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浙教版九上一周一测（二）第1章《二次函数》阶段测试（1.4）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2
C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
3．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
4．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
5．（3分）长为20cm、宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5）
B．y＝10×20﹣4x2（0＜x＜5）
C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5）
D．y＝200+4x2（0＜x＜5）
6．（3分）已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（ ）
A．且m B．m＞﹣1
C．﹣1＜m D．m＜1
7．（3分）一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
8．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
9．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＞0），当0≤x≤m时，y有最小值﹣4a+5和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．2≤m≤4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为 ．
12．（3分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
13．（3分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 ．
14．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒） ．
15．（3分）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式是yx2x．问此运动员能把铅球推出多远？
18．（8分）已知二次函数y＝x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）当两个交点间的距离为时，求a的值；
（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．
19．（8分）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
20．（8分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
22．（10分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为20m的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为1m的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心4m处到达最高，高度为6m．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为m）；相邻两个直线型喷头的间距均为1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上一周一测（二）第1章《二次函数》阶段测试（1.4）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C C A A C A D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【思路点拔】根据二次函数的性质，直接作答即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣3），
∴二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值是﹣3；
故选：D．
【点评】本题考查求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2
C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
【思路点拔】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
3．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
【思路点拔】根据表格中的数据可得出“当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．”由此即可得出结论．
【解答】解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
4．（3分）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【思路点拔】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确解方程是解题关键．
5．（3分）长为20cm、宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5）
B．y＝10×20﹣4x2（0＜x＜5）
C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5）
D．y＝200+4x2（0＜x＜5）
【思路点拔】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm，
则y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
6．（3分）已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（ ）
A．且m B．m＞﹣1
C．﹣1＜m D．m＜1
【思路点拔】根据二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，可设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，从而可以得到m+1＞0且Δ＜0，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，
∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，
∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，
∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1） m＜0且2m﹣1≠0，
解得，m且m，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（3分）一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
【思路点拔】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答．
【解答】解：设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，
则y＝（135﹣x﹣100）（100+4x）
即：y＝﹣4（x﹣5）2+3600
∵﹣4＜0
∴当x＝5元时，每天获得的利润最大．
故选：A．
【点评】根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
8．（3分）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【思路点拔】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x12，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
9．（3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2
【思路点拔】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2看作直线y＝m与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，结合图象可以求出x1与x2的取值范围，进而做出判断．
【解答】解：二次函数y＝（x+1）（x﹣2）的图象如图所示：
它与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（2，0），
关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作是直线y＝m（m＞0）与二次函数y＝（x+1）（x﹣2）交点的横坐标，
由图象可知x1＜﹣1，x2＞2；
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：A．
【点评】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m＝（x+1）（x﹣2）图象与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＞0），当0≤x≤m时，y有最小值﹣4a+5和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．2≤m≤4
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【解答】解：二次函数对称轴为x2，
由题意得，二次函数经过点（0，5），（2，﹣4a+5），（4，5），
结合图象可知：①当0＜m≤2时，最小值为x＝m时y的值，最大值为5；
②当2≤m≤4时，最小值为﹣4a+5，最大值为5；
③当m≥4时，最小值为﹣4a+5，最大值为x＝m时y的值；
∴m的取值范围是2≤m≤4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为 （0，2） ．
【思路点拔】利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2+2＝2，
所以抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（3分）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 y＝50（1+x）2 ．
【思路点拔】根据平均增长问题，可得答案．
【解答】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为y＝50（x+1）2．
故答案为：y＝50（x+1）2．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键．
13．（3分）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 S≤0 ．
【思路点拔】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围．
【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy，
∴S＝x（2x﹣1）＝2（x）2，
∴该函数开口向上，当x取得最小值，
∵，
∴当x取得最小值，当x取得最大值0，
∴S的取值范围为S≤0，
故答案为：S≤0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒） 2 ．
【思路点拔】根据球弹起后又回到地面时h＝0，得到0＝10t﹣5t2，解方程即可得到答案．
【解答】解：球弹起后又回到地面时h＝0，即0＝10t﹣5t2，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝2，
∴球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．（3分）如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 5 小时水位才能到拱桥顶．
【思路点拔】先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴yx2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝ ﹣8．
【思路点拔】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6
即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，
故答案为﹣8．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式是yx2x．问此运动员能把铅球推出多远？
【思路点拔】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：令yx2x0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
（x﹣10）（x+2）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
答：该运动员此次掷铅球的成绩是10m．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）当两个交点间的距离为时，求a的值；
（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．
【思路点拔】（1）令函数值y＝0，可得出一个关于x的一元二次方程，证Δ＞0即可．
（2）可设出两个交点的横坐标，然后根据韦达定理表示出两交点的距离，即可求出a的值．
（3）可根据（2）得出的a的值，求出抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出函数的最大或最小值（本题抛物线开口向上，因此只有最小值）．
【解答】解：（1）令y＝0，
则有x2+ax+a﹣2＝0①，
△＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
因此不论a的值为多少，抛物线总与x轴有两个不同的交点．
（2）设两交点的坐标为（x1，0）（x2，0）（x1＜x2）；
根据方程①可得
x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2
x2﹣x1
∴a2﹣4a+8＝29，即a2﹣4a﹣21＝0
∴a＝﹣3或a＝7．
（3）当a＝﹣3时，y＝x2﹣3x﹣5＝（x）2
∴函数的最小值为
当a＝7时，y＝x2+7x+5＝（x）2
∴函数的最小值为
∴函数的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识．
19．（8分）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【思路点拔】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20．（8分）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【思路点拔】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
21．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（30﹣2x）x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x）2，
∵a＝﹣2＜0，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∴当x时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x＝11时，y最小＝88平方米．
【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
22．（10分）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【思路点拔】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，，
解得x＝5或x＝15，
∵15﹣5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【思路点拔】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x）2，可得当x时，y取最小值，最小值为，再根据n、n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线的对称轴为直线x．
∴b＝1．
∴抛物线为y＝x2+x+c．
又图象经过点A（﹣2，5），
∴4﹣2+c＝5．
∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1﹣m，9）．
又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3，
∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3．
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4．
（3）由题意，当 时，
∴最大值与最小值的差为．
∴，不符合题意，舍去．
当n≤1 时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为n≤1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值问题、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1 图1中有一个直径为20m的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为1m的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心4m处到达最高，高度为6m．
素材2 如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为m）；相邻两个直线型喷头的间距均为1.2m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2 确定石柱高度 在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标．
任务3 拟定设计方案 请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标．
【思路点拔】【任务1】以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，设出抛物线的顶点式，再将（10，0）代入即可得出结论；
【任务2】令上述抛物线x＝0，即可得出结论；
【任务3】令上述抛物线y＝0，可求出x的值，再根据对称性可分别求出两端的喷头坐标．
【解答】解：【任务1】以点O为原点建立如图所示直角坐标系，选择第一象限内的抛物线的解析式进行求解，
根据题意，设y＝a（x﹣4）2+6，
将点B（10，0）代入抛物线，解得a．
∴抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+6．
【任务2】∵y（x﹣4）2+6，
将x＝0代入，可得y（0﹣4）2+6．
∴点M的纵坐标为．
【任务3】如图，令y（x﹣4）2+6，
解得x＝8.5或x＝﹣0.5（舍），
∵安装后关于OM成轴对称分布，石柱直径为1，1÷2＝0.5，1.2÷2＝0.6＞0.5，
∴（8.5﹣0.6）÷1.2＝6．
∴OM左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头，0.6+6×1.2＝7.8．
∴离中心O最远的两个喷头的坐标分别为（7.8，0），（﹣7.8，0）．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
