第2章《特殊三角形》单元测试（含解析）

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第2章《特殊三角形》单元测试
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．5或4
3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（　　）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定
4．等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4 cm，则AD等于（　　）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
5．如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
6．如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（　　）
A．175° B．170° C．10° D．5°
7．下列命题中假命题是（　　）
A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
8．如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（　　）
A．△ABC的三边都是有理数
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC的面积为6.5
D．△ABC是直角三角形
9．如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向形外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；图②，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；图③，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3．其中满足S1＝S2+S3的有（　　）
A．① B．② C．①② D．①②③
10．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP，则AC2﹣AP2＝（　　）
A．CP BP B．CP BC
C．BP BC D．以上都不对
二．填空题（共6小题）
11．等边三角形的边长为4，则它的面积是 　 　 ．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD，若∠CBD＝44°，则∠A＝　 　 °．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 　 　 ．
14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为　 　 ．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A的面积是8cm2，B的面积是14cm2，C的面积是18cm3，则D的面积为 　 　 cm2．
16．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD＝5，BE＝2，则斜边AB之长为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，按下列要求画出格点，按下列要求画出格点三角形．
（1）三边长分别为3，；（图1）
（2）三边长分别为5，．（图2）
18．如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．
（1）求∠B，∠C和∠BAD的度数．
（2）当AC＝8m时，求AD的长．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．
（1）则△CDE的形状是　 　 ；
（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
21．已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图（1）所示，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图（2）所示，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC．
（3）若点O在△ABC的外部，结论“AB＝AC”还成立吗？　 　 （只要填“成立”或“不成立”，不需证明过程．）
22．已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，连接DE、CE、CD．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判断△DEC的形状，并说明理由；
（3）当∠CAB+∠DBA＝45°时，若CD＝12，取CD中点F，求EF的长．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE＝DF；
（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．
第2章《特殊三角形》单元测试
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D D A C D A
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．5或4
【思路点拔】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
【解答】解：解方程组，得，
所以等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以，这个等腰三角形的周长为5．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（　　）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定
【思路点拔】根据三角形内角和定理证明∠A＝∠EOC，然后根据三角形的外角的性质可以得到：∠EOC＝∠1+∠2，从而判断．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠OEC＝∠ADC＝90°，
又∵△ACD和△OCE中，∠ACD＝∠OCE，
∴∠A＝∠EOC
又∵∠EOC＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，正确证明∠A＝∠EOC是关键．
4．等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4 cm，则AD等于（　　）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解．
【解答】解：∵等腰三角形ABC中，∠A＝120°，BC中点为D，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵DE⊥AB，AE＝4cm，
∴AD＝2AE＝8cm．
故选：A．
【点评】此题考查学生对等腰三角形三线合一的掌握及直角三角形的性质的运用．
5．如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．
【解答】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD＝8cm，BE＝3cm，
∴BC＝BE＝3cm，AB＝BD＝CD﹣BC＝8﹣3＝5cm，
∴AC．
故选：D．
【点评】考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用．
6．如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（　　）
A．175° B．170° C．10° D．5°
【思路点拔】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A140°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An，
以点A4为顶点的底角为∠A5．
∵∠A55°，
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
7．下列命题中假命题是（　　）
A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
【思路点拔】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、如果两个三角形第三边的高，一条在一个三角形的内部，另一条在另一个三角形的外部，此时两个三角形不全等，因此命题是假命题，故A符合题意；
B、如图：AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中线．
