）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ．
7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， 决定该函数图象的开口方向和开口大小，在 确定的条件下， 决定图象对称轴的位置， 决定图象与y轴交点的位置．
8．（2020九上·右玉月考）已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
9．（2019·宁波模拟）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
二、能力提升
10．（2024九上·李沧期末）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·新会期末）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024九上·越秀期末）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．③④ D．①②
13．（2024九上·遵义期末）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 2 m 2 …
则下列结论：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若方程的两个实数根为，，则；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．④
14．（2024九上·镇海区期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
15．（2023九上·越城月考）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）．
16．（2023九上·阿克苏期中） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A， B两点．若OA=5OB， 则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的是 ．
17．（2021·龙湾模拟）已知抛物线 经过点 .
（1）求 的值.
（2）若 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，交 轴于点 ，且 ，求此抛物线的表达式.
18．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
三、综合拓展
19．（2022·潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
（1） [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
（2）[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
（3）[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
20．（2016·柳州）如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
① 在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|= ，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|= =5．
② 因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；
∵b≠0，
∴抛物线的对称轴不是y轴，
∴ 二次函数为的图象是：C。
故答案为：C .
【分析】首先根据a＞0，b≠0，可得出二次函数为的图象开口向上，且对称轴不是y轴，然后结合图象，即可得出正确答案。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是：
故答案为：B.
【分析】根据二次函数平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
即符合要求的为，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，然后结合各选项即可判断求解．
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据二次函数（）的图象得：
，
∴，，
∴一次函数经过第一、三象限，一次函数经过第二、三、四象限．
故选：A
【分析】根据二次函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状、开口方向与抛物线y=-3x2相同，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中a决定抛物线的开口方向和开口大小，a＞0开口方向向上，a＜0，开口方向向下，据此结合题意可知所求抛物线解析式中二次项系数小于零，此题又给出了抛物线的顶点坐标，故利用顶点式可直接写出所求解析式.
6．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线顶点在y轴上，
∴，为任何数，
则取，，时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】a；a；b；c
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a决定该函数图象的开口方向和开口大小，在a确定的条件下，b决定图象对称轴的位置，c决定图象与y轴交点的位置．
故答案为：a；a；b；c.
【分析】根据二次函数图象与系数的关系回答即可.
8．【答案】（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
9．【答案】（1）解：把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）解：把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B，C代入 y＝﹣x2＋bx＋c 即可列出关于b，c的二元一次方程组，求解即可得出b，c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，此题就是将图象向上平移，故平移前后对应点的横坐标相同，将x=-2代入抛物线的解析式，即可算出对应的函数值，算出平移前的点的坐标，通过观察平移前后两个点的坐标，即可得出平移的方向及距离。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
，
函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
函数的对称轴为直线，
函数的对称轴在直线的右侧，
故答案为：B．
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断出k＜0；一次函数y=ax+b（a≠0），当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此结合题意判断出b＞2；然后根据有理数的减法法则判断出1-k＞0，则抛物线y=-x2+bx+1-k的图象交y轴的正半轴，由抛物线的对称轴直线公式判断出抛物线y=-x2+bx+1-k的对称轴直线为，从而即可判断出答案.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数，一次函数图象，性质与系数关系逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①因图象开口向下，可知：；
又∵对称轴为直线，
∴，整理得：，即a、b同号，
由图象可知，当时，，
又∵对称轴为直线，
∴当时，；
即；
∴，故①错误；
②当时，y有最大值，
当时，，
∴，
∴，即，
故②错误；
③由①得：，
代入原解析式得：，
由图象可知，当时，，
即：，
整理得：，故③正确；
④由题意得，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大，
∵和为图象上两点，且，
∴，即，
解得，
故④正确．
综上所述，正确的有③④．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得，二次函数的图象经过点，得到关于a、b、c的三元一次方程组：，
解这个方程组得：，
∴二次函数解析式是：，
∴，所以①错误；
此二次函数的对称轴是x=-=-，
∴当x＜-时，y随着x的增加而减小，当x＞-时，y随着x的增加而增加，根据二次函数图象的对称性，可以得出y2＜y1＜y3，所以②错误；
方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得：，所以③正确；
∵，
∴，所以④正确，
综上所述，以上正确的结论是③④，
故答案为：C.
