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浙教版九上一周一测（一）第1章《二次函数》阶段测试（1.1~1.3）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2
2．（3分）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（ ）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
5．（3分）二次函数y＝x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
6．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
9．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x的左侧
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ ．
12．（3分）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 时，y随x的增大而减小．
13．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝ ．
15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为 ．
16．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
19．（8分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
20．（8分）如图，已知点O（0，0），A（2，1），抛物线l：y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为B．
（1）若l经过点A，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点B的纵坐标yB，求yB的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小．
21．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
22．（10分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（x1，n），B（x2，t），C（﹣4，3）．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当x2﹣x1＝2时，
①若nt≤0，求t﹣n的取值范围；
②设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，求m的最大值．
24．（12分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0＜x＜3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上一周一测（一）第1章《二次函数》阶段测试（1.1~1.3）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D D D B C C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2
【思路点拔】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0），这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、是是一次函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（3分）在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2
【思路点拔】根据各解析式判断抛物线对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，故A不符合题意；
∵y＝x2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝0，故B不符合题意；
∵y＝（x+1）2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，故C不符合题意；
∵y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拔】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
4．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（ ）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
【思路点拔】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），根据抛物线的性质可直接做出判断．
【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），
所以该抛物线有最大值是﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
5．（3分）二次函数y＝x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
【思路点拔】此题可将b+c＝0代入二次函数，变形得y＝x2+b（x﹣1），然后分析．
【解答】解：对二次函数y＝x2+bx+c，由题意b+c＝0，
∴c＝﹣b，把c＝﹣b代入可得：y＝x2+b（x﹣1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把b当做变量，令其系数为0进行求解．
6．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3
C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【思路点拔】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：
y＝5（x﹣2）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
7．（3分）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．
8．（3分）二次函数y＝ax2+4ax+c（a＜0，a，c均为常数）的图象经过A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
【思路点拔】由y＝ax2+4ax+c可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2+4ax+c，a＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）到对称轴的距离分别为：3，1，2．
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查比较二次函数函数值的大小，解题的关键是求出二次函数图象的对称轴．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（ ）
A．点（1，2）在该函数的图象上
B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x的左侧
【思路点拔】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．
【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴点A（1，2）不在该函数的图象上，
故选项A不正确；
②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1＜0，
故得选项B不正确；
③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，
故选项C正确；
④∵该抛物线的对称轴为直线：，
又∵a＞0，
∴，
∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项D不正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①④
【思路点拔】利用交点式得到y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，利用配方法得到y＝a（x﹣1）2﹣4a，则根据二次函数的性质可对①进行判断；由于x＝1在﹣1≤x2≤4范围内，而x＝1时，y有最小值﹣4a，从而可对②进行判断；根据二次函数的性质有y2＞y1得到C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，所以|x2﹣1|＞|4﹣1|，解不等式可对③进行判断；把b＝﹣2a代入一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0得﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：设抛物线解析为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
而抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为﹣4a，所以①正确；
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝4时，y＝5a，
当x＝2时，y有最小值﹣4a，
∴﹣1≤x2≤4，﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
若y2＞y1，则C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，
∴|x2﹣1|＞|4﹣1|，
∴|x2﹣1|＞3，
解x2＞4或x2＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，
∴一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【思路点拔】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
12．（3分）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x ＜3 时，y随x的增大而减小．
【思路点拔】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是（3，m），且图象开口向上，由此即可求解．
【解答】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是（3，m），抛物线开口向上，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，
故答案是：＜3．
【点评】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．
13．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 a＜1 ．
【思路点拔】根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：由当x＞0时，y随x的增大而减小，可知：a﹣1＜0，
∴a＜1．
故答案为：a＜1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 6 ﹣7 ﹣8 ﹣5 6 …
