2025—2026学年七年级数学上学期单元测试卷
第二章 有理数的运算单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．与二进制数对应的五进制数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．万精确到万位
B．近似数千和精确度是相同的
C．精确到千位可以表示为万，也可表示为
D．近似数和的精确度不相同
4．已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则的值为（ ）
A．0或 B．或0 C． D．
7．计算等于（ ）
A． B．1 C．0 D．4
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．为表示河流水位的变化情况，记水位上升为正，下降为负（水位升降是与前一天相比）．已知甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位：m），则下列说法中正确的是（ ）
类别 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
A．甲地第七天后的最终水位比初始水位高
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，，，则 ．
12．，括号内应依次填入： ； ； ； ．
13．如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，．那么，，其中．例如，，．现有，则的值为
14．若有理数，则代数式 ．
15．如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是 ．
16．已知，，则 的3次方等于2924207(填写正整数)．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：
（2）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：
18．计算：
(1)；
(2)．
19．阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知_________．
20．一只乌龟从M点出发，在一条水平直线上来回爬行．记向右爬行为正，向左爬行为负，爬行的路程依次为（单位：米）
，，，，，．
(1)通过计算说明乌龟是否回到起点．
(2)若乌龟爬行的速度为2米/分，则乌龟共爬行了多少时间？
21．出租车司机张师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，如表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负； ×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同）．
次数 1 2 3 4 5 6
里程
载客 × O O × O O
(1)张师傅走完第6次里程后，他在A地的什么方向？ 离A地有多少千米？
(2)已知出租车每千米耗油约升，张师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于3升，则需要加油，请通过计算说明张师傅这天上午中途是否可以不加油；
(3)已知载客时3千米以内收费8元，超过3千米后每千米收费1.5元，问张师傅这天上午走完6次里程后的营业额为多少元？
22．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下：，，，，，，，．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．
(1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？
(2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？
23．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量/单
(1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．
(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元．
24．对于一个正三位数，若其百位数字与个位数字的和与十位数字的差等于3，则称这个三位数为“三三数”．
例如：，∵，∴124是“三三数”．
(1)直接填空：256______“三三数”；（填“是”或“不是”）
(2)若（，且为整数），试说明是“三三数”；
(3)已知是“三三数”，且（，，且、均为整数），是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，若与的和能被6整除，试求的值．(共7张PPT)
浙教版2024七年级上册
第二章 有理数的运算单元测试卷·培优卷试卷分析
一、试题难度
整体难度：较难
难度 题数
较易 2
适中 16
较难 6
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.65 含乘方的有理数混合运算；十进制整数及表示方法
2 0.85 有理数的乘方运算；有理数四则混合运算
3 0.65 求近似数的精确度；求一个数的近似数
4 0.65 利用数轴比较有理数的大小；根据点在数轴的位置判断式子的正负；有理数的减法运算；两个有理数的乘法运算
5 0.65 根据点在数轴的位置判断式子的正负；有理数加法运算；有理数的减法运算；两个有理数的乘法运算
6 0.65 化简绝对值；有理数的加减混合运算
7 0.65 有理数加法运算
8 0.4 含乘方的有理数混合运算
9 0.4 乘方的应用
10 0.65 有理数加减混合运算的应用；正负数的实际应用
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 绝对值的意义；有理数加法运算
12 0.65 有理数的除法运算； 分数的基本性质； 百分数、小数和分数的互化
13 0.65 有理数大小比较；两个有理数的乘法运算
14 0.65 化简绝对值；有理数加减混合运算的应用
15 0.4 有理数四则混合运算
16 0.4 有理数的乘方运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 利用数轴比较有理数的大小；含乘方的有理数混合运算；用数轴上的点表示有理数
18 0.65 有理数四则混合运算；含乘方的有理数混合运算；求一个数的绝对值；有理数乘法运算律
19 0.65 倒数；有理数乘法运算律；有理数四则混合运算
20 0.65 正负数的实际应用；绝对值的意义；有理数加法在生活中的应用；有理数除法的应用
21 0.65 正负数的实际应用；有理数乘法的实际应用；绝对值的几何意义；有理数加法在生活中的应用
22 0.65 有理数加法在生活中的应用；正负数的实际应用
23 0.4 有理数加减混合运算的应用；有理数乘法的实际应用；正负数的实际应用
24 0.4 有理数四则混合运算；整式加减的应用《第二章 有理数的运算单元测试卷·培优卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B D A D C D
1．D
本题主要考查了二进制和十进制之间以及十进制以及五进制之间的互化，先将二进制数转化为十进制数，根据二进制转十进制的方法，从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应位数次幂(幂次从0开始)，然后将其每个数进行相加，再将十进制数9转化为五进制数，用除5取余的方法．、其中商是1．余数是4．所以9转化为五进制数是.
