第二章 特殊三角形单元测试·培优卷【原卷+答案解析+试卷分析】-2025-2026学年八年级数学上册浙教版(2024)

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名称 第二章 特殊三角形单元测试·培优卷【原卷+答案解析+试卷分析】-2025-2026学年八年级数学上册浙教版(2024)
格式 zip
文件大小 5.4MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2025-08-08 11:40:35

文档简介

2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第二章 特殊三角形单元测试·培优卷
( 全卷满分120 分,考试时间120 分钟)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题(每题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下列腾讯QQ表情中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为7,底角为.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( )
A.三条边长分别是7,5,5
B.两个角是,它们的夹边为7
C.两条边长分别为5,7,它们的夹角为
D.两条边长是5,一个角是
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为,则顶角的度数为( )
A. B. C.或 D.或
4.如图,已知射线,以为圆心,任意长为半径画弧,与射线交于点,再以点为圆心,长为半径画弧,两弧交于点,画射线,作,垂足为,那么的度数是( )
A. B. C. D.
5.如图,在中,,过点作于点,过点作于点,连接,过点作,交于点.与相交于点,若点是的中点,则下列结论中,①;②;③;④.正确的个数是(  )

A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,是的角平分线,,,垂足分别为E,F,连接.与相交于点G.则下列结论:①;②;③垂直平分;④垂直平分,正确的是( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
7.如图是个边长相等的小正方形组合成的图形,则的度数之和为( )
A. B. C. D.
8.如图,在四边形中,,,,则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图,在四边形中,,E是上一点,F是的中点,,若,则的长度是(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
10.如图,在中,,将沿折叠至,,连接,平分,则的度数是( )
A. B. C. D.
填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.若等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为 .
12.如图,中,,、的垂直平分线分别交于点、,则的度数为
13.如图,在中,,是的角平分线,于点E.
(1)若,则 ,
(2)若,,则 .
14.如图,,,,则的度数是 .
15.如图,在等腰三角形中,,是边上的中线,过点D作的角平分线交于点E,过点E作,垂足为点F,交于点G,若,,则 .
16.如图,在中,,分别是和的角平分线,交于点D,于点H,若,,则的长是 .
三、解答题(第 17,18,19,20,21 题每题 8 分,第 22,23 题每题 10 分,第 24 题 12 分,共 72 分)
17.如图,已知点P为边上一点,请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线:
(1)如图①,作一条直线l,使得点B关于l的对称点为P.
(2)如图②,作一条过点C的直线m,使得点P关于m的对称点落在上.(保留作图痕迹,不写作法)
18.等腰三角形中,周长为.
(1)如果腰长是底边长的倍,求各边长;
(2)如果一边长为,求另两边长.
19.如图,在中,,,点为内一点,,,的平分线交的延长线于点,连接.
(1)的度数为________,的度数为________;
(2)求证:.
20.已知,在中,点D是上一点,过点D的直线交于点E,交延长线于点F,点G是上一点,连接并延长交延长线于点H,,.
(1)若,求的度数:
(2)若,,求证:.
21.如图,在中,,的垂直平分线交于点D,交于点E,连接、.
(1)若的周长是14,的长是3,求的周长;
(2)若,求证:点E在线段的垂直平分线上.
22.如图,是的边上的高,平分交于点,若,,求和的度数.
23.如图,在中,点D是的中点,,交的平分线于点E,垂足为F,,交的延长线于点G,试判断线段、有何关系,并说明理由.
24.如图,已知中,是边上的两个动点,其中点从点开始沿方向运动.且速度为每秒,点从点开始沿方向运动,且速度为每秒,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)当秒时,求的长;
(2)求出发时间为几秒时,是等腰三角形?
(3)若沿方向运动,则当点在边上运动时,求能使成为等腰三角形的运动时间.(共7张PPT)
浙教版2024八年级上册
第二章 特殊三角形单元测试·培优卷试卷分析
一、试题难度
整体难度:难
难度 题数
较易 2
适中 18
较难 4
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.65 轴对称图形的识别
2 0.85 用SAS证明三角形全等(SAS);等腰三角形的定义;用SSS证明三角形全等(SSS);用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)
3 0.65 三角形内角和定理的应用;等边对等角
4 0.65 作线段(尺规作图);等边三角形的判定和性质
5 0.4 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);等腰三角形的性质和判定
6 0.65 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);线段垂直平分线的判定
7 0.65 直角三角形的两个锐角互余;全等的性质和SAS综合(SAS)
