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第1章《二次函数》基础巩固练习
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B D B B B D D C B
题号 12 13
答案 A D
一．选择题（共13小题）
1．将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5
【思路点拔】利用二次函数平移规律求出即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：y＝（x+3）2﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度
【思路点拔】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），y＝﹣7x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣7x2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
3．将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x+3）2+1
【思路点拔】根据二次函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：∵原二次函数可化为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是y＝（x+1﹣4）2﹣4+5，即y＝（x﹣3）2+1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
4．关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】本题形数结合，一次函数y＝ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y＝a（x+c）2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．
【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【点评】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据a的符号分类，a＞0时，在A、B、D中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在C中进行判断．
【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的开口向上，顶点在y轴的负半轴上，一次函数y＝ax+1的图象经过第一、二、三象限；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的开口向下，顶点在y轴的正半轴上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，并与x轴交于A、B两点，若点B的横坐标为1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
B．点A的坐标是（﹣5，0）
C．b＝2a
D．abc＞0
【思路点拔】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点以及增减性综合进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故A错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝﹣2，
∴2，
∴b＝4a，故C错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故D错误；
∵B（1，0），对称轴为x＝﹣2，
∴点A的坐标是（﹣5，0），故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是正确解答的关键．
8．关于二次函数y＝（x+3）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上
B．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．图象可由抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、∵二次函数y＝（x+3）2﹣2，
∴a＝1＞0，函数的图象开口向上，正确，不符合题意；
B、图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2，正确，不符合题意；
C、图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意；
D、图象可由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
9．关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+5，下列说法正确的是（ ）
A．y有最小值
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．当x＜0时，y的值随x的值增大而增大
D．图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的
【思路点拔】根据二次函数的性质以及二次函数平移的规律即可判断．
【解答】解：A．∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，因此该选项错误；
B．∵y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，
∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+5图象的对称轴为直线x＝﹣1，因此该选项错误；
C．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大，因此该选项错误；
D．∵图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到y＝﹣（x+1）2+6，
∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+5图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，因此该选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质以及平移的规律是解答本题的关键．
10．在平面直角坐标系中，对于抛物线y3x+4，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【思路点拔】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数y3x+4（x﹣2）2+1，a0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y（x﹣2）2+1
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（ ）
A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最小值3 D．最大值3
【思路点拔】依据题意，由二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），可得1＝4a+8+1，从而可得二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，进而可得该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3，最后可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），
∴1＝4a+8+1．
∴a＝﹣2．
∴二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3．
∴该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3．
∴新二次函数有最小值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝﹣（x+1）2+a图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【思路点拔】根据二次函数的增减性解答即可．二次函数y＝﹣（x+1）2+a
【解答】解：由二次函数解析式可知：抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
A（﹣2，y1）距离对称轴1个单位长度，