解：
则五进制数为，
故选：D
2．C
本题考查了有理数的四则运算和乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键．
根据有理数加法、减法、除法、乘法运算、乘方运算法则逐一计算即可．
解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．C
本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键；
精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
根据近似数的精确度对各选项进行判断．
解：A．万精确到百位，所以选项错误；
B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误；
C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确；
D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误．
故选：C
4．D
本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和减法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用．
解：由数轴可知：，
∴，
故选：D．
5．B
本题考查有理数的乘法、有理数的加减法、数轴和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据数轴的特点、绝对值的性质以及有理数的乘法法则、有理数的加减法法则进行解题即可．
解：根据数轴可知且，
A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项错误，符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；
故选：B．
6．D
本题考查了化简绝对值，有理数的加减，分类讨论是解答本题的关键．由得，代入，然后分两种情况计算即可．
解：∵，
∴，
∴
，
当时，原式，
当时，原式．
故选D．
7．A
本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算即可．
解：
；
故选A．
8．D
根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
解：，
=
=，
=，
=，
故选：D．
本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
9．C
设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算．
解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n），
则天后商品的价格为，
∴6种商品的价格可以表示为：
①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数，
设最高价格和最低价格的比值为，
的最小值为，
故选：．
本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键．
10．D
本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
正确的列出算式，依次进行计算判断即可得到答案．
解：A、，
可知甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误；
B、；
可知乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故该选项错误；
C、这七天内，乙地的水位变化比甲地的水位变化小，故该选项错误；
D、在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，正确，该项符合题意；
故选：D
11．
此题考查了有理数的加法及绝对值，根据绝对值的意义确定出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴
故答案为：．
12．
本题主要考查了分数、小数、百分数、比和除法之间的互化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可得解，熟练掌握其转化方法并能灵活运用是解决此题的关键．
∵，
∴，
故答案为：．
13．或或
本题主要考查了新定义“不超过的最大整数”，解决问题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以看作一个整数和一个正小数或0的和，进行分类讨论．
根据把不超过的最大整数记作，且可知为整数，再由可知或或，再由得出，最后将或或的值分别代入求值即可．
解：∵不超过的最大整数记作，
∴为整数，
∵，
或或，
，
，
当时，，
当时，，
当时，，
或或，
故答案为：或或．
14．或
本题考查了绝对值的化简以及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键；
分，或，或，或，，四种情况，讨论即可求解；
解：①当，，；
②当，，；
③当，，；
④当，，．
故答案为：或
15．8086或8082
根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），
又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．
∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），
∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，
①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，
a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；
②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，
a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．
故答案为：8086或8082．
本题主要考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数和分类讨论思想是解答本题的关键．
16．143