8 0.4 全等的性质和SAS综合(SAS);用勾股定理解三角形;根据等角对等边证明边相等
9 0.65 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);角平分线的性质定理;角平分线的判定定理
10 0.4 等边三角形的判定和性质;折叠问题;三角形内角和定理的应用;全等的性质和HL综合(HL)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 构成三角形的条件;等腰三角形的定义
12 0.65 三角形内角和定理的应用;线段垂直平分线的性质;等边对等角
13 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题;全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);等腰三角形的性质和判定
14 0.65 两直线平行同位角相等;直角三角形的两个锐角互余;垂线的定义理解
15 0.65 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);三线合一;用勾股定理解三角形
16 0.65 角平分线的性质定理;用勾股定理解三角形;全等的性质和HL综合(HL);根据等角对等边求边长
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 作角平分线(尺规作图);作已知线段的垂直平分线;根据成轴对称图形的特征进行求解
18 0.65 三角形三边关系的应用;等腰三角形的定义;几何问题(一元一次方程的应用)
19 0.65 全等三角形综合问题;等边对等角;三角形内角和定理的应用;三角形的外角的定义及性质
20 0.65 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS);等腰三角形的性质和判定;三角形的外角的定义及性质
21 0.65 线段垂直平分线的性质;线段垂直平分线的判定;全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)
22 0.65 角平分线的有关计算;三角形内角和定理的应用;直角三角形的两个锐角互余
23 0.65 角平分线的性质定理;线段垂直平分线的性质;全等的性质和HL综合(HL)
24 0.4 等腰三角形的性质和判定;用勾股定理解三角形;几何问题(一元一次方程的应用)《第二章 特殊三角形单元测试·培优卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C C B D A D
1.C
本题考查了轴对称图形的识别.根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
解:A、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、是轴对称图形,故本选项不符合题意误;
C、不是轴对称图形,故本选项符合题意;
D、是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
2.D
本题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的定义.结合等腰三角形的定义,判断三角形是否全等,即可得到答案.
解:A、两个三角形三边分别相等,可利用“”证明全等,本选项不符合题意;
B、两个三角形的两个角及夹边分别相等,可利用“”证明全等,本选项不符合题意;
C、两个三角形的两条边及夹角分别相等,可利用“”证明全等,本选项不符合题意;
D、两个三角形两条边相等,但一对相等的角不是夹角,不能证明全等,本选项符合题意;
故选:D.
3.D
本题主要考查等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,掌握分类讨论的数学思想是解题的关键.分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形,再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数.
解:①当等腰三角形为锐角三角形时,如图①,
高与右边腰成夹角,由三角形内角和为可得,顶角为;
②当等腰三角形为钝角三角形时,如图②,
此时垂足落到三角形外面,因为三角形内角和为,
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为,所以三角形的顶角为,
所以该等腰三角形的顶角为或,
故选:D.
4.D
本题考查了等边三角形的判定与性质,基本作图.
根据作图可得,则是等边三角形,根据等边三角形的性质,即可求解.
解:如图所示,连接,

是等边三角形,



故选:D.
5.C
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.
根据题意,利用角边角证明,可得是等腰直角三角形,可判定结论①;过点作于点,证明,得,,可判定结论②;根据上述证明,设,则,,,可判定结论③;根据题意可证,得到,结合上述证明可得,则有,进而得到,可判定结论④;由此即可求解.
解:∵,
∴,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,故①正确;
如图所示,过点作于点

由①的证明可得,,则,
∵,
∴,
∵点是中点,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴,
∵,
∴,故②正确;
由上述证明,设,则,,,
∴,
∴,故③正确;
∵,
∴,
由①可知,,,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,故④错误;
综上所述,正确的有①②③,共3个,
故选:C .
6.C
本题主要考查了全等三角形的性质与判定,线段垂直平分线的判定,可利用证明得到,据此可判断①②③;根据现有条件无法证明垂直平分,据此可判断④.
解:∵是的角平分线,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,故①②正确;
∴垂直平分,故③正确;
根据现有条件无法证明垂直平分,故④错误;
故选:C.
7.B
本题考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,先证明,得到,进而由得到,即可求解,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
解:如图,在和中,