B（1，y2）距离对称轴2个单位长度，
C（2，y3）距离对称轴3个单位长度，
根据距离对称轴越远函数值越小可知：y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
13．已知A（﹣2，m），B（3，n）是抛物线y＝x2﹣2x+k上的两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＞n B．m﹣n＝5 C．mn＞﹣7 D．m+n＞0
【思路点拔】根据题意，用k分别表示出m和n，据此对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将A，B两点坐标代入y＝x2﹣2x+k得，
m＝k+8，n＝k+3，
则m﹣n＝k+8﹣（k+3）＝5＞0，
故AB选项不符合题意．
mn＝（k+8）（k+3）＝k2+11k+24＝（）27，
故C选项不符合题意．
因为m+n＝k+8+k+3＝k+11，
无法得出k+11的结果，
所以m+n不一定大于0．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，能用k分别表示出m和n是解题的关键．
二．解答题（共12小题）
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），且顶点到x轴距离为2．
（1）求函数表达式；
（2）若点P（m，n）在图象上，且n≥1，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）先由题意得出抛物线的顶点是（1，2）或（1，﹣2），再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解；
（2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时．
【解答】解：（1）由条件可设该二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2±2，
①当顶点为（1，2）时，解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵图象经过点（﹣1，0），
∴4a+2＝0，
解得，
∴；
②当顶点为（1，﹣2）时，解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵图象经过点（﹣1，0），
∴4a﹣2＝0，
解得，
∴函数表达式为；
故函数表达式为或．
（2）①当函数表达式为时，
n≥1即，
，
（m﹣1）2≤2，
解得；
②当函数表达式为时，
n≥1即，
解得或，
综上，当函数表达式为时，m的取值范围是；
当函数表达式为时，m的取值范围是或．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
15．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m …
y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 …
（1）这个二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x﹣4 ，对称轴是 直线x＝﹣1 ；
（2）表中的m＝ 3 ，n＝ ﹣12 ；
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【思路点拔】（1）将表中数据代入二次函数解析式即可求得表达式，利用配方法把函数解析式表示成顶点式可得定点坐标；
（2）根据（1）函数解析式当x＝20代入求得n，当y＝﹣59时求得 m；
（3）确定函数的开口方向和对称轴，然后根据递减性以及 x1和x2的大小来比较y1和y2的大小．
【解答】解：（1）由题意，将 （﹣2，﹣4）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，
∴．
∴
∴y＝﹣x2﹣2x﹣4＝﹣（x+1）2﹣3，
∴对称轴为直线，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣4；直线x＝﹣1．
（2）由题意，∵y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴当x＝2时，n＝﹣12；
当y＝﹣19时，﹣19＝﹣m2﹣2m﹣4，解得：m＝3或﹣5（舍），
∴m＝3．
故答案为：m＝3；n＝﹣12．
（3）由题意，∵y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
∵对称轴是直线x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．已知某二次函数的图象的顶点为（1，﹣2），且过点（2，﹣5）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
（3）已知点P（0，yp），Q（﹣4，yQ）均在该抛物线上．请直接比较yP与yQ的大小关系．
【思路点拔】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可．
（2）把x＝﹣1代入函数的解析式求得函数值即可判断．
（3）把x＝0及x＝﹣4分别代入函数的解析式求得函数值即可判断．
【解答】解：（1）由条件可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵它的图象过点（2，﹣5），
∴a（2﹣1）2﹣2＝﹣5，解得a＝﹣3，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
（2）点P（﹣1，9）不在这个二次函数的图象上．
理由：当x＝﹣1时，y＝﹣3（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣14≠9．
∴点P（﹣1，9）不在这个二次函数的图象上．
（3）当x＝0时，，
当x＝﹣4时，，
∵﹣5＞﹣77，
∴yP＞yQ．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴；
（2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论；
（3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
（2）∵y＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，
∴抛物线顶点坐标为1，a2﹣a﹣2，
∴a2﹣a﹣2＝0，
∴a＝2或﹣1，
①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+2；
②当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x﹣1．
（3）由题意可得：
①当a＞0时，∵y1＜y2，∴﹣1＜m＜3；
②当a＜0时，∵y1＜y2，∴m＞3或m＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．已知二次函数x＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0）、（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的表达式；
（2）求顶点坐标及对称轴；
（3）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【思路点拔】（1）将（﹣3，0）、（2，﹣5）代入x＝ax2+bx+3，求解即可；
（2）将（1）所求一般式改为顶点式即可解答；
（3）令x＝﹣2，求出y的值，即可判断．
【解答】解：（1）将（﹣3，0）、（2，﹣5）代入x＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1；
（3）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
理由：∵当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数的性质，掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题关键．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a，b为常数）经过点（4，6）．
（1）用含a的代数式表示b，并求该抛物线的对称轴．
（2）当﹣2≤x≤0时，0≤y≤6，求抛物线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，已知点（t﹣1，y1），（5，y2），（2t，y3）在抛物线上，y1＞y2，求y3的取值范围．
【思路点拔】（1）把点代入计算，根据对称轴的计算方法即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：当a＞0时，图象开口向上，当x＝﹣2时，y＝6，即4a+8a+6＝6；当a＜时，图象开口向下，当x＝﹣2时，y＝0，即4a+8a+6＝0；由此即可求解；
