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第4章《图形与坐标》单元测试·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）到原点的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
2．在平面直角坐标系中，点P（m，n）向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到Q点，若Q点在第一象限，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2）．先将△ABC向右平移4个单位，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，则A1的对应点A2的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（6，0） D．（5，0）
4．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕，如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别为（2，1）、（﹣1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，0） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
5．已知点A的坐标为（2，﹣1），AB∥y轴且AB＝3，则点B的坐标为（ ）
A．（5，﹣1） B．（2，2）
C．（5，﹣1）或（﹣1，﹣1） D．（2，2）或（2，﹣4）
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转120°得到线段OB，连接AB交y轴于点P，已知，将△AOB向左平移，当点B的对应点B'落在y轴上时，点P的对应点P'的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A（﹣3，2），B（a，a+1），且AB∥x轴，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．2 D．1
8．在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′，若点A′位于第四象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m＜2，n＞3 B．m＞2，n＜3 C．m＜﹣2，n＜﹣3 D．m＜﹣2，n＞﹣3
9．有下列结论
①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直；
②如果点P（1，3﹣2n）在经过点（4，﹣1）且与x轴平行的直线上，那么n＝2；
③算术平方根等于它本身的数是1；
④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，RtΔOA1C1，RtΔOA2C2，RtΔOA3C3，RtΔOA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝ ＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2024的纵坐标为（ ）
A．0 B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知AB∥y轴，A（1，﹣2），且AB＝4，B点在第四象限，则B点坐标为 ．
12．点P（﹣1，x2+3）在第 象限．
13．在平面直角坐标系中，把点P（3，a﹣1）向下平移5个单位得到点Q（3，2﹣2b），则代数式a+2b+3的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P1（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点P第20次跳动至P20的坐标是 ．
15．已知点在第四象限，则a的取值范围是 ．
16．如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分）
17．慧慧和敏敏对着如图示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表100m）．
慧慧说：“超市的坐标是（200，200）．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．”
（1）根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；
（2）写出学校、少年宫的坐标；
（3）写出超市到少年宫的距离；
（4）乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为280m，请写出图书馆相对于公园的位置．
18．在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣2m，m+1）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，求点M的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 ，点B'的坐标为 ；
（2）①画出三角形A'B'C'；
②写出三角形A'B'C'的面积；
（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为 ．
20．阅读材料：
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点间的距离AB，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：
若点A（4，1），B（3，2），则AB．
若点A（a，1），B（3，2），且AB，则．
进一步化简得2＝（a﹣3）2+1∴（a﹣3）2＝1
由平方根的定义可得a﹣3的值，进而求出a的值．
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（m，2）
①若m＝1，则A、B两点间的距离是 ．
②若AB∥y轴，则A、B两点间的距离是 ．
（2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5．求B点坐标．
21．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+1，3m+2）．
（1）若点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
（2）将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值．
22．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶关联点”（a为常数，且a≠0）．
例如：点P（1，4）的“2阶关联点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，3）的“3阶关联点”的坐标为 ；
（2）若点B的“4阶关联点”为（﹣5，10），求点B的坐标；