∴,
∴,
∵,
∴,
故选:.
8.D
本题可通过构造全等三角形,将所求线段BD转化到直角三角形中,利用勾股定理求解.作辅助线构造等腰直角三角形,证明三角形全等,再结合勾股定理计算BD的长度.本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定定理(SAS)和勾股定理是解题的关键.
解: 作 ,使 ,连接 ,.
∵ ,,
∴ ,.
∵ ,
∴ ,.
又∵ ,
∴ ,即 .
在 和 中,

∴ ,
∴ .
∵ ,,
∴ .
在 中,,,
∴ .
∵ ,
∴ .
故选:D.
9.A
本题考查全等三角形的判定与性质,垂直平分线的判定与性质,延长与交于点,证明得到,,结合,得到垂直平分,则,即可得到.
解:延长与交于点,
∵,
∴,,
∵F是的中点,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
10.D
连接,过点作于E,于F,可得是等边三角形,得出,运用可证得,得出,再运用三角形内角和定理即可求得答案.
解:如图,连接,过点作于E,于F,
则,
由折叠可知,,

是等边三角形,

平分,

又,

在和中,




即,



故选:D.
本题考查了折叠变换的性质,等边三角形的判定和性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理等,添加辅助线构造全等三角形是解题关键.
11.12
本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点,结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键.
分腰长为2和腰长为5两种情况,分别确定三边,然后再根据三角形的三边关系判断,最后再求周长即可。
解:①当等腰三角形的腰长为2时,底边长为5,
∵,
∴不能构成三角形;
②当等腰三角形的腰长为5时,底边长为2,
∵,
∴能构成三角形;
∴等腰三角形的周长.
综上所述:等腰三角形的周长为12.
故答案为:12.
12./50度
此题考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质.注意掌握整体思想的应用.利用垂直平分线的性质求,则,,则,再利用三角形的内角和计算.
解:、的垂直平分线分别交于点、,
,则,
设度,
,则,
设,


根据三角形内角和定理,,
解得.
故答案为:.
13. 12
(1)运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算,即可作答.
(2)根据和的面积比得,延长交于,根据证明,根据全等三角形的性质得到,进而得到,根据三角形的外角性质和等边对等角得到,进而得到,根据等角对等边得到,则即可作答.
解:(1)∵,,
∴,
∴,
∵是的角平分线,
∴,
故答案为:;
(2)是的角平分线,

∵,
∴,
依题意,延长交于
平分,



在和中,










∵,,
∴,
∴,
故答案为:12.
本题考查了全等三角形的性质与判定,三角形内角和性质,等腰三角形的判定与性质,角平分线的性质,等边对等角,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
14.
本题考查平行线的性质,根据平行线的性质得,由垂直的定义得,继而得到.解题的关键是掌握:直角三角形两锐角互余.
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
即的度数是.
故答案为:.
15.
本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.连接,证明,得,从而求得的长;由面积法求得的长,由勾股定理求得的长,最后即可求得的长.
解:如图,连接,
∵平分,
∴;
∵,是边上的中线,
∴,,
∴;
∵,
∴;
∵,
∴,
∴;
在与中,

∴,
∴,
∴;
由勾股定理得:;
∵,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴.
故答案为:.
16.5
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点.过P作于E,求出,根据角平分线的性质求出,根据勾股定理得出关于x的方程,求出x的值,即可得到的长.
解:过P作于E,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,平分,,
∴,
∵,
∴,