（3）根据题意得到抛物线的解析式，对称轴，图形开口，增减性，把x＝5代入得到y2的值，由此得到t﹣1的范围，由此即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：16a+4b+6＝6，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+6（a，b为常数），
∴对称轴直线为；
（2）当a＞0时，图象开口向上，
∵抛物线对称轴直线为x＝2，
∴当﹣2≤x≤0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝6，即4a+8a+6＝6，
解得a＝0（不符合题意，舍去）；
当a＜时，图象开口向下，当﹣2≤x≤0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y＝0，即4a+8a+6＝0，
∴，
∴；
（3）∵，对称轴直线为x＝2，图象开口向下，当x≤2时，y随x的增大而增大，当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴点（5，y2）关于对称轴直线对称的点为（﹣1，y2），
∵y1＞y2，
∴﹣1＜t﹣1＜5，
解得0＜t＜6，
∴0＜2t＜12，
∴当2t＝0时，y＝6，当2t＝2时，，当2t＝12时，，
∴﹣42＜y3≤8．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）的经过点（2，﹣1），
（1）求二次函数解析式；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
【思路点拔】（1）依据题意，把已知点的坐标代入y＝ax2﹣（3a+1）x+3求出a的值即可；
（2）依据题意，先利用配方法得到y＝（x﹣2）2﹣1，则x＝2时，y有最小值为﹣1，再分别计算出自变量为﹣1和3所对应的函数值，然后确定y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣（3a+1）x+3，
∴﹣1＝4a﹣2（3a+1）+3，
∴a＝1．
∴二次函数的解析式的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）由题意，结合（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣1，
又∵当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+3＝1+4+3＝8，
当x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0，
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围为﹣1≤y≤8．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
【思路点拔】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y有最大值4，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4，
∴m＝4，n＝0，
∴m﹣n＝4﹣0＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象经过点A（0，3），B（2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出﹣1≤x≤2时，y的最大值．
【思路点拔】（1）把点A、B的坐标分别代入y＝ax2﹣2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2+2，则当x＝1时，y有最小值2，再分别计算出x＝﹣1和x＝2时的函数值，然后确定﹣1≤x≤2时，y的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，3），B（2，3）分别代入y＝ax2﹣2x+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，y有最小值2，
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+3＝1+2+3＝6，
当x＝2时，y＝x2﹣2x+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，y的范围为2≤y≤6，所以y的最大值为6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．如图，抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大．
【思路点拔】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，如图，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则PQ＝﹣m2﹣3m，再根据三角形的面积公式得到S△PAC（﹣m2﹣3m）×3，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PAC（﹣m2﹣3m）×3，
∵S△PAC（m）2，
∴当m时，S△PAC有最大值．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象和性质．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，P为直线AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求出点P的坐标．
【思路点拔】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）首先可得点E（2，﹣3），确定出直线AE解析式，过点P作PF∥y轴交AE于点F，设出点P的坐标，进而表示出点F的坐标，用三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可确定出最大值时，点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝2时，m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），
设直线AE的解析为y＝kx+n（k≠0），
把A（﹣1，0），E（2，﹣3）分别代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1．
过点P作PF∥y轴交AE于点F，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则F（t，﹣t﹣1），
∵P为直线AE下方抛物线上的点∴﹣1＜t＜2∵S△AEP＝S△APF+S△EPF，
∴
，
∴当时，S△AEP取得最大值，
∴．
【点评】此题考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，三角形面积的计算，二次函数的最值问题，熟练掌握和运用二次函数的最值问题的解决方法是解决本题的关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（，0）、B（，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【思路点拔】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）由题意设y＝a（x）（x﹣3），
代入C（0，3）得3＝﹣9a，
解得a，
∴y（x）（x﹣3）x2x+3；
∴抛物线的函数表达式为yx2x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC6，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析是为yx+3，
设点M的坐标为（a，a+3），
DM＝（a2a+3）﹣（a+3）a2a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，即，
解得，DEDM
∴DEa2a，
当a时，DE取最大值，最大值是．
【点评】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
三．填空题（共24小题）
26．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，它的顶点坐标为（﹣2，1），则此抛物线的解析式 y＝﹣3（x+2）2+1 ．
【思路点拔】由二次函数的图象的性质求出a，再用待定系数法即可求解．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，
