第1章《二次函数》单元测试（含解析）

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第1章《二次函数》单元测试
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
2．抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
3．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有一正实数根和一负实数根的条件是（　　）
A．m＞5 B．m≥0 C．m≥﹣4 D．m≥6
5．杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线（y＝ax2+bx+c）结构（如图），则a的值最接近于（　　）
A． B． C． D．
6．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0
C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
8．设函数y＝x2﹣2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点
B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上
D．对任意实数k，抛物线y＝x2﹣2kx+k﹣1都必定经过唯一定点
9．坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．c＜6 D．﹣4≤c＜5
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的顶点坐标是 　 　 ．
12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 　 　 ．
13．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；
乙：函数的图象经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0．
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数　 　 ．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，若OA：OB：OC＝1：2：3，那么二次函数的表达式是 　 　 ．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是　 　 （填写序号）
16．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标．
18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣5经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．
（1）求a，b的值；
（2）若P（4，y1），Q（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝22﹣y1，求m的值．
19．阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：设x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 　 　 ；
（2）借助阅读材料直接写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为 　 　 ；
（3）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2﹣3x+4＞0．
20．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（2a﹣2）x﹣3a﹣1，实数a≠0．
（1）若二次函数图象经过点（﹣2，﹣10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a的取值范围；
（3）若a＞0，设点M（m，y1），N（n，y2）是二次函数图象上两个不同点，且m+n+2＝0，求证：y1+y2＞﹣6．
22．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x时，y．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn．
23．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线yn的顶点P在直线y＝﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD＝2，点P、D在y轴的同侧．
（1）n＝　 　 （用含m的代数式表示），点C的纵坐标是　 　 （用含m的代数式表示）．
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．
（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
第1章《二次函数》单元测试
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A A C D D B D
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
【思路点拔】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【思路点拔】先将抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣2）2﹣1，
∴把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【思路点拔】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3），在抛物线y＝2（x+2）2﹣9上，而点C（﹣4，y3）到对称轴的距离最远，B（﹣2，y2）在对称轴上，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有一正实数根和一负实数根的条件是（　　）
A．m＞5 B．m≥0 C．m≥﹣4 D．m≥6
【思路点拔】利用函数图象，观察直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c的交点情况，从而可判断方程ax2+bx+c＝m解的情况．
【解答】解：观察图象可得，
当m＞5时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有两个交点，且一个交点在y轴左边，一个交点在y轴右边，
∴方程ax2+bx+c＝m有一正实数根和一负实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数，由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围．
5．杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新杭州最新高度，同时也成为中国第一高H形双塔楼．双塔底部为跨度约62米，高度约34米的巨型抛物线（y＝ax2+bx+c）结构（如图），则a的值最接近于（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】依据题意，建立平面直角坐标系，求出解析式，进而可以得解．
【解答】解：由题意，以双塔底部所在直线为x轴，过最高点且垂直与x轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
∴顶点为（0，34）．
∴抛物线的解析式可设为y＝ax2+34．
又∵双塔底部为跨度约62米，
∴抛物线过点（31，0）．
∴0＝a×312+34．
∴a，故a接近于．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
【思路点拔】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．
【解答】解：根据题意±3，
解得c＝8或14．
故选：C．
【点评】本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单．
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象上，若|x1﹣2|＜|x2﹣2|，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1﹣y2＞0 B．y1﹣y2＜0
C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
【思路点拔】由函数解析式可知抛物线对称轴为直线x＝2，分类讨论a＞0与a＜0，根据|x1﹣2|＜|x2﹣2|及开口方向求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＞y1，
∴y1﹣y2＜0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵|x1﹣2|＜|x2﹣2|，
∴y2＜y1，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＜0，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是分类讨论a的正负求解．
8．设函数y＝x2﹣2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点
B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上
D．对任意实数k，抛物线y＝x2﹣2kx+k﹣1都必定经过唯一定点
【思路点拔】令函数值为0，可以得到一个一元二次方程，根据方程的判别式的符号即可判断A项；求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性即可判断B项；先求出抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），即令，消去k得：y＝﹣x2﹣x﹣1，可知顶点在二次函数y＝﹣x2﹣x﹣1上，即可判断C项；令k＝1和k＝0，得到方程组：，解得，将代入y＝x2﹣2kx+k﹣1，得，与k值无关，即可判断D项．