延长AD到E使DE＝AD，连接BE，延长A′D′到E′使D′E′＝A′D′，连接B′E′，由SAS判定△ADC≌△EDB得到BE＝AC，同理B′E′＝A′C′，得到BE＝B′E′，推出△ABE≌△A′B′E′（SSS），得到∠BAD＝∠B′A′D′，同理：∠CAD＝∠C′A′D′，因此∠BAC＝∠B′A′C′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命题正确，故B不符合题意；
C、命题正确，故C不符合题意；
D、如图：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中线，
由SSS判定△ABD≌△A′B′D′，推出∠B＝∠B′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命题正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
8．如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（　　）
A．△ABC的三边都是有理数
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC的面积为6.5
D．△ABC是直角三角形
【思路点拔】根据勾股定理求出三边的长度，再求出的结果和三角形的面积判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
A、AB和BC边为无理数，AC边为有理数，原说法错误，不符合题意；
B、AB、AC、BC都不相等，不是等腰三角形，原说法错误，不符合题意；
C、△ABC面积为4×43×41×41×3＝6.5，正确，符合题意；
D、AB2+BC2≠AC2，不是直角三角形，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和勾股定理，能根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键．
9．如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向形外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3；图②，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个正方形，其面积分别为S1，S2，S3；图③，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3．其中满足S1＝S2+S3的有（　　）
A．① B．② C．①② D．①②③
【思路点拔】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．
【解答】解：∵S3AC2，S2BC2，S1AB2，
∴S2+S3＝S1．
由三个四边形都是正方形则：
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
∵S1AB2，S2BC2，S3AC2，
∴S2+S3＝S1．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．
10．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP，则AC2﹣AP2＝（　　）
A．CP BP B．CP BC
C．BP BC D．以上都不对
【思路点拔】可作AD⊥BC，把AD边当作中间量进行等效代换．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，AC2＝CD2+AD2，AP2＝AD2+DP2，
∴AC2﹣AP2＝CD2﹣DP2＝（CD+DP） （CD﹣DP）
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴CD+DP＝BD+DP＝BP，
∴AC2﹣AP2＝BP CP
故选：A．
【点评】熟练掌握等腰三角形的性质．
二．填空题（共6小题）
11．等边三角形的边长为4，则它的面积是 　4　 ．
【思路点拔】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据BC和AD即可求得三角形的面积．
【解答】解：如图，∵等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，BD＝DC＝2，
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，
∴AD2，
∴等边△ABC的面积为BC AD4×24．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理即可AD的长度是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD，若∠CBD＝44°，则∠A＝　44　 °．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵BC＝BD，∠CBD＝44°，
∴∠C＝∠BDC（180°﹣44°）＝69°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝69°，
∴∠A＝44°，
故答案为：44．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 　70°或110°　 ．
【思路点拔】根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．
【解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图△ABC．
∵BD是△ABC的高线，
∴∠A+∠ABD＝90°．
∵∠ABD＝20°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝70°．
即当顶角是锐角时，顶角的度数是70°．
（2）当顶角是钝角时，如图△EFG．
∵FH为△EFG的高线，
∴∠FHG＝90°．
∵∠HFE＝20°，∠FHG＝90°，
∴∠FEG＝∠HFE+∠FHG＝110°．
即当顶角是钝角时，顶角的度数是110°．
综上可知，等腰三角形的顶角为70°或110°．
故答案为：70°或110°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是等腰三角形的性质定理．
14．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为　或　 ．
【思路点拔】①如图1根据已知条件得到PBBC＝1，根据勾股定理即可得到结论；
②如图2，根据已知条件得到PCBC＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：①如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∵PBBC＝1，
∴CP＝2，
∴AP，
②如图2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∵PCBC＝1，
∴AP，
综上所述：AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A的面积是8cm2，B的面积是14cm2，C的面积是18cm3，则D的面积为 　24　 cm2．
【思路点拔】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．
【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82＝64，
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x cm2，
∴8+14+18+x＝64，
∴x＝24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．
16．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD＝5，BE＝2，则斜边AB之长为　　 ．
【思路点拔】设BC＝x，AC＝y，根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．
【解答】解：设BC＝x，AC＝y
根据题意运用勾股定理，得
整理得，65，即x2+y2＝52
∴斜边的长是2．
【点评】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．
三．解答题（共7小题）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，按下列要求画出格点，按下列要求画出格点三角形．
（1）三边长分别为3，；（图1）
（2）三边长分别为5，．（图2）
【思路点拔】（1）如图所示，AB＝3，AC为直角边分别为2和2的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出AC，BC为直角边分别为2和1的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出BC，得到三角形ABC为所求的三角形；
