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浙教版九上3.4圆心角及其推论 同步提优训练
1．已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，点D，E，B均在圆上，若∠AOB＝∠COD＝∠DOE，连接AB，DE和CE，则下列说法不正确的是（ ）
A．O到弦CD距离等于O到弦DE距离
B．2
C．AB＝2DE
D．AB＝CE
2．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：．
3．如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为 ．
5．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：．
6．如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
7．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝（ ）
A．100° B．60° C．50° D．40°
8．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（ ）
A．140° B．144° C．146° D．150°
10．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
11．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
A．42° B．44° C．46° D．48°
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（ ）
A．40° B．50° C．90° D．100°
13．如图，五边形ABCDE内接于半径为6的⊙O，F为CD中点，连结OF，若AB＝AE，BC＝CD＝DE，90°，则OF的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D是CO的中点，若过点D的弦EF平行于AB，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．6
16．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为 ．
17．AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，∠AOE的度数是 ．
18．若⊙O的半径为3cm，一条弦分⊙O为1：3两部分，这条弦的长度为 ．
19．如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为 °．
20．如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为 ．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 ．
22．如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，
求证：AC＝BD．
23．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
24．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8．
（1）求证：；
（2）若E为AC的中点，求BE的长．
25．如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上3.4圆心角及其推论 同步提优训练
一．选择题（共11小题）
题号 1 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 D C C A B D D C A B B
一．试题（共25小题）
1．已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，点D，E，B均在圆上，若∠AOB＝∠COD＝∠DOE，连接AB，DE和CE，则下列说法不正确的是（ ）
A．O到弦CD距离等于O到弦DE距离
B．2
C．AB＝2DE
D．AB＝CE
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、在小圆O中，∠COD＝∠DOE，
∴O到弦CD距离等于O到弦DE距离，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠COD＝∠DOE，
∴，
∴2，故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵，
∴CD＝DE，
∴AB＝2DE，故本选项说法正确，不符合题意；
D、在△CDE中，CD+DE＞CE，
∵AB＝2DE，
∴AB＞CE，故本选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：．
【分析】首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得：．
【解答】证明：连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠DOB＝∠BOE，
∴．
【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠OAB＝50°，根据三角形内角和定理求出∠AOB＝80°，根据弧、圆心角的关系求出∠AOC＝2∠AOB＝160°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∠B＝50°，
∴∠B＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠OAB＝80°，
∵2，
∴∠AOC＝2∠AOB＝160°，
∴∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC＝120°，
∴∠BAC∠BOC＝60°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆心角和弧的关键、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练运用有关性质定理是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为 125° ．
【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1＝∠2，∠3＝∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵△ABC中∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3（180°﹣∠A）（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，比较简单．
5．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明，只要证明∠MOD＝∠NOE即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
【分析】（1）根据三条弧之间的比例关系可求出相应的圆心角的度数，进而得出三角形COD是正三角形，得出答案；
（2）根据勾股定理求出PD，再根据垂径定理以及锐角三角函数的定义列方程求出DE即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，：：1：2：3，
∴∠BOC＝180°30°，
∠COD＝180°60°，
∠AOD＝180°90°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝2；
（2）如图，过点O作OE⊥CD，垂足为E，则CE＝DECD，
∵∠AOD＝90°＝∠POD，OD＝3，OP＝4，
∴PD5，
∵cos∠ODE，
∴，
解得DE，
∴CD＝2DE．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝（ ）
A．100° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∵∠AOB＝100°，
∴，
故答案为：C．
【点评】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键．
8．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
【解答】解：由题意可得：∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（ ）
A．140° B．144° C．146° D．150°
【分析】先利用平角的定义计算出∠BOC＝72°，再根据圆心角、弧、弦的关系，由CD＝BD得到∠BOD＝∠COD＝36°，然后计算∠AOC+∠COD即可．
【解答】解：∵∠AOC＝108°，
∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°，
∵CD＝BD，
∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
10．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，AC＝BD，即可得出选项．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
11．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
A．42° B．44° C．46° D．48°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆与BC，AC分别相交于点D，E，则弧AE的度数（ ）
A．40° B．50° C．90° D．100°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BAC＝45°，进而求得∠AOE＝90°，即可得到弧AE的度数．