【分析】先运用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数图象与性质逐一分析每一个结论即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当k=2时， 函数变为：y=-4x+3，
∴y=-4x+3与x轴只有一个交点；
当k≠2时，
∵函数的图象与轴只有一个交点，
∴Δ=(-2k)2-4(k-2)(k+1)=0，
解得k =-2；
当k=±2时，函数y=(k-2)x2-2kx+(k+1)的图象与x轴只有一个交点；
故答案为：±2.
【分析】①该函数为一次函数时，k-2=0，即可得出k的值；②该函数是二次函数时，当判别式
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一交点，即可求k的值.
抛物线与x轴的交点：
当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；
当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
当Δ=b2-4ac < 0时，抛物线与x轴没有交点.
15．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵当时，，
∴，
∴，故②错误；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的有③和④，
故答案为：③④．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜2，
∴abc＜0，①错误．
设抛物线对称轴与y轴交点为E（﹣2，2），
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即点B坐标为（8，
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴（a+c）6﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．
抛物线对称轴为直线，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝5，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣2a，
∴9a+4c＝﹣11a＜6，③正确．
∵x＝﹣2时y取最小值，
∴am2+bm+c≥3a﹣2b+c，即am2+bm+6b≥4a，④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的正负形从而判断 ① ；由 OA=5OB及对称轴可得点B的坐标，从而可判断 ②和③；再由x=-2时y取最小值即可判断④ .
17．【答案】（1）解：∵抛物线经过点 ，
∴ ，可得 .
（2）解：由题可知，对称轴为直线
∵ ，
∴ ，即点 在对称轴左侧；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴抛物线表达式为 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把点 代入抛物线解析式即可求解；（2）对称轴为直线 可知点 在对称轴左侧，根据题意可得到 ，即可求解.
18．【答案】解：(1)因为k＝－2，所以A(1，－2)，
设反比例函数为y＝，因为点A在函数的图象上，所以－2＝，
解得k1＝－2，
反比例函数解析式为y＝－.
(2)由y＝k(x2＋x－1)＝k－k，得抛物线对称轴为直线x＝－，
当k>0时，反比例函数不存在y随着x的增大而增大的取值范围，所以k<0，
此时，当x<0或x>0时，反比例函数值y随着x的增大而增大；
当x≤－时，二次函数值y随着x的增大而增大，所以自变量x的取值范围是x≤－.
(3)由题(2)得点Q的坐标为（-，-k），
因为AQ⊥BQ，点O是AB的中点，
所以OQ＝AB＝OA，
得＋k2＝12＋k2，解得k＝±.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象与系数的关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】考查二次函数的性质。
19．【答案】（1）解：根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，
画出图象，如下：
（2）解：不认同他们的说法，举例如下：
抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法错误，
抛物线图象经过x轴，故小莹的说法错误；
（3）解：设过点的抛物线解析式为，
，
，
，
经过，
，
根据题意，抛物线不经过第一象限，
，，
，
，
综上所述：且．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过点，且不经过第一象限，即可画出图象；
（2）由题意可得出抛物线的对称轴为y轴，抛物线图象经过x轴，由此即可得出答案；
（3）设过点的抛物线解析式为，则，根据题意，抛物线不经过第一象限，可得出，，从而得出，，由此得出答案。
20．【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，
将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，
解得：a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣1
（2）解：如图，
根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣ x2+1；
当x＜﹣2或x＞2时，y= x2﹣1；
由 可得点M（﹣2 ，1）、点N（2 ，1），
① 当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣ a2+1），
则PO﹣PD= ﹣[1﹣（﹣ a2+1）]
= a2+1﹣ a2
=1；
②当﹣2 ≤x＜﹣2或2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD= ﹣[1﹣（ a2﹣1）]
= a2+1﹣2+ a2
= a2﹣1；
③当x＜﹣2 或x＞2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD= ﹣[（ a2﹣1）﹣1]
= a2+1﹣ a2+2
=3；
综上，当x＜﹣2 、﹣2≤x≤2或x＞2 时，PO与PD的差为定值
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x＜﹣2或2 、x＜﹣2 或x＞2 三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．
1 / 11.2 《二次函数的图象》（4）-浙教版数学九年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2025·光明模拟） 已知二次函数为，则它的图象可能是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；
∵b≠0，
∴抛物线的对称轴不是y轴，
∴ 二次函数为的图象是：C。
故答案为：C .
【分析】首先根据a＞0，b≠0，可得出二次函数为的图象开口向上，且对称轴不是y轴，然后结合图象，即可得出正确答案。
2．（2025·钱塘模拟）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是：
故答案为：B.