【解答】解：A．∵，
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B．∵a＝1＞0，抛物线的对称轴：，
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，
当x＞k时，函数y的值都随x的增大而增大，
即不存在n，使得当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小，故B错误；
C．∵y＝x2﹣2kx+k﹣1＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣1，
∴抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），
∴，消去k得：y＝﹣x2﹣x﹣1，
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y＝﹣x2﹣x﹣1，
即在二次函数y＝﹣x2﹣x﹣1的图象上，故C错误；
D．令k＝1和k＝0，得到方程组：，解得，
将，代入y＝x2﹣2kx+k﹣1，得，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点，故D正确，
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围判断函数的增减性，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9．坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【思路点拔】由AB，BC，CD的长度及抛物线的对称性可得点C与点P，点Q与点C的横坐标之差，进而求解．
【解答】解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．
10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．c＜6 D．﹣4≤c＜5
【思路点拔】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的顶点坐标是 　（1，4）　 ．
【思路点拔】抛物线的表达式已经是顶点式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线的表达式是y＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴它的顶点坐标是（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．
12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 　x1＝3，x2＝﹣1　 ．
【思路点拔】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．
【解答】解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
则该函数与x轴的另一个交点是（﹣1，0），
即当y＝0时，0＝﹣x2+2x+m时x1＝3，x2＝﹣1，
故关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；
乙：函数的图象经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0．
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数　y＝（x﹣2）2（不唯一）　 ．
【思路点拔】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x＝2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是直线x＝2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象不经过第三象限．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，
设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
如y＝（x﹣2）2，答案不唯一．
故答案为：y＝（x﹣2）2．
【点评】解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，若OA：OB：OC＝1：2：3，那么二次函数的表达式是 　y＝x2x　 ．
【思路点拔】由于OA：OB：OC＝1：2：3，设OA＝t，则OB＝2t，OC＝3t，所以A（t，0），B（2t，0），C（0，3t），设交点式y＝（x﹣t）（x﹣2t），然后把C（0，3t）代入求出t即可．
【解答】解：设OA＝t，则OB＝2t，OC＝3t，
∴A（t，0），B（2t，0），C（0，3t），
设抛物线解析式为y＝（x﹣t）（x﹣2t），
把C（0，3t）代入得3t＝（0﹣t）（0﹣2t），
解得t1＝0（舍去），t2
∴抛物线解析式为y＝（x）（x﹣3），
即y＝x2x．
故答案为：y＝x2x．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是　①③④　 （填写序号）
【思路点拔】根据抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y经过点（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y经过点（a，bc），
∴
∴bc＞0，故①正确；
∴x2+（a﹣1）x0可以转化为：x2﹣（b+c）x+bc＝0，得x＝b或x＝c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x0的两个实数根，
∴△＝（a﹣1）2﹣4×10，
化简，得（a﹣2）（a2+1）≥0，
∵a2+1≥1，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
故a≥2，即2a﹣1≥3，故④正确；
∵a≥2且a+b+c＝1，
∴b+c＜0，故②错误；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
16．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝　11：10　 ．
【思路点拔】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝1.21h2，求出v1＝1.1v2，可得结论．
【解答】解：由题意，t1，t2，h1，h2，
∵h1＝1.21h2，
∴v1＝1.1v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝11：10，
故答案为：11：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝1.1v2即可．
三．解答题（共8小题）
17．已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；
（2）把点P（m，m2+1）代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3），
∴3＝8+2b+1，
∴b＝﹣3，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x+1；
（2）∵点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，
∴m2+1＝2m2﹣3m+1，
解得：m1＝0，m2＝3，
∴点P的坐标为（0，1）或（3，10）．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．
18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣5经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．
（1）求a，b的值；
（2）若P（4，y1），Q（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝22﹣y1，求m的值．
【思路点拔】（1）利用待定系数法即可求得结论；
（2）先求得y1，再根据y2＝22﹣y1求得y2，即可得到（4，11）与（m，11）是对称点，根据对称性即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5），
∴．
解得：．
（2）当x＝4时，y1＝2x2﹣4x﹣5＝2×42﹣4×4﹣5＝11，
∵y2＝22﹣y1，
∴y2＝22﹣11＝11，
∴（4，11）与（m，11）是对称点，
∴，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，点的对称性，求得函数解析式是解题的关键．
19．阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：设x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透的数学思想有 　转化思想和数形结合　 ；
（2）借助阅读材料直接写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为 　0＜x＜5　 ；
（3）用类似的方法解一元二次不等式：﹣x2﹣3x+4＞0．
【思路点拔】（1）根据题意容易得出结论；
（2）观察图象即可写出一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集；
（3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据y＞0确定一元二次不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集即可．
【解答】解：（1）根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想．