则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣3（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣3（x+2）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质和待定系数法求函数的表达式，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
27．与抛物线y＝2x2+x﹣3的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是（1，2）的抛物线的函数表达式是 y＝﹣2（x﹣1）2+2 ．
【思路点拔】根据题意得出所求抛物线的二次项系数为2，最后结合顶点坐标为（1，2）即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为所求抛物线与抛物线y＝2x2+x﹣3的形状相同，但开口方向不同，
所以所求抛物线的二次项系数为﹣2．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，2），
所以所求抛物线的函数表达式是y＝﹣2（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是 （﹣1，4） ．
【思路点拔】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：由条件可知，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式和抛物线的顶点坐标．熟练掌握该知识点是关键．
29．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点（﹣1，3），且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 y＝3x2 ．
【思路点拔】设抛物线的解析式为y＝ax2，代入点（﹣1，3），利用待定系数法求解即可．
【解答】解：根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵二次函数的图象经过点（﹣1，3），
∴a＝3，
∴这个二次函数的表达式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确设出抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
30．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ．
【思路点拔】设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入可得a，从而可得答案．
【解答】解：由二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：﹣5＝9a+4，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
31．抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【思路点拔】根据抛物线与x轴的交点，先设出抛物线的解析式，再把抛物线与y轴的交点代入解析式，求出a得结论．
【解答】解：设二次函数的解析数为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线经过（0，3），
∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3．
∴a＝1．
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
【点评】本题主要考查了二次函数，掌握待定系数法确定二次函数解析式是解决本题的关键．
32．把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝2（x）2 ．
【思路点拔】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣6x+1＝2（x2﹣3x）+1＝2（x）2，
故答案为：y＝2（x）2，
【点评】考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
33．将二次函数yx2+3x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是 y（x+3）2﹣7 ．
【思路点拔】直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案．
【解答】解：yx2+3x
（x2+6x）
（x+3）2
（x+3）2﹣7．
故答案为：y（x+3）2﹣7．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键．
34．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，3）和（5，3），则它的对称轴为 直线x＝2 ．
【思路点拔】根据抛物线的对称性进行计算，即可解答．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，3）和（5，3），
∴它的对称轴为：直线x2，
故答案为：直线x＝2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为 1或 ．
【思路点拔】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答．
【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3
＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3
＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3，
∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3），
把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得：
﹣3m2+5m+3＝3m+2，
整理得：3m2﹣2m﹣1＝0，
解得：m1＝1，m2，
故答案为：m的值为1或，
故答案为：1或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
36．如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝ 2 ．
【思路点拔】求得A的坐标，即可求得OA＝m；由于四边形ABOC是正方形，那么△AOB必为等腰直角三角形，即可得到C（m，m），代入y＝﹣x2+m即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0），
∴A（0，m），
∵四边形ABOC是正方形，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴C（m，m），
∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过点C，
∴mm2+m，即m2m＝0，
∴m1＝2，m2＝0（舍去）；
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出C的坐标是解题的关键．
37．如图，正方形OABC的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线y＝ax2（a＜0）的图象经过点B，则a的值为 ．
【思路点拔】根据正方形性质，通过AAS证明△FCO≌△EBC，得，FC＝BE＝2，得出点B的坐标，再代入y＝ax2（a＜0），即可作答．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥FC的延长线上：
∵四边形OABC是正方形，
∴∠FCO+∠BCE＝180°﹣∠OCB＝180°﹣90°＝90°，OC＝BC，
∵BE⊥FC，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠FCO＝∠CBE，
∵过点C作CF⊥y轴于点F，
∴∠CFO＝∠BEC，即△CFO≌△BEC（AAS），
则，FC＝BE＝2，．．
∵点B在第四象限，即点B的坐标为，把代入y＝ax2（a＜0），即，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
38．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 ．
【思路点拔】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BDOB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∴BDOB＝1，
