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浙教版九上一周一测（三）第1章《二次函数》单元综合测试
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A D D D A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣5 B．y＝x（x﹣1）﹣1
C．y＝x2﹣（x+1）2 D．
【思路点拔】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、y＝x﹣5不符合y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式，不是二次函数，不符合题意；
B、y＝x（x﹣1）﹣1＝x2﹣x﹣1是二次函数，符合题意；
C、y＝x2﹣（x+1）2＝﹣2x﹣1不符合y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式，不是二次函数，不符合题意；
D、不符合y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式，不是二次函数，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
2．（3分）二次函数y＝x2+2x﹣1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【思路点拔】将x＝0代入函数解析式，求出相应的y的值，即可得到二次函数y＝x2+2x﹣1的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣1，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
即二次函数y＝x2+2x﹣1的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与y轴的交点，就是求x＝0时对应的函数值．
3．（3分）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣x＝（x）2，a＝1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴值直线x，故选项B错误；
当x＝0时，y＝0，即该函数图象过原点，故选项C正确；
在对称轴右侧y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 …
A．y1＞y2 B．y1≤y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
【思路点拔】根据表格数据判断出对称轴为直线x＝2，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，然后根据x的取值范围写出大小关系即可．
【解答】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【思路点拔】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
即一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，
也就是y＝ax2+bx与y＝﹣m有交点，
∴﹣m≥﹣3，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．（3分）如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【思路点拔】根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，再求出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
【解答】解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2+1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2+b，
代入A（﹣1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2﹣1，
∴M（0，﹣1），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出顶点．
7．（3分）将抛物线y（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y（x﹣1）2+2 B．y（x﹣1）2﹣2
C．y（x﹣3）2+2 D．y（x﹣3）2﹣2
【思路点拔】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（3，﹣2）
∴所得抛物线解析式是y（x﹣3）2﹣2，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8．（3分）在下列函数图象上任取不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），一定能使0成立的是（ ）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
【思路点拔】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解：A、∵y＝3x﹣1中，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2，
∴当x＜0时，0，
故A选项不成立；
B、∵y＝﹣x2+2x﹣1的对称轴为直线x＝1，
∴当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时，当x1＞x2时，必有y1＞y2，
此时0，
故B选项不成立；
C、y中，k，则当x＞0时，y随x的增大而增大，
即当x1＞x2时，必有y1＞y2，
此0，
故C选项不成立；
D、∵y＝x2﹣4x﹣1的对称轴为直线x＝2，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
即当x1＞x2时，必有y1＜y2，
此时0，
故D选项成立；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，需要结合图象去一一分析，有点难度．
9．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【思路点拔】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＞0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【思路点拔】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴0，
当a＞0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、三象限，
当a＜0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第二、三、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 ．
【思路点拔】根据二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），可得可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，再根据图象的形状和与抛物线y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．
【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），
∴可设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
∵二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴这个二次函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
12．（3分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 y＝（x﹣1）2，（答案不唯一） ．
【思路点拔】根据当x≥1时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴x的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式．
【解答】解：∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴该函数图象开口向上，对称轴直线x≤1，
∴符合该条件的二次函数的表达式可以是y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2，（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 20 秒．
【思路点拔】依据题意，先求出b得出函数关系式，然后依据飞机停下时，此时飞机滑行距离最远，进而求解．
【解答】解：由题意，∵，
又t＝10s，s＝450m，
∴450102+10b．
∴b＝60．
∴函数关系式为st2+60t．
又st2+60t（t2﹣40t+400）+600（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求得t＝20时函数取得最大值，是本题解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4] ．
【思路点拔】把抛物线y＝x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，
∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便．
15．（3分）已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 26 ．
【思路点拔】由题意可得y＝﹣2x2﹣13x+8，代入x+y中，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵2x2+13x+y﹣8＝0，