设,
∵,
∴,
在中,由勾股定理得:,

解得:,
∴,
故答案为:5.
17.(1)见解析
(2)见解析
本题考查了轴对称的性质,尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线,熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键.
(1)由点B关于l的对称点为P,可得直线l为线段的垂直平分线,即可作图;
(2)点P关于m的对称点落在上,可得直线m为的平分线所在的直线,即可作图.
(1)解:如图①,连接,作线段的垂直平分线l,
则直线l即为所求.
(2)解:如图②,作的平分线,
则的平分线所在的直线m即为所求.
18.(1),,
(2),
本题考查了等腰三角形概念,三角形的三边关系定理,解一元一次方程的应用.注意:求出的边长应符合三角形的三边关系定理.
(1)设底边,则腰长,根据三角形的周长公式,列出方程,即可求解;
(2)分为长为边是等腰三角形的腰和长为边是等腰三角形的底边,两种情况,进行分析,结合三角形的三边关系进行验证,即可求解.
(1)解:设底边,则腰长,
∵三角形的周长是,
∴,
∴,
则,
即等腰三角形的三边长是,,.
(2)解:当长为边是等腰三角形的腰时,
设底边为,
则,
解得:,
此时,等腰三角形的三边长是,,,
∵,
故三条边的边长为,,时,不构成三角形;
当长为边是等腰三角形的底边时,
设等腰三角形的腰为,
则,
解得:,
三角形的三边长是,,,
∵,
故三条边的边长为,,时,构成三角形;
故如果一边长为时,另两边长,.
19.(1),
(2)见解析
本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定,结合图形正确找出全等三角形是解题的关键.
(1)根据等边对等角和三角形内角和定理得到,再根据角的和差关系即可求解;
(2)根据角平分线的定义得到,根据三角形内角和定理推出,通过证明,得到,利用周角的定义得出,根据三角形外角的性质得到,得到,推出,再利用全等三角形的性质以及等量代换即可证明.
(1)解:∵,,
∴,
∵,,
∴,

∴的度数为,的度数为;
故答案为:,;
(2)证明:∵是的平分线,
∴,
由(1)得,,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
20.(1)
(2)见解析
本题主要考查了三角形外角的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质:
(1)根据,以及三角形外角的性质,可得,,再由,可得,,即可求解;
(2)根据,以及三角形外角的性质,可得,可证明,可得,,即可求证.
(1)解:∵,,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴;
(2)证明:∵,
∴,
∵,,
∴,
在和中,
∵,,,
∴,
∴,,
∴,
即.
21.(1)
(2)证明见解析
本题考查了垂直平分线的性质,三角形全等的判定及性质,解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质,利用转换的思想进行求解.
(1)根据题意得出,根据△ABC的周长是14,可得,通过等量代换可知,即可得出答案;
(2)通过证明出,得出,即可证明.
(1)解:是的垂直平分线,



的周长为14,



的周长为8;
(2)解:,







即点E在线段的垂直平分线上.
22.
此题考查了三角形内角和定理,角平分线和直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握以上性质,并灵活应用.
根据是边上的高,可得,再由角平分线的定义,可得,然后根据三角形内角和定理,即可求解.
解:是边上的高,




平分,

,,

23.,理由见解析
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及角平分线的性质,利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键.根据角平分线的性质可得出,根据垂直平分线的性质可得出,进而即可证出,再根据全等三角形的性质即可得出.
解:,理由如下:
∵平分,,,
∴,
∵点D是的中点,,
∴,
在和中,,
∴,
∴.
24.(1)
(2)
(3)点Q运动秒或6秒或秒时,是等腰三角形
(1)根据题意,,,解答即可.
(2)根据题意,,,点P在线段上,则,结合是等腰三角形,得,此时;解答即可.
(3)根据等腰三角形性质和判定,分三种情况,解答即可.
本题考查了勾股定理,等腰三角形的判定和性质,熟练掌握定理和性质是解题的关键.
(1)解:根据题意,得,,
当秒时,,,
此时,,
又,
故.
(2)解:根据题意,,,
点P在线段上,则,
由是等腰三角形,
得,
此时;
解得.
(3)解:∵,
∴,
∵动点Q的速度为,设运动时间为,
∴点Q运动路程,
∵点Q在上,
∴所以运动时间大于,,
∵是等腰三角形,
当时,
则,
∴,
∴,
∴,
∴,
此时,;
当时,
则,
过点B作于点G,
则,,
∴,
∴,
此时,;
当时,此时,
此时,,
综上所述,点Q运动秒或6秒或秒时,是等腰三角形.