【分析】根据二次函数平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
3．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
即符合要求的为，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，然后结合各选项即可判断求解．
4．（2024·泰安模拟）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据二次函数（）的图象得：
，
∴，，
∴一次函数经过第一、三象限，一次函数经过第二、三、四象限．
故选：A
【分析】根据二次函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
5．（2024九上·温州开学考）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，它的顶点坐标为，则此抛物线的解析式 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，1），抛物线的形状、开口方向与抛物线y=-3x2相同，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中a决定抛物线的开口方向和开口大小，a＞0开口方向向上，a＜0，开口方向向下，据此结合题意可知所求抛物线解析式中二次项系数小于零，此题又给出了抛物线的顶点坐标，故利用顶点式可直接写出所求解析式.
6．（2024九上·北京市期中）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线顶点在y轴上，
∴，为任何数，
则取，，时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， 决定该函数图象的开口方向和开口大小，在 确定的条件下， 决定图象对称轴的位置， 决定图象与y轴交点的位置．
【答案】a；a；b；c
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a决定该函数图象的开口方向和开口大小，在a确定的条件下，b决定图象对称轴的位置，c决定图象与y轴交点的位置．
故答案为：a；a；b；c.
【分析】根据二次函数图象与系数的关系回答即可.
8．（2020九上·右玉月考）已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
9．（2019·宁波模拟）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
【答案】（1）解：把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
（2）解：把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B，C代入 y＝﹣x2＋bx＋c 即可列出关于b，c的二元一次方程组，求解即可得出b，c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，此题就是将图象向上平移，故平移前后对应点的横坐标相同，将x=-2代入抛物线的解析式，即可算出对应的函数值，算出平移前的点的坐标，通过观察平移前后两个点的坐标，即可得出平移的方向及距离。
二、能力提升
10．（2024九上·李沧期末）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
，
函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
函数的对称轴为直线，
函数的对称轴在直线的右侧，
故答案为：B．
【分析】反比例函数，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限，据此结合题意判断出k＜0；一次函数y=ax+b（a≠0），当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b=0时，图象经过坐标原点，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，据此结合题意判断出b＞2；然后根据有理数的减法法则判断出1-k＞0，则抛物线y=-x2+bx+1-k的图象交y轴的正半轴，由抛物线的对称轴直线公式判断出抛物线y=-x2+bx+1-k的对称轴直线为，从而即可判断出答案.
11．（2025九上·新会期末）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数，一次函数图象，性质与系数关系逐项进行判断即可求出答案.
12．（2024九上·越秀期末）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．③④ D．①②
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①因图象开口向下，可知：；
又∵对称轴为直线，
∴，整理得：，即a、b同号，
由图象可知，当时，，
又∵对称轴为直线，
∴当时，；
即；
∴，故①错误；
②当时，y有最大值，
当时，，
∴，
∴，即，
故②错误；
③由①得：，
代入原解析式得：，
由图象可知，当时，，
即：，
整理得：，故③正确；
④由题意得，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大，
∵和为图象上两点，且，
∴，即，
解得，
故④正确．
综上所述，正确的有③④．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系即可求出答案.
13．（2024九上·遵义期末）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 2 m 2 …
则下列结论：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若方程的两个实数根为，，则；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得，二次函数的图象经过点，得到关于a、b、c的三元一次方程组：，
解这个方程组得：，
∴二次函数解析式是：，
∴，所以①错误；
此二次函数的对称轴是x=-=-，
∴当x＜-时，y随着x的增加而减小，当x＞-时，y随着x的增加而增加，根据二次函数图象的对称性，可以得出y2＜y1＜y3，所以②错误；
方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得：，所以③正确；
∵，
∴，所以④正确，
综上所述，以上正确的结论是③④，
故答案为：C.
【分析】先运用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数图象与性质逐一分析每一个结论即可.
14．（2024九上·镇海区期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当k=2时， 函数变为：y=-4x+3，
∴y=-4x+3与x轴只有一个交点；
当k≠2时，
∵函数的图象与轴只有一个交点，
∴Δ=(-2k)2-4(k-2)(k+1)=0，
解得k =-2；
当k=±2时，函数y=(k-2)x2-2kx+(k+1)的图象与x轴只有一个交点；
故答案为：±2.
【分析】①该函数为一次函数时，k-2=0，即可得出k的值；②该函数是二次函数时，当判别式
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一交点，即可求k的值.