∴y＝﹣2x2﹣13x+8，
∴x+y＝x+（﹣2x2﹣13x+8）＝﹣2（x+3）2+26．
∵﹣2＜0，
∴当x＝﹣3时，x+y有最大值，最大值为26．
故答案为：26．
【点评】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ 或 ．
【思路点拔】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入yx2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入yx2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b，
综上所述，b或b，
故答案为：或．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴；
（2）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值．
【思路点拔】（1）先将（0，﹣3）和（1，0）分别代入y＝x2+bx+c求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可；
（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过（0，﹣3）和（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3；
∴对称轴为直线x1；
（2）由（1）可知y＝x2+2x﹣3的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1在﹣2≤x≤3内，
∴当x＝﹣1时，有最小值，
即ymin＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∵直线x＝3距直线x＝﹣1最远，
∴当x＝3时，有最大值，
即ymax＝9+6﹣3＝12．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．（8分）已知直线l：y＝kx+1与抛物线：y＝x2﹣4x．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，点O为坐标原点，当k＝﹣2时，求△OAB的面积．
【思路点拔】（1）化成顶点式即可求得；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得A、B的坐标，求得直线AB与y轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标是（2，﹣4）；
（2）当k＝﹣2时，
∴y＝﹣2x+1，
由解得或，
∴B（1，﹣1﹣2），A（1，﹣1+2），
把x＝0代入y＝﹣2x+1得，y＝1，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC1×（11）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及解一元二次方程组，三角形的面积公式等知识，综合程度较高．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【思路点拔】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
20．（8分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【思路点拔】（1）根据题目中的函数解析式，令y＝15即可解答本题；
（2）令y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）当y＝15时，
15＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y＝0时，
0＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）．
（1）若点（2，3）在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点（x1，6），（x2，﹣3）也在抛物线上，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣1时，有已知点A（b，2），B（﹣b，4b﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求b的取值范围．
【思路点拔】（1）①把点（2，3）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）即可；②先表示抛物线顶点坐标为（1，3﹣a），再把点（x1，6），（x2，﹣3）代入抛物线即可得a≥6或a≤﹣3．
（2）分当b≥0时，当b＜0时，讨论即可得b≤﹣3或b≥1．
【解答】解：（1）①∵把点（2，3）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），
∴4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，b＝﹣2a，
∴y＝a+b+3＝a﹣2a+3＝3﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（1，3﹣a），
∵点（x1，6），（x2，﹣3）在抛物线上，
∴当a＞0时，3﹣a≤﹣3，解得a≥6；
当a＜0时，3﹣a≥6，解得a≤﹣3
总之，a≥6或a≤﹣3．
（2）当x＝b时，y＝﹣b2+b2+3＝3，
∴点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，
当x＝﹣b时，y＝﹣b2﹣b2+3＝﹣2b2+3，
当b≥0时，点A在第一象限内，
故点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，
得线段AB只有和在x＝b左侧的抛物线相交，
由抛物线与线段AB恰有一个公共点，
得﹣2b2+3≤4b﹣3，
故b≤﹣3或b≥1，
由b≥0，
得b≥1，
当b＜0时，点A在第一象限内，
故点A在抛物线与x轴围成的图象的内部，
得线段AB只有和在x＝b右侧的抛物线相交，
由抛物线与线段AB恰有一个公共点，
得﹣2b2+3≤4b﹣3，
得b≤﹣3或b≥1，
由b＜0，
得b≤﹣3，
总之b≤﹣3或b≥1．
【点评】本题主要考查了抛物线的相关知识，解题关键是正确运用抛物线的性质．
22．（10分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝2ax﹣b为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“倍系直线”．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与其“倍系直线”交于A、C两点．
（1）填空：b＝ ﹣1 ，该抛物线的“倍系直线”的函数表达式为 yx+1 ，点C的坐标为 （8，5） ．
（2）过点B作BD∥x轴，交抛物线于点D，连结AD，过点D作DM∥y轴，交AC于点M，求点M的坐标，并求证：AO平分∠CAD．
（3）设“倍系直线”AC交y轴于点E，点F为线段EM上一点，使FE＝2FM，连结DF并延长，交y轴于点G，求△GEF与△CDF的面积之比．
【思路点拔】（1）根据“倍系直线”的定义得直线为yx﹣b，将点A（﹣2，0）代入yx2+bx﹣3可得b＝﹣1，联立抛物线yx2﹣x﹣3与直线yx+1可得点C的坐标；
（2）求出点D的坐标为（4，﹣3），点M的坐标为（4，3），则AO是DM的垂直平分线，AM＝AD，根据等腰三角形的性质即可得并AO平分∠CAD；
（3）由点E、M、C的坐标可得M是CE的中点，由FE＝2FM得FMMC，可得，证明△GEF∽△DMF，可得，即可得△GEF与△CDF的面积之比．
【解答】（1）解：∵直线y＝2ax﹣b为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“倍系直线”．
∴yx2+bx﹣3的“倍系直线”为yx﹣b，
将点A（﹣2，0）代入yx2+bx﹣3得1﹣2b﹣3＝0，
解得b＝﹣1，
∴该抛物线的“倍系直线”的函数表达式为yx+1，抛物线为yx2﹣x﹣3，
联立抛物线yx2﹣x﹣3与直线yx+1得，
解得或，
∴点C的坐标为（8，5）．
故答案为：﹣1，yx+1，（8，5）；
（2）证明：∵抛物线yx2﹣x﹣3与y轴交于点B，
∴B（0，﹣3），
∵BD∥x轴，交抛物线yx2﹣x﹣3于点D，
∴点D的坐标为（4，﹣3），
∵DM∥y轴，交AC于点M，直线AC为yx+1，
∴点M的坐标为（4，3），
∴AO是DM的垂直平分线，
∴AM＝AD，
∴AO平分∠CAD；
（3）解：∵AC交y轴于点E，直线AC为yx+1，
∴E（0，1），
∵点M的坐标为（4，3），点C的坐标为（8，5）．
∴M是CE的中点，
∴CM＝EM，
∵FE＝2FM，
∴FMEMMC，
∴FMCF，
∴，
∴S△CDF＝4S△DFM，
∵DM∥y轴，
∴△GEF∽△DMF，
∴，
∴S△GEF＝4S△DMF，
∴△GEF与△CDF的面积之比为1：1．
【点评】本题为二次函数的综合题，考查函数图象的交点、等腰三角形性质、三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质、等腰三角形的性质等相关知识，准确理解新定义，灵活运用数形结合思想是解题关键．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE＝CF＝7m，高CD＝EF＝2.51m．小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC＝24m，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材2 如图，当足球运动到最高点Q时，高度为4.5m，即QB＝4.5m，此时水平距离AB＝15m，以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系．
问题解决
任务1 足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务2 小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网