∴OD，
∴点B的坐标为（﹣1，），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，
∴a（﹣1）2，
解得a．
故答案为：．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后求出点B的坐标是解题的关键．
39．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形的边AB与EF同时落在x轴上．若正方形ABCD的边长为6，则正方形EFGH的边长为 33 ．
【思路点拔】根据题意得出抛物线的解析式，进而表示出点G的坐标，再利用2OF＝GF，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6．
∴顶点坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+6．
将点B代入得0＝9a+6．
解得a．
∴抛物线的解析式为：．
设点G的坐标为（m，）．
则2m．
整理得：m2+3m﹣9＝0．
解得，（不合题意舍去）．
∴正方形EFGH的边长为FG＝2m＝33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题的关键．
40．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则a+b+c的值是 ﹣2 ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
【思路点拔】根据表格可求出该二次函数的对称轴为x＝﹣1，然后求出（1，y）关于x＝﹣1的对称点坐标，即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由表格可知：（﹣2，﹣5）与（0，﹣5）是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为x＝﹣1，
设二次函数图象上的点为（1，y），（x，y），
由对称性可知：1，
∴x＝﹣3，
∴（1，y）与（﹣3，y）关于x＝﹣1对称，
由表格可知：x＝﹣3时，y＝﹣2，
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的特征，解题的关键是求出该二次函数的对称轴，本题属于中等题型．
41．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．已知自变量x和函数值y的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣2 0 1 2 3 …
y … ﹣5 3 4 3 0 …
则一元二次方程ax2+bx+8＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【思路点拔】由表格可得抛物线经过点（0，3），（3，0），（1，4），故利用待定系数法求出函数解析式，则原一元二次方程可化为﹣x2+2x+8＝0，再利用因式分解法求解．
【解答】解：把x＝0，y＝3，x＝3，y＝0，x＝1，y＝4代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴把a＝﹣1，b＝2代入一元二次方程ax2+bx+8＝0得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握解一元二次方程是解题的关键．
42．如表，已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当y＜10时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
x …… ﹣1 0 1 2 3 4 …
y …… 10 5 2 1 2 5 …
【思路点拔】在表格中分别取三点代入y＝ax2+bx+c，求出函数的解析式，再求解即可．
【解答】解：分别取x＝0，y＝5；x＝1，y＝2；x＝﹣1，y＝10，代入y＝ax2+bx+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣4x+5，
令y＝10，则x2﹣4x+5＝10，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜10时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
43．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x时，函数值为 0 ．
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和题意，可知x5，从而可以得到当x时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴当x5时，此时函数值为0，
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数图象具有对称性解答．
44．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ﹣3 ．
【思路点拔】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2021对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2021时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x，
∴x＝2021和x2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
45．已知二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取3x1+3x2时，函数值为 2022 ．
【思路点拔】根据二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，可知0，即可得到x1+x2＝0，然后即可得到当x取3x1+3x2时，函数的值．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴0，
∴x1+x2＝0，
∴3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0，
∴当x取3x1+3x2时，函数值为y＝3×02+2022＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出3x1+3x2的值．
46．已知二次函数y＝mx2+nx+2024（m，n为常数，且m≠0），当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等，则当x＝2025时的函数值为 2024 ．
【思路点拔】由当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等可得，即n＝﹣2025m，从而得出函数解析式为y＝mx2﹣2025mx+2024，继而即可求得x＝2025时的函数值．
【解答】解：∵当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x，即n＝﹣2025m，
则二次函数的解析式为y＝mx2﹣2025mx+2024，
∴当x＝2025时，y＝20252m﹣20252m+2024＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到n＝﹣2025m是解题的关键．
47．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．若函数值y＜3，则自变量x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【思路点拔】根据函数解析式可以得到该函数图象的对称轴，然后根据该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），即可得到当y＝3时，x＝0或4，从而可以写出当函数值y＜3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+k，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝2，
∵该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），
∴当y＝3时，x＝0或4，
∴当函数值y＜3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
48．如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 0＜x＜2 ．
【思路点拔】根据函数图象经过（0，1），对称轴为直线x＝1，由函数的性质可以得出函数图象经过（2，1），结合函数图象得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，y＝1，