【解答】解：连接OE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠BAC＝45°，
∴∠AOE＝180°﹣2×45°＝90°，
∴弧AE的度数为90°，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系，关键是由等腰三角形的性质求出∠BAC的度数．
13．如图，五边形ABCDE内接于半径为6的⊙O，F为CD中点，连结OF，若AB＝AE，BC＝CD＝DE，90°，则OF的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
【分析】先根据已知条件得出，进而证明△COD是等边三角形，再利用三角函数解Rt△OFD即可．
【解答】解：连接OB，OE，OC，OD，
由题意可得：，
∵BC＝CD＝DE，
∴，
∴∠COD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
由题意可得：OF⊥CD，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确进行计算是解题关键．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D是CO的中点，若过点D的弦EF平行于AB，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OE、OF，根据直角三角形的性质求出∠OED＝30°，再根据圆周角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：如图，连接OE、OF，
∵OC⊥AB，
∴∠ODE＝90°，
∵ODOCOE，
∴∠OED＝30°，
∴∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
∵EF平行AB，
∴∠AOE＝∠OED＝30°，
∴2，故选项A错误，选项B正确；
∵∠EOF＝120°，
∴4，故选项C错误；
∵所对的圆心角的度数为150°，
∴5，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．如图，在⊙O中，直径MN＝20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．6
【分析】先结合正方形的性质证明△OCD为等腰直角三角形，易得CO＝CD，设AB＝BC＝CD＝CO＝x，则BO＝2x，在Rt△ABO中根据勾股定理求得x的值，即可获得答案．
【解答】解：连接OA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝180°﹣∠BCD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝90°﹣∠POM＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CDO＝∠POM，
∴CO＝CD，
∵MN＝20，
∴，
设AB＝BC＝CD＝CO＝x，
则BO＝BC+CO＝2x，
∵AB2+BO2＝OA2，
即x2+（2x）2＝102，
解得或（舍去），
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与AB相关的直角三角形．
16．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠EOB的度数为 75° ．
【分析】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝50°，根据三角形的内角和定理求出∠BOE即可．
【解答】解：∵CD＝OE，OE＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝25°，
∴∠DOC＝∠C＝25°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝50°，
∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝80°，
∵∠DOC＝25°，
∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣25°﹣80°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠DOE的度数是解此题的关键．
17．AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，∠AOE的度数是 78° ．
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，然后利用平角的定义计算∠AOE的度数．
【解答】解：∵点D、C是的三等分点，
即，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣3×34°＝78°．
故答案为：78°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
18．若⊙O的半径为3cm，一条弦分⊙O为1：3两部分，这条弦的长度为 ．
【分析】根据弦分圆周长为1：3两部分，则分圆心角也为1：3两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：由条件可知这条弦所对的圆心角的度数为，
∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形，
∴这条弦的长度为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握该知识点是关键．
19．如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC，若的度数为43°，则的度数为 94 °．
【分析】连接OC，根据平行线的性质求出∠ABC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BOC的度数，得到的度数
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数为43°，
∴∠AOD＝43°，
∵OD∥BC，
∴∠ABC＝∠AOD＝43°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC＝43°，
∴∠BOC＝180°﹣43°﹣43°＝94°，
∴的度数为94°，
故答案为：94．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系是解题的关键．
20．如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为 6 ．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，根据垂径定理可得BM＝DN＝8，再根据勾股定理可得OM＝ON＝6，再证明四边形MONP是正方形，则MP＝OM＝6，根据勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BMAB＝8，DNCD＝8，
∴，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴MP＝OM＝6，
∴．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 2 ．
【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′＝CE即可．
【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，
则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，
∵C是半圆上的一个三等分点，
∴∠AOC180°＝60°，
∵D是的中点，
∴∠AOE∠AOC＝30°，
∴∠COE＝90°，
∴CEOC＝2，
即DP+CP＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
22．如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，
求证：AC＝BD．
【分析】根据BC＝AD，得，所以，根据圆心角、弧、弦的关系定理即可得出结论．
【解答】证明：∵BC＝AD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵M为中点，
∴，
∴，即，
∴BM＝CM．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
24．如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8．
（1）求证：；
（2）若E为AC的中点，求BE的长．
【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明；
（2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
∴；
（2）解：∵BD＝8，
∴AC＝8，
∵E为AC的中点，
∴OB⊥AC，AEAC＝4，
∴OE3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
25．如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．
【分析】（1）连接OB，设OG＝x，利用勾股定理构建方程求解；
（2）求出∠A，利用圆周角定理求解．
【解答】解：（1）如图1，连接OB，
∵直径AC⊥弦BD，
∴，
∵，
∴，
∴AE＝BD＝4，
∴BG＝2．
设OG＝x，
∵AG＝1，
∴OA＝OB＝x+1．
在Rt△OBG中，
OG2+BG2＝OB2，
即x2+22＝（x+1）2，
解得，即．
（2）如图2，连接OB交AE于点H，
由（1）知AE＝BD，
∴OH＝OG．
∵AC⊥BD，OF＝OF，
∴Rt△OHF≌Rt△OGF，
∴∠GOF＝∠HOF＝20°，
∴∠AOH＝40°，
∴∠A＝50°，
∴∠COE＝2∠A＝100°．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
