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第3章《圆的基本性质》单元综合复习
一．选择题（共18小题）
1．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．⊙O的直径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
3．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9π B．6π C．3π D．2π
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
5．如图，在⊙O中，，∠AOB＝40°，则∠CAD的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．已知A、B、C、D在⊙O上，AB、CD交于⊙O外点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠ADC的度数为（ ）
A．64° B．65° C．51° D．54°
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A、B为圆心，AD、BC为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分图形的周长之和为（ ）
A．2+π B．4+π C．4+2π D．4+4π
9．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，OC＝4，AB＝5，则BC＝（ ）
A．5 B． C． D．8
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
11．如图，在⊙O中，2，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
12．在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
15．如图，点C，D，E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．4 D．
16．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
17．如图，分别以点O1，O2为圆心，O1O2的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若O1O2＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O与BC，AC交于点D，E，连结BE，DE．若∠CED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
二．填空题（共8小题）
19．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
20．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有直径为2cm的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 cm2．
21．两同心圆的圆心为O，大圆半径为3，小圆半径为1，大圆的直径与小圆相交于B、C两点，分别以B、C为圆心、以2为半径作半圆（如图所示），则阴影部分面积为 平方单位．
22．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 cm2．
24．点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝4，在过P点的所有⊙O的弦中，最短弦的长为 ．
25．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
26．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，B，C，AD的延长线交⊙O于点E，连接AC．已知⊙O的半径为3，则AC2﹣EC2与EA，AD之间的等量关系式为 ，EA EC的最大值为 ．
三．解答题（共2小题）
27．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧的长．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第3章《圆的基本性质》单元综合复习
一．选择题（共18小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C C B B A A C B C C
题号 12 13 14 15 16 17 18
答案 D B A C C A C
一．选择题（共18小题）
1．下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
2．⊙O的直径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【思路点拔】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的直径为5cm，
∴⊙O的半径为2.5cm，
∵点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
3．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9π B．6π C．3π D．2π
【思路点拔】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：S扇形3π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S．
4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【思路点拔】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
5．如图，在⊙O中，，∠AOB＝40°，则∠CAD的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【思路点拔】在⊙O中，已知∠AOB＝40°，，根据弧与圆心角的关系，即可求得∠COD的度数，再根据圆周角定理即可得解．
【解答】解：如图，连结OC、OD，
在⊙O中，∠AOB＝40°，，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∴∠CAD∠COD＝20°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理、弧与圆心角的关系．熟记圆周角定理是解题的关键，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．已知A、B、C、D在⊙O上，AB、CD交于⊙O外点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠ADC的度数为（ ）
A．64° B．65° C．51° D．54°
【思路点拔】圆周角定理求出∠BAD，再根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得：∠BAD＝∠BCD＝25°，
∵∠ADC是△ADE的外角，∠E＝39°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠E＝25°+39°＝64°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，根据圆周角定理求出∠BAD是解题的关键．
7．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）
A． B． C．2 D．
【思路点拔】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A、B为圆心，AD、BC为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分图形的周长之和为（ ）
A．2+π B．4+π C．4+2π D．4+4π
【思路点拔】根据平行四边形的性质、弧长公式计算即可．