抛物线与x轴的交点：
当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；
当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
当Δ=b2-4ac < 0时，抛物线与x轴没有交点.
15．（2023九上·越城月考）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）．
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵当时，，
∴，
∴，故②错误；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的有③和④，
故答案为：③④．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
16．（2023九上·阿克苏期中） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A， B两点．若OA=5OB， 则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的是 ．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜2，
∴abc＜0，①错误．
设抛物线对称轴与y轴交点为E（﹣2，2），
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即点B坐标为（8，
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴（a+c）6﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．
抛物线对称轴为直线，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝5，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣2a，
∴9a+4c＝﹣11a＜6，③正确．
∵x＝﹣2时y取最小值，
∴am2+bm+c≥3a﹣2b+c，即am2+bm+6b≥4a，④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的正负形从而判断 ① ；由 OA=5OB及对称轴可得点B的坐标，从而可判断 ②和③；再由x=-2时y取最小值即可判断④ .
17．（2021·龙湾模拟）已知抛物线 经过点 .
（1）求 的值.
（2）若 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，交 轴于点 ，且 ，求此抛物线的表达式.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点 ，
∴ ，可得 .
（2）解：由题可知，对称轴为直线
∵ ，
∴ ，即点 在对称轴左侧；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴抛物线表达式为 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把点 代入抛物线解析式即可求解；（2）对称轴为直线 可知点 在对称轴左侧，根据题意可得到 ，即可求解.
18．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
【答案】解：(1)因为k＝－2，所以A(1，－2)，
设反比例函数为y＝，因为点A在函数的图象上，所以－2＝，
解得k1＝－2，
反比例函数解析式为y＝－.
(2)由y＝k(x2＋x－1)＝k－k，得抛物线对称轴为直线x＝－，
当k>0时，反比例函数不存在y随着x的增大而增大的取值范围，所以k<0，
此时，当x<0或x>0时，反比例函数值y随着x的增大而增大；
当x≤－时，二次函数值y随着x的增大而增大，所以自变量x的取值范围是x≤－.
(3)由题(2)得点Q的坐标为（-，-k），
因为AQ⊥BQ，点O是AB的中点，
所以OQ＝AB＝OA，
得＋k2＝12＋k2，解得k＝±.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象与系数的关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】考查二次函数的性质。
三、综合拓展
19．（2022·潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
（1） [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
（2）[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
（3）[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．
【答案】（1）解：根据题意，得：抛物线经过点，且不经过第一象限，
画出图象，如下：
（2）解：不认同他们的说法，举例如下：
抛物线的对称轴为y轴，故小亮的说法错误，
抛物线图象经过x轴，故小莹的说法错误；
（3）解：设过点的抛物线解析式为，
，
，
，
经过，
，
根据题意，抛物线不经过第一象限，
，，
，
，
综上所述：且．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意得抛物线经过点，且不经过第一象限，即可画出图象；
（2）由题意可得出抛物线的对称轴为y轴，抛物线图象经过x轴，由此即可得出答案；
（3）设过点的抛物线解析式为，则，根据题意，抛物线不经过第一象限，可得出，，从而得出，，由此得出答案。
20．（2016·柳州）如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）
附阅读材料：
① 在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AB|= ，这个公式叫两点间距离公式．
例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为|AB|= =5．
② 因式分解：x4+2x2y2+y4=（x2+y2）2．
【答案】（1）解：根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，
将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，
解得：a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣1
（2）解：如图，
根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣ x2+1；
当x＜﹣2或x＞2时，y= x2﹣1；
由 可得点M（﹣2 ，1）、点N（2 ，1），
① 当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣ a2+1），
则PO﹣PD= ﹣[1﹣（﹣ a2+1）]
= a2+1﹣ a2
=1；
②当﹣2 ≤x＜﹣2或2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD= ﹣[1﹣（ a2﹣1）]
= a2+1﹣2+ a2
= a2﹣1；
③当x＜﹣2 或x＞2 时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），
则PO﹣PD= ﹣[（ a2﹣1）﹣1]
= a2+1﹣ a2+2
=3；
综上，当x＜﹣2 、﹣2≤x≤2或x＞2 时，PO与PD的差为定值
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先根据题意表示出翻折后抛物线解析式，再求出y=1时x的值，继而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x＜﹣2或2 、x＜﹣2 或x＞2 三种情况，根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案．
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