则一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝ 0或2 ．
【思路点拔】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的图象具有对称性，可以写出当y＝﹣7时对应的x的值，从而可以得到一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴为直线x1，
当x＝0时，y＝﹣7，
∴当x＝2时，y的值也是﹣7，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7的解为x＝0或2，
故答案为：0或2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为 ﹣4 ．
【思路点拔】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x1，即可求解；
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故答案为﹣4．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
16．（3分）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣1≤t＜8 ．
【思路点拔】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答．
【解答】解：对称轴为直线x1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值．
【思路点拔】（1）依据题意，由二次函数为y＝2x2+bx+c，且顶点为（1，2），则对称轴是直线x1，且2＝2×12+b+c，可得b＝﹣4，c＝4，进而可以得解；
（2）依据题意，由两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，则对称轴是直线x1，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝2x2+bx+c，且顶点为（1，2），
∴对称轴是直线x1，且2＝2×12+b+c．
∴b＝﹣4，c＝4．
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x+4．
（2）由题意，∵不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，
∴对称轴是直线x1．
∴m+n＝2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
【思路点拔】（1）依据题意，由二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5函数值相等，从而可得对称轴为直线x2，即可得解；
（2）依据题意，由（1）得，对称轴是直线x＝2，从而可得a＝4，即得抛物线为y＝x2﹣4x+b，又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，故Δ＝16﹣4b＝0，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5函数值相等，
∴对称轴为直线x2．
（2）由（1）得，对称轴是直线x＝2，
∴a＝4．
∴抛物线为y＝x2﹣4x+b．
又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝16﹣4b＝0．
∴b＝4．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
19．（8分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝5x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m，c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【思路点拔】（1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式，求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式，就可以求出c的值；
（2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式，就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，m）代入正比例函数y＝5x，得m＝﹣5，
所以点A坐标为（﹣1，﹣5）；
把点A坐标（﹣1，﹣5）代入二次函数y＝﹣x2+2x+c，得：﹣5＝﹣1﹣2+c，
解得c＝﹣2．
（2）把c＝﹣2代入二次函数，得y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x2﹣2x+2）＝﹣（x2﹣2x+1﹣1+2）＝﹣（x﹣1）2﹣1，
所以二次函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣1）．
【点评】本题是一道二次函数和正比例函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求点的坐标的值以及二次函数的图象性质，运用了正比例函数和二次函数的有关知识．
20．（8分）如图，已知点O（0，0），A（2，1），抛物线l：y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为B．
（1）若l经过点A，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点B的纵坐标yB，求yB的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小．
【思路点拔】，（1）把A（2，1）代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
（2）根据坐标的特征求出yB，根据平方的非负性求出yB的最大值，根据二次函数的性质比较y1与y2的大小即可．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y＝﹣（x﹣h）2+1，
得：﹣（2﹣h）2+1＝1，
解得：h＝2，
∴解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，
∴对称轴为：x＝2，顶点坐标为：（2，1）；
（2）点B的横坐标为0，则yB＝﹣h2+1，
∴当h＝0时，yB有最大值为1，
此时，抛物线为：y＝﹣x2+1，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x1＞x2≥0时，y1＜y2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．
21．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【思路点拔】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a．
【解答】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
22．（10分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
【思路点拔】（1）根据表格中对称点（0，﹣3），（2，﹣3）可求图象对称轴，由图象对称轴左侧的y随x增大而减小可得抛物线开口向上；
（2）根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上；、
（2）∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5；
（3）∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题关键是根据表格判断出抛物线开口方向与对称轴．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（x1，n），B（x2，t），C（﹣4，3）．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当x2﹣x1＝2时，
①若nt≤0，求t﹣n的取值范围；
②设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，求m的最大值．
【思路点拔】（1）依据题意，由抛物线过C（﹣4，3），从而可得16﹣4b+3＝3，求得b的值后即可判断得解；
（2）①依据题意，由抛物线过A（x1，n），B（x2，t），从而n4x1+3，t4x2+3，可得t﹣n4x2+3﹣（4x1+3）4（x2﹣x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1+4），又x2﹣x1＝2，即x2＝x1+2，故t﹣n＝2（2x1+2+4）＝4（x1+3），且t＝（x1+2）2+4（x1+2）+3＝（x1+4）2﹣1，又nt≤0，可得或，进而可得或，从而可得﹣5≤x1≤﹣3或﹣3≤x1≤﹣1，进而可得t﹣n的范围；
②依据题意，将点A（x1，n），B（x2，t）代入y＝kx+m，可得，故可得k＝2x1+6，再代入kx1+m＝（x1+2）2﹣1，可得26x1+m4x1+4﹣1，即m2x1+3＝﹣（x1+1）2+4，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过C（﹣4，3），
∴16﹣4b+3＝3．
∴b＝4．
∴二次函数的函数表达式为y＝x2+4x+3．
（2）①由题意，∵抛物线过A（x1，n），B（x2，t），
∴n4x1+3，t4x2+3．
∴t﹣n4x2+3﹣（4x1+3）4（x2﹣x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1+4）．
又x2﹣x1＝2，即x2＝x1+2，
∴t﹣n＝2（2x1+2+4）＝4（x1+3），t＝（x1+2）2+4（x1+2）+3＝（x1+4）2﹣1．
∵nt≤0，
∴或．
又n4x1+3＝（x1+2）2﹣1，
∴或．
∴﹣5≤x1≤﹣3或﹣3≤x1≤﹣1．
∴﹣8≤4（x1+3）≤0或0≤4（x1+3）≤8．
∴﹣8≤4（x1+3）≤8．
∴﹣8≤t﹣n≤8．
②由题意，将点A（x1，n），B（x2，t）代入y＝kx+m，
∴．
∴k（x2﹣x1）＝4x1+12．
∴2k＝4x1+12．
∴k＝2x1+6．
将k＝2x1+6代入kx1+m＝（x1+2）2﹣1，
∴26x1+m4x1+4﹣1．
∴m2x1+3＝﹣（x1+1）2+4．
∴当x1＝﹣1时，m取得最大值为4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能领运用二次函数的性质是关键．
24．（12分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0＜x＜3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【思路点拔】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；
（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线xm﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t＜3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线xm﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