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣2阶关联点”到两坐标轴的距离相等，求m的值．
23．已知点A（a，0），B（0，b），且．
（1）直接写出A，B两点坐标；
（2）将线段AB平移至线段CD（点A与C对应，点B与D对应），
①如图（1），若点D坐标为（m，m），点C在y轴上，求线段AD与y轴交点E的坐标；
②如图（2），若点D坐标为（6，0），点P在坐标轴上，三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，直接写出P点坐标．
24．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且OB⊥AB，OB＝2．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，设OO′＝m，其中0＜m＜4，连接BO′，AB与O′B′交于点C．
①试用含m的式子表示△BCO′的面积S，并求出S的最大值；
②当△BCO′为等腰三角形时，求点C的坐标（直接写出结果即可）．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章《图形与坐标》单元测试·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）到原点的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】坐标与图形性质
【分析】点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的平方根．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（1，﹣2），
∴点（1，﹣2）到原点的距离是：．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理和点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．
2．在平面直角坐标系中，点P（m，n）向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到Q点，若Q点在第一象限，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】先根据平移法则，点P向左平移3个单位，再向下平移4个单位，则点P的横坐标减少3，纵坐标减少4，再根据点Q在第一象限，则点Q的横坐标大于0，纵坐标大于0，解不等式组可得结论．
【解答】解：∵点P（m，n）向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到Q点，
∴点Q的坐标为（m﹣3，n﹣4），
∵点Q在第一象限，
∴，
解得：，
∴点P所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2）．先将△ABC向右平移4个单位，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，则A1的对应点A2的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（6，0） D．（5，0）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移
【分析】先根据平移方式确定A1、B1、C1的坐标，再根据旋转方式确定A2、B2、C2的位置，结合坐标系即可得到答案．
【解答】解：△A1B1C1和△A2B2C2在坐标系中如图所示：
∴A2（6，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
4．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕，如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别为（2，1）、（﹣1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，0） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
【考点】规律型：点的坐标
【分析】根据题中A、C两点的坐标分别为（2，1）、（﹣1，2），数形结合，建立平面直角坐标系，即可得到点B的坐标．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图即为所求；
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，数形结合是解决问题的关键．
5．已知点A的坐标为（2，﹣1），AB∥y轴且AB＝3，则点B的坐标为（ ）
A．（5，﹣1） B．（2，2）
C．（5，﹣1）或（﹣1，﹣1） D．（2，2）或（2，﹣4）
【考点】坐标与图形性质
【分析】根据AB∥y轴，可得点B的横坐标与点A相同，均为2．再利用两点间距离公式求出点B的纵坐标，即可求解．
【解答】解：由条件可知点B的横坐标也为2，
∵AB＝3，
∴点B的纵坐标为﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2，
∴点B的坐标为（2，2）或（2，﹣4），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握该知识点是关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转120°得到线段OB，连接AB交y轴于点P，已知，将△AOB向左平移，当点B的对应点B'落在y轴上时，点P的对应点P'的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移
【分析】过点B作BC⊥x轴 C，先求出，，继而可得，，由向左平移个单位长度得到B′，则也向左平移个单位长度得到，即可解答．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴 于点C，如图，
∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOP＝90°，，AO＝BO，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由向左平移个单位长度得到B′，则也向左平移个单位长度得到．
故选B．
【点评】本题考查平移，旋转，含30°角的直角三角形，邻补角的定义，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．已知点A（﹣3，2），B（a，a+1），且AB∥x轴，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．2 D．1
【考点】坐标与图形性质
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A（﹣3，2），B（a，a+1），且AB∥x轴，
所以a+1＝2，
解得a＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′，若点A′位于第四象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．m＜2，n＞3 B．m＞2，n＜3 C．m＜﹣2，n＜﹣3 D．m＜﹣2，n＞﹣3