【思路点拔】任务一：由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣15，），设抛物线的函数表达式为y＝a（x+15）2，将（0，0）代入求解a值，得出函数解析式，再把x＝﹣24代入解析式求出y与2.51比较即可；
任务二：根据题意得出抛物线仍为任务一解析式，根据勾股定理求出AF＝25，将x＝﹣25代入解析式求y值，然后和2.51比大小，进而可得结论；
【解答】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为（﹣15，），
设抛物线解析式为y＝a（x+15）2，
∵抛物线经过点A（0，0），
∴225a0，
解得a，
∴y（x+15）2，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y（x+15）2，
当AC＝24时，即x＝﹣24时，y2.88＞2.51，
∴足球不能进入球网，
任务二：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，AF所在直线为x轴，
∴抛物线的函数表达式仍为y（x+15）2，
∵FC＝7，AC＝24，∠FCA＝90°，
∴AF＝25，
当x＝﹣25时，y＝2.5＜2.51，
∴能打到远角E处入网．
【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数的应用，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（12分）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中，
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
【思路点拔】（1）二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），即可求得m＝1，得到抛物线为y＝x2+2x，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标（﹣1，﹣1）．
（2）依据题意，由Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3，又对于任意的m都有（2m﹣1）2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解；
（3）依据题意，由B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上，从而对称轴直线，故n＝﹣m+1，即n＞1，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合q＞p，可得n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|，再分类讨论即可得解．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2mx+m﹣1的图象经过（0，0），
∴m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2+2x，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴对称轴直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）．
（2）证明：∵Δ＝4m2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3＞0，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）解：∵B（2，q），C（n，p）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1图象上，
∴对称轴直线，
∴n＝﹣m+1．
∵m＜0，
∴n＞1，
∵抛物线过B（2，q），
∴4+4m+m﹣1＝q，即q＝5m+3，
∵m﹣1＞q，
∴m﹣1＞5m+3，解得m＜﹣1，即n＞2，
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵q＞p，
∴n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣2|，
当n+m＜m+2，解得n＜2，不合题意舍去，
当n+m＜﹣m﹣2，即n+1﹣n＜n﹣1﹣2，解得n＞4，
故n的取值范围是n＞4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上一周一测（三）第1章《二次函数》单元综合测试
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣5 B．y＝x（x﹣1）﹣1
C．y＝x2﹣（x+1）2 D．
2．（3分）二次函数y＝x2+2x﹣1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
3．（3分）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … ﹣1 2 3 2 …
A．y1＞y2 B．y1≤y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
6．（3分）如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
7．（3分）将抛物线y（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y（x﹣1）2+2 B．y（x﹣1）2﹣2
C．y（x﹣3）2+2 D．y（x﹣3）2﹣2
8．（3分）在下列函数图象上任取不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），一定能使0成立的是（ ）
A．y＝3x﹣1（x＜0） B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0）
C．y（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
9．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
10．（3分）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＞0，则直线y＝ax+k一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个二次函数图象的形状与抛物线y＝2x2相同，它的顶点坐标为（1，﹣3），则该二次函数的表达式为 ．
12．（3分）某个二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 ．
13．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．
15．（3分）已知实数x，y满足2x2+13x+y﹣8＝0，则x+y的最大值为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴；
（2）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值．
18．（8分）已知直线l：y＝kx+1与抛物线：y＝x2﹣4x．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，点O为坐标原点，当k＝﹣2时，求△OAB的面积．
19．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
20．（8分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）．
（1）若点（2，3）在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点（x1，6），（x2，﹣3）也在抛物线上，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣1时，有已知点A（b，2），B（﹣b，4b﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求b的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝2ax﹣b为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的“倍系直线”．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与其“倍系直线”交于A、C两点．
（1）填空：b＝ ，该抛物线的“倍系直线”的函数表达式为 ，点C的坐标为 ．
（2）过点B作BD∥x轴，交抛物线于点D，连结AD，过点D作DM∥y轴，交AC于点M，求点M的坐标，并求证：AO平分∠CAD．
（3）设“倍系直线”AC交y轴于点E，点F为线段EM上一点，使FE＝2FM，连结DF并延长，交y轴于点G，求△GEF与△CDF的面积之比．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE＝CF＝7m，高CD＝EF＝2.51m．小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD（即AC⊥CF），AC＝24m，足球运动的路线是抛物线的一部分．
素材2 如图，当足球运动到最高点Q时，高度为4.5m，即QB＝4.5m，此时水平距离AB＝15m，以点A为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系．
问题解决
任务1 足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
任务2 小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？
上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网
24．（12分）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中，
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣2，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