（2）如图所示，DE为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出DE，DF为直角边分别为4和2的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出DF，EF为直角边分别为2和1的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出EF，三角形DEF为所求的三角形．
【解答】解：（1）如图1所示：AB＝3，AC2，BC，
∴△ABC为所求作的三角形；
（2）如图2所示，DE5，DF2，EF，
∴△DEF为所求作的三角形．
【点评】此题考查了勾股定理的运用，属于网格型试题，网格型试题是近几年中考的热点试题．
18．如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．
（1）求∠B，∠C和∠BAD的度数．
（2）当AC＝8m时，求AD的长．
【思路点拔】（1）等腰三角形的三线合一的性质即可求解；
（2）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．依此即可求解．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．
∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∠BAD∠BAC＝60°；
（2）∵在△ABC中，AC＝8m，∠C＝30°，
∴ADAC＝4m．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三线合一，高线，中线，角平分线重合．
19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．
（1）则△CDE的形状是　等腰三角形　 ；
（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得到AB＝AC，求得∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠CDE，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠A＝∠E，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△CDE是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴△CDE是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
（2）BF＝DF，
理由：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠E，
∵AF＝CE，
∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，
即EF＝AC＝AB，
在△AFB与△EDF中，
∴△ABF≌△EFD（SAS），
∴BF＝DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
【思路点拔】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；
（2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
21．已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图（1）所示，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图（2）所示，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC．
（3）若点O在△ABC的外部，结论“AB＝AC”还成立吗？　不成立　 （只要填“成立”或“不成立”，不需证明过程．）
【思路点拔】（1）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．只要证明Rt△OEB≌Rt△OFC，推出BE＝CF，Rt△AOE≌Rt△AOF，推出AE＝AF，即可证明．
（2）结论仍然成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．方法类似（1）．
（3）结论不成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．方法类似（1）．
【解答】（1）证明：如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．
∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴BE＝CF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AE＝AF，
∴BE+AE＝CF+AF，即AB＝AC．
（2）证明：如图2中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．
∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴BE＝CF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AE＝AF，
∴BE+AE＝CF+AF，即AB＝AC．
（3）解：结论不一定成立．如图3中．AB≠AC′
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差定义等知识，解题的关键是利用HL判定两个三角形全等，属于中考常考题型．
22．已知：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，连接DE、CE、CD．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，判断△DEC的形状，并说明理由；
（3）当∠CAB+∠DBA＝45°时，若CD＝12，取CD中点F，求EF的长．
【思路点拔】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝BE＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ACE＝25°，∠DBA＝∠BDE＝35°，根据三角形的外角的性质得到∠BED＝50°，∠ADE＝70°，由等边三角形的判定定理即可得到结论；
（3）同（2）证出∠DEC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE；
（2）△DEC是等边三角形，
理由：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，
∴DE＝AE＝BE＝CE，
∴∠CAB＝∠ACE＝25°，
∠DBA＝∠BDE＝35°，
∴∠BEC＝50°，∠AED＝70°，
∴∠DEC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△DEC是等边三角形；
（3）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，
∴DE＝AE＝BE＝CE，
∴∠CAB＝∠ACE，∠DBA＝∠BDE，
∴∠BED＝2∠CAB，∠AED＝2∠ABD，
∴∠DEC＝180°﹣2（∠CAB+∠DBA）＝90°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∵点F是斜边CD上的中点，DE＝CE，∠DEC＝60°，
∴EFCD＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题有一定难度．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE＝DF；
（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．
【思路点拔】（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°，AD＝BD，求出∠BDE＝∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；
（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE＝CF，根据勾股定理求出即可；
（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF．
（2）证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE＝AF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF＝AE，
∴EF2＝AE2+AF2＝BE2+CF2，
即BE2+CF2＝EF2．
（3）解：EF2＝BE2+CF2＝100，
∴EF＝10，
根据勾股定理DE＝DF＝5，
△DEF的面积是DE×DF5525．
答：△DEF的面积是25．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，构造三角形ADF，证出△BDE和△ADF全等是解（1）的关键，求出CF＝AE是解（2）的关键．