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A′（m﹣2，n﹣3），再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可．
【解答】解：∵将点A（m，n）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′，
∴A′（m﹣2，n﹣3），
∵A′（m﹣2，n﹣3）在第四象限，
∴m﹣2＞0，n﹣3＜0，
∴m＞2，n＜3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第四象限内的点的坐标特点，熟练掌握以上知识点是关键．
9．有下列结论
①同一平面内两条直线的位置关系是平行和垂直；
②如果点P（1，3﹣2n）在经过点（4，﹣1）且与x轴平行的直线上，那么n＝2；
③算术平方根等于它本身的数是1；
④同一平面内只有一条直线与已知直线垂直．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】坐标与图形性质；平行线；平行线的判定与性质
【分析】逐一分析四个结论的正确性，结合平面几何和代数知识进行判断．
【解答】解：①同一平面内两条直线的位置关系为平行或相交，垂直是相交的特殊情况，错误，不符合题意；
②∵点P（1，3﹣2n）在经过点（4，﹣1）且与x轴平行的直线上，
∴3﹣2n＝﹣1，
∴n＝2，正确，符合题意；
③算术平方根等于本身的数是0或1，错误，不符合题意；
④同一平面内有无数条直线与已知直线垂直，错误，不符合题意；
综上，正确个数为1．
故选：B．
【点评】此题考查了同一平面内直线的位置关系，算术平方根，与x轴平行的直线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，RtΔOA1C1，RtΔOA2C2，RtΔOA3C3，RtΔOA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝ ＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2024的纵坐标为（ ）
A．0 B．
C． D．
【考点】规律型：点的坐标
【分析】根据∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝ ＝30°，OA1＝OC2＝3，在RtΔOA2C2中，cos30°，则OA2OC2＝3，同理可得：OA3OC3＝3×（）2，OA2024＝3×（）2023，根据2024÷4＝506，可知点A2024在y轴的负半轴上，因此点A2024的纵坐标为：﹣3×（）2023．
【解答】解：∵∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝ ＝30°，OA1＝OC2＝3，在RtΔOA2C2中，
cos30°，
则OA2OC2＝3，
同理可得：OA3OC3＝3×（）2，
OA4OC4＝3×（）3，
，
∴OA2024＝3×（）2023，
∵2024÷4＝506，
∴点A2024在y轴的负半轴上，
∴点A2024的纵坐标为：﹣3×（）2023，
故选：D．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟练找出点的坐标间的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知AB∥y轴，A（1，﹣2），且AB＝4，B点在第四象限，则B点坐标为 （1，﹣6） ．
【考点】坐标与图形性质
【分析】根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为AB∥y轴，A（1，﹣2），
所以点B的横坐标为1．
又因为AB＝4，且B点在第四象限，
所以﹣2﹣4＝﹣6，
所以点B的坐标为（1，﹣6）．
故答案为：（1，﹣6）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
12．点P（﹣1，x2+3）在第 二 象限．
【考点】点的坐标
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣1，x2+3）在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
13．在平面直角坐标系中，把点P（3，a﹣1）向下平移5个单位得到点Q（3，2﹣2b），则代数式a+2b+3的值为 11 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；代数式求值
【分析】根据平移时点的坐标变化规律，得出关于a，b的等式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点P（3，a﹣1）向下平移5个单位得到点Q（3，2﹣2b），
所以a﹣1﹣5＝2﹣2b，
整理得，a+2b＝8，
所以a+2b+3＝8+3＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及代数式求值，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P1（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点P第20次跳动至P20的坐标是 （6，10） ．
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【分析】分别列举出P1、P2、P3……的坐标，跳动方向为4次一循环，由20÷4＝5，可得第20次为向右跳动，找出向右跳动的点P的坐标的规律即可．
【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P19和P20的纵坐标均为20÷2＝10；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第20次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P20的横坐标为：20÷4+1＝6，纵坐标为：20÷2＝10，点P第20次跳动至点P20的坐标是（6，100）．
故答案为：（6，10）．
【点评】此题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型：点的坐标，解题关键在于理解题意找到规律．解决本题的关键是根据图形，写出各点坐标，利用具体数值分析出题目的规律，再进一步解答．注意到第奇数次都是向上跳一个单位，而偶数次跳的次数也是有规律的．
15．已知点在第四象限，则a的取值范围是 a＜2 ．
【考点】点的坐标
【分析】根据第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负，得出不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由条件可知，
解①得a＜2，
解②得a＜3，
∴原不等式组的解集为a＜2．
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查点的坐标，一元一次不等式组的应用，能得出不等式是解此题的关键．
16．如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 （，） ．