先确定是奇数，再确定这个数的个位数是3，再根据，，得：，从而得结论．
解：∵偶数的正整数次方都是偶数，
∴这个数是奇数．
又，，，，，
∴满足3次方等于2924207的数的个位数字为3，
，，
，，
，
∴这个数比140大，比150小，
∴这个数是143，
即的3次方等于2 924 207．
故答案为：143．
此题主要考查了求立方根的推算，解决问题的关键是熟练掌握根据立方数的位数和末位数确定立方根．
17．（1）（2）图见解析，
本题考查有理数的混合运算，有理数与数轴：
（1）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号；
（2）先将各数在数轴上表示出来，再根据数轴上的数从左到右依次增大，进行连接即可．
解：（1）原式；
（2）数轴表示各数如图：
由图：．
18．(1)
(2)1
本题主要考查了绝对值、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先算绝对值，然后按照有理数的四则混合运算计算即可；
（2）先算乘方，然后按照有理数四则混合运算法则和乘法运算律求解即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
19．(1)
(2)
(3)
本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，解题关键是理解倒数的定义：两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数．
（1）根据倒数的定义可得出答案；
（2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算，然后相加减即可；
（3）由倒数的定义得出答案即可．
（1）解：根据倒数的定义我们知道，若，
则．
故答案为：；
（2）原式
；
（3）结合（2），可知，
所以．
故答案为：．
20．(1)可以回到起点，计算见解析
(2)22分钟
本题考查了正负数的实际应用及有理数加法及绝对值的应用，掌握相反意义的量及有理数加法的运算法则是解题的关键．
（1）根据相反意义的量，利用有理数的加法运算法则即可；
（2）根据速度、时间和路程之间的数量关系即可；
（1）解：
，
所以，乌龟可以回到起点．
（2）
（米），
（分），
所以，乌龟共爬行了22分钟．
21．(1)在A地的西面，离A地有4千米
(2)不需要加油
(3)81.5元
本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法的实际应用，绝对值的应用，分段收费的计算，同时考查了有理数的混合运算．
（1）将6次里程相加，结果为正，则在东方，否则，在西方，结果的绝对值为与A地的距离；
（2）将6次里程的绝对值相加，即可得出这天上午行驶总里程，再计算出油耗，即可求解；
（3）第一次和第四次为空载，故第一次和第四次营业额为0元，分别计算出其他四次里程的营业额，相加即可．
（1）解：根据题意得：
（千米），
则，
∴张师傅走完第6次里程后，他在A地的西方，离A地有4千米．
（2）解：（千米），
（升），
∴张师傅这天上午中途可以不加油；
（3）解：根据题意得：第一次和第四次为空载，故第一次和第四次营业额为0元，
第2次载客收费：（元），
第3次载客收费：（元），
第5次载客收费：（元），
第6次载客收费：（元），
∴总营业额为：（元），
答：张师傅这天上午走完6次里程后的营业额为81.5元．
22．(1)B地在A地正南方向，它们相距
(2)这天汽车共耗油．
本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算等知识点，
（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可；
（2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可．
（1）解：∵
，
，
∴B地在A地正南方向，它们相距；
（2）解：∵
，
∵汽车行驶平均耗油，
∴汽车行驶平均耗油，
∴这天汽车共耗油．
23．(1)45
(2)1574元
（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可．
（2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可．
本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键．
（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）．
答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单．
（2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．
∴本周工资为：
（元）．
答：外卖小哥这一周工资收入1574元．
24．(1)是
(2)见解析
(3)的值为或
本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）求出，再根据“三三数”的定义判断即可；
（2）由题意得出的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为，从而得出，由此即可得解；
（3）分两种情况：当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为；当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，分别求解即可得出答案．
（1）解：，
256是“三三数”，
故答案为：是；
（2）解：，
的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为，
，
是“三三数”；
（3）解：（，，且、均为整数），
当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
是“三三数”，
，
，
是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，
，，
，
与的和能被6整除，且，
，此时，；
当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
是“三三数”，
，
，
，
，
是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，
，，
，
与的和能被6整除，且，
，此时，；
综上所述，的值为或．