∵抛物线开口向上，
∴函数值y＜1，自变量x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是二次函数的性质和数形结合的思想的应用．
49．小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣2的图象如图所示，发现它关于点（1，﹣1）成中心对称，若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+ +y19+y20的值是 ﹣21 ．
【思路点拔】根据题意得出y1+y2+y3+ y9+y11 +y19＝﹣20，进而转化为求y10，根据题意可得y10＝﹣1，即可求解．
【解答】解：由条件可知1，
∴y0+y1+y2+y3+ y9+y11 +y19+y20＝﹣20，
∴y0+y1+y2+y3+ +y19+y20＝﹣20+y10，
又∵A10（1，﹣1），即y10＝﹣1，
∴y0+y1+y2+y3+ +y19+y20＝﹣20+y10＝﹣20﹣1＝﹣21．
故答案为：﹣21．
【点评】本题主要考查了坐标规律、求函数值、中心对称的性质，熟练掌握以上知识点是关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章《二次函数》基础巩固练习
一．选择题（共13小题）
1．将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5
2．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度
3．将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x+3）2+1
4．关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，并与x轴交于A、B两点，若点B的横坐标为1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
B．点A的坐标是（﹣5，0）
C．b＝2a
D．abc＞0
8．关于二次函数y＝（x+3）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上
B．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．图象可由抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到
9．关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+5，下列说法正确的是（ ）
A．y有最小值
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．当x＜0时，y的值随x的值增大而增大
D．图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的
10．在平面直角坐标系中，对于抛物线y3x+4，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
11．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（ ）
A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最小值3 D．最大值3
12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝﹣（x+1）2+a图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
13．已知A（﹣2，m），B（3，n）是抛物线y＝x2﹣2x+k上的两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＞n B．m﹣n＝5 C．mn＞﹣7 D．m+n＞0
二．解答题（共12小题）
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），且顶点到x轴距离为2．
（1）求函数表达式；
（2）若点P（m，n）在图象上，且n≥1，求m的取值范围．
15．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m …
y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 …
（1）这个二次函数的表达式为 ，对称轴是 ；
（2）表中的m＝ ，n＝ ；
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
16．已知某二次函数的图象的顶点为（1，﹣2），且过点（2，﹣5）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
（3）已知点P（0，yp），Q（﹣4，yQ）均在该抛物线上．请直接比较yP与yQ的大小关系．
17．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
18．已知二次函数x＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0）、（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的表达式；
（2）求顶点坐标及对称轴；
（3）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a，b为常数）经过点（4，6）．
（1）用含a的代数式表示b，并求该抛物线的对称轴．
（2）当﹣2≤x≤0时，0≤y≤6，求抛物线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，已知点（t﹣1，y1），（5，y2），（2t，y3）在抛物线上，y1＞y2，求y3的取值范围．
20．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）的经过点（2，﹣1），
（1）求二次函数解析式；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象经过点A（0，3），B（2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出﹣1≤x≤2时，y的最大值．
23．如图，抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，P为直线AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求出点P的坐标．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（，0）、B（，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
三．填空题（共24小题）
26．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，它的顶点坐标为（﹣2，1），则此抛物线的解析式 ．
27．与抛物线y＝2x2+x﹣3的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是（1，2）的抛物线的函数表达式是 ．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是 ．
29．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点（﹣1，3），且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 ．
30．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为 ．
31．抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 ．
32．把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
33．将二次函数yx2+3x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是 ．
34．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，3）和（5，3），则它的对称轴为 ．
35．若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为 ．
36．如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝ ．
37．如图，正方形OABC的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线y＝ax2（a＜0）的图象经过点B，则a的值为 ．