【考点】规律型：点的坐标
【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C＝CDOC，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2018C2019的长分别为1，，，，…，，
OC2023＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2022C2023＝1，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的横坐标，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的纵坐标．
∴等边△A2023C2022C2023的边A2023C2023中点D2023横坐标为（）．
D2023纵坐标为．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是An点的横坐标变化规律．
三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分）
17．慧慧和敏敏对着如图示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表100m）．
慧慧说：“超市的坐标是（200，200）．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．”
（1）根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；
（2）写出学校、少年宫的坐标；
（3）写出超市到少年宫的距离；
（4）乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为280m，请写出图书馆相对于公园的位置．
【考点】坐标确定位置
【分析】（1）根据题意构造平面直角坐标系可求解；
（2）根据平面直角坐标系即可得到结论；
（3）根据坐标可求解；
（4）根据坐标可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图可知：学校的坐标（﹣1，﹣4）、少年宫的坐标（2，﹣4）；
（3）超市到少年宫的距离为1200m；
（4）同意他的说法，由图可知：图书馆相对于公园的位置是图书馆在公园的东北方向，距离约为280m．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，平面直角坐标系，方向角，掌握平面直角坐标系的知识是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣2m，m+1）．
（1）若点M在y轴上，求点M的坐标；
（2）若点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，求点M的坐标．
【考点】点的坐标
【分析】（1）由点M在y轴上，得到横坐标为0，求出a的值即可；
（2）由点M在第四象限，且点M到x轴的距离是1，可得m+1＝﹣1，据此解答即可．
【解答】解：∵点M在y轴上，
∴点M横坐标为0，
∴1﹣2m＝0，
解得m＝1，
，
∴点M的坐标为；
（2）∵点M在第四象限，
∴m+1＜0，
∵点M到x轴的距离是1，
∴m+1＝﹣1，
解得m＝﹣2，
∴1﹣2m＝5，
点M的坐标为（5，﹣1）．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
（1）点A'的坐标为 （﹣2，4） ，点B'的坐标为 （﹣5，2） ；
（2）①画出三角形A'B'C'；
②写出三角形A'B'C'的面积；
（3）过点A'作A'D∥y轴，交B'C'于点D，则点D的坐标为 （﹣2，） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】（1）由平移的性质可得△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，即可求解；
（2）①根据点的坐标画出图形即可；
②由面积的和差关系可求解；
（3）由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P'（x0﹣6，y0+2），
∴△ABC向左平移6个单位，向上平移2个单位，
∵三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，2），B（1，0），C（5，﹣3），
∴点A'（﹣2，4），点B'（﹣5，2），点C'（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣2，4），（﹣5，2）；
（2）①如图所示：
②△A'B'C'的面积＝5×43×24×35×1；
（3）∵S△A'B'C'A'D×4，
∴A'D，
∵点A'（﹣2，4），
∴点D（﹣2，），
故答案为：（﹣2，）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，考查了平移的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．阅读材料：
两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点间的距离AB，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：
若点A（4，1），B（3，2），则AB．
若点A（a，1），B（3，2），且AB，则．
进一步化简得2＝（a﹣3）2+1∴（a﹣3）2＝1
由平方根的定义可得a﹣3的值，进而求出a的值．
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（m，2）
①若m＝1，则A、B两点间的距离是 ．
②若AB∥y轴，则A、B两点间的距离是 1 ．
（2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5．求B点坐标．
【考点】坐标与图形性质；两点间的距离公式
【分析】（1）①m＝1时，A（﹣2，3），B（1，2），由两点间的距离公式可得答案；
②由AB∥y轴，A（﹣2，3），B（m，2），即得AB＝|3﹣2|＝1；
（2）设B（m，0），可得5，解得m＝2或m＝﹣6，从而B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）．
【解答】解：（1）①m＝1时，A（﹣2，3），B（1，2），
∴AB，
故答案为：；
②∵AB∥y轴，A（﹣2，3），B（m，2），
∴AB＝|3﹣2|＝1，
故答案为：1；
（2）设B（m，0），
∵A、B两点间的距离是5，
∴5，
∴（m+2）2＝16，
解得m＝2或m＝﹣6，
∴B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题考查坐标与图形性质，两点间的距离公式，解题的关键是读懂题意，能灵活应用两点间的距离公式．
21．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+1，3m+2）．
（1）若点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