【解答】解：设∠A＝n°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣n°，BC＝AD＝2，
由题意得，AE＝AD＝2，BE＝BC＝2，
∴图中阴影部分图形的周长之和的长的长+CD42π+4，
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算、三角形内角和定理，掌握弧长公式：l是解题的关键．
9．如图，在⊙O中，点A、B、C均在圆上，连接OA、OB、OC、BC、AC，若AC∥OB，OC＝4，AB＝5，则BC＝（ ）
A．5 B． C． D．8
【思路点拔】如图，过点O作OK⊥AB于K，过点A作AH⊥OB于H，过点C作CJ⊥BO交BO的延长线于J．首先证明OJ＝OH，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出OH，求出BJ，CJ，利用勾股定理求BC．
【解答】解：如图，过点O作OK⊥AB于K，过点A作AH⊥OB于H，过点C作CJ⊥BO交BO的延长线于J．
∵AC∥BO，CJ⊥BO，AH⊥BO，
∴CJ＝AH，
∵∠CJO＝∠AHO，CO＝AO，
∴Rt△CJO≌Rt△AHO（HL），
∴OJ＝OH，
∵OA＝OB，OK⊥AB，
∴AK＝BK．
∴OK，
∵ AB OK OB AH，
∴AH＝CJ，
∴OJ＝OH，
∴BJ＝OJ+OB，
∴BC，
解法二：延长CO交⊙O于点D，连接BD．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∵AC∥OB，
∴∠ACO＝∠BOD，∠CAO＝∠AOB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠BOD＝∠AOB，
∴BD＝AB＝5，
∵OC＝4，
∴CD＝2OC＝8，
在Rt△BCD中，BC，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【思路点拔】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OHOP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH，所以CD＝2CH＝2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OHOP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
11．如图，在⊙O中，2，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【思路点拔】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，2，可证得，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，2，
∴，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．
12．在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝40°，再由弧长公式即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，
∴的长；
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积2π，
∴OC＝2或﹣2（舍去），
∴的长π，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
14．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．2
【思路点拔】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴π×（）2π×（）2AC×BCπ×（）2＝12，
∴AC×BC＝24，
AB2．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．如图，点C，D，E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【思路点拔】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影＝S△ADC+S△BCE，设AD＝a，构建方程，可得结论．
【解答】解：设AD＝a，
由题意，∠ACB＝90°，∠ACD＝30°，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝180°，
∴D、C、E三点共线，
点C是半径为的半圆弧AB的一个三等分点，
∴对的圆心角为60°，
∴∠ABC＝30°，
同法可得∠ACD＝∠CBE＝30°，
∴AC＝2a，AB＝4a，BC＝2a，CDa，ECa，BE＝3a，
∵四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
∴S阴影＝S梯形ABEDS△ABC﹣（）
＝S△ADC+S△BCE
，
∴，
解得a＝1（负根已经舍去），
∴AB＝4a＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．
16．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【思路点拔】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
17．如图，分别以点O1，O2为圆心，O1O2的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若O1O2＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如图所示，连接PO1，PO2，过点P作PA⊥O1O2交于点A，得到PO1＝PO2＝O1O2＝3，证明出△PO1O2是等边三角形，求出∠PO1O2＝∠O1PO2＝60°，解直角三角形求出AP，然后根据阴影部分的面积代数求解即可．
【解答】解：如图所示，连接PO1，PO2，过点P作PA⊥O1O2交于点A，
根据题意得，PO1＝PO2＝O1O2＝3，
∴△PO1O2是等边三角形，
∴，
∴S阴影
．
故选：A．
【点评】此题考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
18．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O与BC，AC交于点D，E，连结BE，DE．若∠CED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【思路点拔】根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEC＝90°，点E是AC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥BC，阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，进而求解．
【解答】连接OE、OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∵BA＝BC，
∴AE＝CE，
即点E是AC的中点，
由条件可知OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△BOD＝S△BED，
∴S阴影＝S扇形BOD，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠CED＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴，
∴S阴影＝4π．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
19．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
【思路点拔】连接AB，如图，先计算出AB，再根据垂径定理得到AC＝PC，BD＝PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【解答】解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴ABOA，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CDAB．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．