38．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 ．
39．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形的边AB与EF同时落在x轴上．若正方形ABCD的边长为6，则正方形EFGH的边长为 ．
40．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则a+b+c的值是 ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
41．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．已知自变量x和函数值y的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣2 0 1 2 3 …
y … ﹣5 3 4 3 0 …
则一元二次方程ax2+bx+8＝0的解为 ．
42．如表，已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当y＜10时，x的取值范围是 ．
x …… ﹣1 0 1 2 3 4 …
y …… 10 5 2 1 2 5 …
43．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x时，函数值为 ．
44．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ．
45．已知二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取3x1+3x2时，函数值为 ．
46．已知二次函数y＝mx2+nx+2024（m，n为常数，且m≠0），当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等，则当x＝2025时的函数值为 ．
47．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．若函数值y＜3，则自变量x的取值范围是 ．
48．如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 ．
49．小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣2的图象如图所示，发现它关于点（1，﹣1）成中心对称，若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+ +y19+y20的值是 ．
二次函数基础巩固
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B D B B B D D C B
题号 12 13
答案 A D
一．选择题（共13小题）
1．将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5
【分析】利用二次函数平移规律求出即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是：y＝（x+3）2﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（ ）
A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），y＝﹣7x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣7x2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
3．将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+1
C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x+3）2+1
【分析】根据二次函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：∵原二次函数可化为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴将抛物线y＝x2+2x﹣3向右平移4个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的函数表达式是y＝（x+1﹣4）2﹣4+5，即y＝（x﹣3）2+1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
4．关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题形数结合，一次函数y＝ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y＝a（x+c）2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．
【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
【点评】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a的符号分类，a＞0时，在A、B、D中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在C中进行判断．
【解答】解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的开口向上，顶点在y轴的负半轴上，一次函数y＝ax+1的图象经过第一、二、三象限；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的开口向下，顶点在y轴的正半轴上，一次函数y＝ax+a的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，并与x轴交于A、B两点，若点B的横坐标为1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
B．点A的坐标是（﹣5，0）
C．b＝2a
D．abc＞0
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点以及增减性综合进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故A错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝﹣2，
∴2，
∴b＝4a，故C错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故D错误；
∵B（1，0），对称轴为x＝﹣2，
∴点A的坐标是（﹣5，0），故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的位置与系数a、b、c之间的关系是正确解答的关键．
8．关于二次函数y＝（x+3）2﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上
B．图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．图象可由抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、∵二次函数y＝（x+3）2﹣2，
∴a＝1＞0，函数的图象开口向上，正确，不符合题意；
B、图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2），函数的最小值为﹣2，正确，不符合题意；
C、图象的对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意；
D、图象可由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
9．关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+5，下列说法正确的是（ ）
A．y有最小值
B．图象的对称轴为直线x＝1
C．当x＜0时，y的值随x的值增大而增大
D．图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的
【分析】根据二次函数的性质以及二次函数平移的规律即可判断．
【解答】解：A．∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，因此该选项错误；
B．∵y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，
∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+5图象的对称轴为直线x＝﹣1，因此该选项错误；
C．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大，因此该选项错误；