故答案为：转化思想和数形结合．
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴及其下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，
∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5．
故答案为：0＜x＜5．
（3）设﹣x2﹣3x+4＞0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣4与x轴的交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）．
如图：画出二次函数y＝﹣x2﹣3x﹣4的图象，
由图象可知：当﹣4＜x＜1时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即﹣x2﹣3x+4＞0，
∴一元二次不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为：﹣4＜x＜1．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键．
20．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【思路点拔】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答】解：（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，
根据题意得，x（20﹣3x）＝25，
解得：x1＝5，x2，
当x时，AD＝15＞6，
∴x＝5，
∴AD＝5，
答：AD的长是5米；
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB[20﹣x﹣（x﹣6）]，
根据题意得，y＝x（）x2x（x＞6），
∴当x时，y有最大值为．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝xx，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S；
按图乙方案，S[20﹣x﹣（x﹣a）]x，
∴当x时，S的值最大为S，此时a取最大值n时，S的值最大为S；
∵[（n﹣10）2]0，
∴，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
21．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（2a﹣2）x﹣3a﹣1，实数a≠0．
（1）若二次函数图象经过点（﹣2，﹣10），求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a的取值范围；
（3）若a＞0，设点M（m，y1），N（n，y2）是二次函数图象上两个不同点，且m+n+2＝0，求证：y1+y2＞﹣6．
【思路点拔】（1）用待定系数法求函数解析式，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标；
（2）设这两个点的坐标是（x，y）与（﹣x，﹣y），把两点坐标代入二次函数解析式，再两式相加，根据x2＞0得出a的取值范围；
（3）把M，N两点坐标代入解析式，然后得出y1+y2，再由m+n+2＝0，得出y1+y2，＝2a（n+1）2﹣6＞﹣6．
【解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点（﹣2，﹣10），
∴a×（﹣2）2﹣（2a﹣2）×（﹣2）﹣3a﹣1＝﹣10，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x+2；
∴y＝﹣（x﹣2）2+6，
∴顶坐标是（2，6）；
（2）解：设抛物线上关于原点对称的两个点的坐标是（m，n）与（﹣m，﹣n），且m≠0，
∴n＝am2﹣（2a﹣2）m﹣3a﹣1与﹣n＝a（﹣m）2﹣（2a﹣2）（﹣m）﹣3a﹣1，
两式相加得2am2﹣6a﹣2＝0，
∴2am2＝6a+2，
∴m20，
∴2a（6a+2）＞0，
解得a＞0或，
∴a的取值范围为a＞0或；
（3）证明：∵y1＝am2+（2a﹣2）m﹣3a﹣1，y2＝an2+（2a﹣2）n﹣3a﹣1，
∴，
∵m+n＝﹣2，即m＝﹣n﹣2，
∴
＝a（2n2+4n+4）+4a﹣4﹣6a﹣2
＝a（2n2+4n+2）﹣6
＝2a（n+1）2﹣6
∵m+n＝﹣2，m≠n
∴n≠﹣1，
∴（n+1）2＞0，
又∵a＞0，
∴．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是二次函数性质的应用．
22．设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x时，y．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn．
【思路点拔】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；
（2）对称轴为x，当x时，y是函数的最小值；
（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[][]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0，0，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x时，y，
∴乙说的不对；
（2）∵y＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝（x）2，
∴当x时，y是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1 x2（1﹣x1）（1﹣x2）＝（x1﹣x12）（x2﹣x22）＝[][]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0，0，
∵x1≠x2，
∴mn不能取到，
∴0＜mn．
【点评】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确地用x1和x2表示出来是解题的关键．
23．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
【思路点拔】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到xC＝2xB，对称性得到，求出xB，再代入函数解析式求出t的值即可；
（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称轴对称，根据直线l1，l2之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．
【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
∴对称轴为直线，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xc＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线yn的顶点P在直线y＝﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD＝2，点P、D在y轴的同侧．
（1）n＝　﹣m+4　 （用含m的代数式表示），点C的纵坐标是　m2﹣m+4　 （用含m的代数式表示）．
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．
（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
【思路点拔】（1）根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标（m，n），又因为点P在直线y＝﹣x+4上，将p点坐标代入可求出n，将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标，并将其化成含m的代数式；
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，由CD＝2可知，点P的横坐标为2，可求得纵坐标为2，则P（2，2），得出抛物线对应的函数表达式；
（3）根据坐标表示出边BC的长，由矩形周长公式表示出d；
（4）首先点B与C不能重合，因此点B不会在抛物线上，则分两类情况讨论：①点C、D在抛物线上时；②点C、E在抛物线上时；由（1）的结论计算出m的值．
【解答】解：（1）y（x﹣m）2+nx2mxm2+n，
∴P（m，n），
∵点P在直线y＝﹣x+4上，
∴n＝﹣m+4，
当x＝0时，ym2+nm2﹣m+4，
即点C的纵坐标为：m2﹣m+4，
故答案为：﹣m+4，m2﹣m+4；
（2）∵四边形BCDE是矩形，
∴DE∥y轴．
∵CD＝2，
∴将x＝2代入y＝﹣x+4中，得y＝2．
∴DE与AB的交点坐标为（2，2）．
∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为（2，2）．
∴抛物线对应的函数表达式为．
（3）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
当点B与点C重合时，．
解得m1＝0，m2＝﹣3．
i）当m＜﹣3或m＞0时，如图①、②，．
．
ii）当﹣3＜m＜0时，如图③，．
．
（4）如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD＝2可知对称轴为：x＝±1，即m＝±1；
如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD＝2得：E（﹣2，4）
则4（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、．
综上所述：m＝1、m＝﹣1、、．
【点评】本题是二次函数与一次函数及矩形的综合题，考查了函数与两坐标轴的交点坐标，考查了二次函数的顶点式和矩形的性质，本题的解题思路为：利用点B的坐标和矩形的边长CD＝2可以表示出点E的坐标或列式计算．