（2）将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】（1）因为点P在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为﹣3，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案；
（2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵P点在过点A（﹣3，1）且与y轴平行的直线上，
∴.2m+1＝﹣3，
解得m＝﹣2，
∴3m+2＝﹣4，
∴点P的坐标为 （﹣3，﹣4）；
（2）由题意知，点M的坐标为 （2m+1+2，3m+2+3），即（2m+3，3m+5），
∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，
∴.2m+3＝﹣7，
解得m＝﹣5．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征．
22．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶关联点”（a为常数，且a≠0）．
例如：点P（1，4）的“2阶关联点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）点A（﹣1，3）的“3阶关联点”的坐标为 （0，8） ；
（2）若点B的“4阶关联点”为（﹣5，10），求点B的坐标；
（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣2阶关联点”到两坐标轴的距离相等，求m的值．
【考点】点的坐标
【分析】（1）根据“a阶关联点”的定义计算即可；
（2）设点B的坐标为（x，y），根据“a阶关联点”的定义列关于x，y的二元一次方程组并求解即可；
（3）“a阶关联点”的定义用含m的代数式表示点C（m+2，1﹣3m）的“﹣2阶关联点”的坐标，再根据题意列关于m的绝对值方程并求解即可．
【解答】解：（1）3×（﹣1）+3＝0，﹣1+3×3＝8，
∴点A（﹣1，3）的“3阶关联点”的坐标为（0，8）．
故答案为：（0，8）．
（2）设点B的坐标为（x，y），
根据题意，得，
解得，
∴点B的坐标为（﹣2，3）．
（3）﹣2（m+2）+（1﹣3m）＝﹣5m﹣3，m+2﹣2（1﹣3m）＝7m，
∴点C（m+2，1﹣3m）的“﹣2阶关联点”的坐标为（﹣5m﹣3，7m），
根据题意，得|﹣5m﹣3|＝|7m|，
解得m或．
【点评】本题考查点的坐标，掌握“a阶关联点”的定义和二元一次方程组、绝对值方程的解法是解题的关键．
23．已知点A（a，0），B（0，b），且．
（1）直接写出A，B两点坐标；
（2）将线段AB平移至线段CD（点A与C对应，点B与D对应），
①如图（1），若点D坐标为（m，m），点C在y轴上，求线段AD与y轴交点E的坐标；
②如图（2），若点D坐标为（6，0），点P在坐标轴上，三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，直接写出P点坐标．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根
【分析】（1）由非负数的性质即可得解；
（2）①连接OD，根据等面积建立关于OE的方程求解即可；
②分类讨论，当点P在x轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形PCD的面积，进而建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+1|≥0，0，且，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
（2）①由平移可得，m＝1，
∴D（1，1），
连接OD，
∵S三角形AOD＝S三角形AOE+S三角形EOD，
∴，
∴，
∴；
②由题可知线段AB向右平移6个单位，向下平移3个单位，
∴C（5，﹣3），
当点P在x轴上时，设P（m，0），
此时三角形APB与三角形PCD是等高的，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴AP＝2DP，
∴m+1＝2|m﹣6|，
解得m＝13或，
∴P（13，0）或；
当点P在y轴上时，设P（0，m），
i，如图，当点P在直线CD上方时，连接OC，
S三角形APBBP OA（3﹣m）m，
S三角形PCD＝S三角形OCD+S三角形OCP﹣S三角形OPD
6×3（﹣m）×5（﹣m）
＝9m，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴m＝2（9m），
解得m＝﹣11，
∴P（0，﹣11）；
ii，当如图，当点P在直线CD下方时，连接OC，
S三角形APBBP OA（3﹣m）m，
S三角形PCD＝S三角形OPD﹣（S三角形OCD+S三角形OCP）
（﹣m）﹣[6×3（﹣m）×5]
m﹣9，
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，
∴m＝2（m﹣9），
解得m＝﹣39，
∴P（0，﹣39）；
综上，点P的坐标为（13，0）或或（0，﹣39）或（0，﹣11）．
【点评】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且OB⊥AB，OB＝2．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，设OO′＝m，其中0＜m＜4，连接BO′，AB与O′B′交于点C．
①试用含m的式子表示△BCO′的面积S，并求出S的最大值；
②当△BCO′为等腰三角形时，求点C的坐标（直接写出结果即可）．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】（Ⅰ）由OB⊥AB，0A＝4，OB＝2得出△AOB是有一个角为30°的直角三角形，简单计算即可；
（Ⅱ）①由平移用m表示出BC，O′C，建立S[﹣（m﹣2）2+4]，即可；
②利用△BCO′为等腰三角形，则有CB＝CO′确定出m，再利用相似求出CD，AD即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵OB⊥AB，0A＝4，OB＝2，
∴∠AOB＝60°，∠OAB＝30°，AB＝2，
过点B作BD⊥OA，
∴OD＝1，BD，
∴B（1，）．
（Ⅱ）①∵△A′O′B′是△OAB平移得到，
∴∠A′O′B′＝∠AOB＝60°，O′B′⊥AB，
∵OO′＝m，
∴AO′＝4﹣m，
∴O′CAO′（4﹣m），ACAO′（4﹣m），
∴BC＝AB﹣ACm，
∴SBC×O′Cm（4﹣m）[﹣（m﹣2）2+4]，
当m＝2时，S最大．
②如图，作BE⊥OA，CD⊥OA，
由①有，AO′＝4﹣m，O′C（4﹣m），AC（4﹣m），
∴CB＝AB﹣AC＝2（4﹣m）m，
由平移得，∠ACO′＝∠ABO＝90°，
∵△BCO′为等腰三角形，
∴CB＝O′C，
∴m（4﹣m），
∴m＝2（1）．
∵BE×OA＝OB×AB，
∴BE，
∴AEBE＝3，
∵△ACO′∽△ABO，
∴，
∴CDBE，
∵BE⊥OA，CD⊥OA，
∴BE∥CD，
∴，
∴ADAE，
∴OD＝OA﹣AD＝4，
∴C（，）．
【点评】此题是几何变换综合题，考查了平移得性质，一个角为30°的直角三角形，相似三角形的判定和性质，用m表示出有关线段如（AO′＝4﹣m，O′C（4﹣m），AC（4﹣m），CBm）是解本题的关键．