20．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有直径为2cm的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 π cm2．
【思路点拔】因为图中的圆形喷水池形成的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可．
【解答】解：圆形喷水池形成四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积，故圆形喷水池的面积为π 12＝π．
故选答案为π．
【点评】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识．
21．两同心圆的圆心为O，大圆半径为3，小圆半径为1，大圆的直径与小圆相交于B、C两点，分别以B、C为圆心、以2为半径作半圆（如图所示），则阴影部分面积为 4π 平方单位．
【思路点拔】根据已知，易证AC＝BD，所以⊙B和⊙C是等圆，所以以AC为直径的半圆面积等于以BD为直径的半圆的面积，所以阴影的面积实际上是以AD为直径的半圆减去以BC为直径的半圆．
【解答】解：∵OA＝OD＝3，OB＝OC＝1，
∴AC＝BD＝4，
∴⊙B和⊙C是等圆，
∴S⊙BS⊙C，
∴S阴影S大⊙OS小⊙O（π×9﹣π×1）＝4π．
【点评】求解不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形，再进一步求解．
22．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
【思路点拔】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CBAB1，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 cm2．
【思路点拔】根据直角三角形的性质求出AC、BC，再根据三角形面积公式和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠B＝90°，AB＝1cm．
∴AC＝2AB＝2cm，BCcm，∠BAC＝60°，
∴边BC扫过区域的面积为：S扇形AC′C+S△ABC﹣S扇形AB′B﹣S△AB′C′，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．
∴∠CAC′＝60°，AC′＝AC＝2cm，B′C′＝BCcm，AB′＝AB＝1cm．S△ABC＝S△AB′C′，
∴边BC扫过区域的面积为：S扇形AC′C﹣S扇形AB′B（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转变换的性质，掌握扇形的面积公式：S是解题的关键．
24．点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝4，在过P点的所有⊙O的弦中，最短弦的长为 6 ．
【思路点拔】根据题意画出图形，由垂径定理即可得出结论．
【解答】解：如图，∵OP⊥AB，OP＝4，OB＝5，
∴PB3，
∴AB＝2PB＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
25．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
【思路点拔】通过观察图形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出AC的长，即可求出长方形ACDF的面积．
【解答】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD，
∴AC＝OA﹣OC1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，
∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC CD．
故答案为：．
【点评】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．如通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可．
26．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，B，C，AD的延长线交⊙O于点E，连接AC．已知⊙O的半径为3，则AC2﹣EC2与EA，AD之间的等量关系式为 AC2﹣EC2＝AE AD ，EA EC的最大值为 ．
【思路点拔】如图，过点C作CH⊥AE于H，连接BD交AC于点F，连接AO．利用勾股定理可以证明：AC2﹣EC2＝AE AD，再根据EA EC＝AE AD＝AC2﹣EC2，求出EC2（用AC表示），把问题转化为二次函数，利用二次函数的性质求出最大值．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AE于H，连接BD交AC于点F，连接AO．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAB＝∠CAE，CB＝CD，
∴，
∴CB＝EC，
∴CE＝CD，
∵CH⊥DE，
∴DH＝EH，
∵AC2＝AH2+CH2，EC2＝CH2+EH2，
∴AC2﹣EC2＝AH2﹣EH2＝（AH+EH）（AH﹣EH）＝AE AD，
∵DB垂直平分线段AC，
∴点O在BD上，
∴OF，
∴EC2＝AB2＝AF2+（3﹣OF）2 AC2+9﹣69 AC2＝18﹣618﹣3，
∴EA EC＝EA AD＝AC2﹣EC2＝AC2﹣18+3，
令y，
∴EA EC＝﹣y2+3y+18＝﹣（y）218＝﹣（y）2，
∵﹣1＜0，
∴EA EC有最大值，最大值为．
故答案为：AC2﹣EC2＝AE AD，．
【点评】本题属于圆综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
三．解答题（共2小题）
27．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求弧的长．
【思路点拔】（1）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，根据圆周角定理得出∠EDB＝∠FCA＝90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出结论；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度数，再由三角形外角的性质得出∠EOA的度数，由弧长公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，
∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB＝∠FCA＝90°．
在△DEB与△CFA中，
∵，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC＝BD；
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，
设BE交AC于点J，
∵∠A＝30°，OA＝OC，
∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，
∴∠BMC＝90°，∠BJM＝60°，
∴∠EOA+∠A＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝30°，
∴π．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【思路点拔】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．
解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OHAD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF2，
∴BF2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