D．∵图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到y＝﹣（x+1）2+6，
∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+5图象是由y＝﹣x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，因此该选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质以及平移的规律是解答本题的关键．
10．在平面直角坐标系中，对于抛物线y3x+4，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数y3x+4（x﹣2）2+1，a0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y（x﹣2）2+1
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（ ）
A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最小值3 D．最大值3
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），可得1＝4a+8+1，从而可得二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，进而可得该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3，最后可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+4x+1的图象经过点（2，1），
∴1＝4a+8+1．
∴a＝﹣2．
∴二次函数为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3．
∴该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数为y＝2（x﹣1）2﹣3．
∴新二次函数有最小值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝﹣（x+1）2+a图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的增减性解答即可．二次函数y＝﹣（x+1）2+a
【解答】解：由二次函数解析式可知：抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
A（﹣2，y1）距离对称轴1个单位长度，
B（1，y2）距离对称轴2个单位长度，
C（2，y3）距离对称轴3个单位长度，
根据距离对称轴越远函数值越小可知：y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
13．已知A（﹣2，m），B（3，n）是抛物线y＝x2﹣2x+k上的两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．m＞n B．m﹣n＝5 C．mn＞﹣7 D．m+n＞0
【分析】根据题意，用k分别表示出m和n，据此对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将A，B两点坐标代入y＝x2﹣2x+k得，
m＝k+8，n＝k+3，
则m﹣n＝k+8﹣（k+3）＝5＞0，
故AB选项不符合题意．
mn＝（k+8）（k+3）＝k2+11k+24＝（）27，
故C选项不符合题意．
因为m+n＝k+8+k+3＝k+11，
无法得出k+11的结果，
所以m+n不一定大于0．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，能用k分别表示出m和n是解题的关键．
二．解答题（共12小题）
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），且顶点到x轴距离为2．
（1）求函数表达式；
（2）若点P（m，n）在图象上，且n≥1，求m的取值范围．
【分析】（1）先由题意得出抛物线的顶点是（1，2）或（1，﹣2），再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解；
（2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时．
【解答】解：（1）由条件可设该二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2±2，
①当顶点为（1，2）时，解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵图象经过点（﹣1，0），
∴4a+2＝0，
解得，
∴；
②当顶点为（1，﹣2）时，解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵图象经过点（﹣1，0），
∴4a﹣2＝0，
解得，
∴函数表达式为；
故函数表达式为或．
（2）①当函数表达式为时，
n≥1即，
，
（m﹣1）2≤2，
解得；
②当函数表达式为时，
n≥1即，
解得或，
综上，当函数表达式为时，m的取值范围是；
当函数表达式为时，m的取值范围是或．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
15．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横纵坐标x，y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m …
y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 …
（1）这个二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x﹣4 ，对称轴是 直线x＝﹣1 ；
（2）表中的m＝ 3 ，n＝ ﹣12 ；
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且x1＜x2＜﹣1，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】（1）将表中数据代入二次函数解析式即可求得表达式，利用配方法把函数解析式表示成顶点式可得定点坐标；
（2）根据（1）函数解析式当x＝20代入求得n，当y＝﹣59时求得 m；
（3）确定函数的开口方向和对称轴，然后根据递减性以及 x1和x2的大小来比较y1和y2的大小．
【解答】解：（1）由题意，将 （﹣2，﹣4）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，
∴．
∴
∴y＝﹣x2﹣2x﹣4＝﹣（x+1）2﹣3，
∴对称轴为直线，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣4；直线x＝﹣1．
（2）由题意，∵y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴当x＝2时，n＝﹣12；
当y＝﹣19时，﹣19＝﹣m2﹣2m﹣4，解得：m＝3或﹣5（舍），
∴m＝3．
故答案为：m＝3；n＝﹣12．
（3）由题意，∵y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
∵对称轴是直线x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＜x2＜﹣1时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．已知某二次函数的图象的顶点为（1，﹣2），且过点（2，﹣5）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
（3）已知点P（0，yp），Q（﹣4，yQ）均在该抛物线上．请直接比较yP与yQ的大小关系．
【分析】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可．
（2）把x＝﹣1代入函数的解析式求得函数值即可判断．
（3）把x＝0及x＝﹣4分别代入函数的解析式求得函数值即可判断．
【解答】解：（1）由条件可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵它的图象过点（2，﹣5），
∴a（2﹣1）2﹣2＝﹣5，解得a＝﹣3，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
（2）点P（﹣1，9）不在这个二次函数的图象上．
理由：当x＝﹣1时，y＝﹣3（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣14≠9．
∴点P（﹣1，9）不在这个二次函数的图象上．
（3）当x＝0时，，
当x＝﹣4时，，
∵﹣5＞﹣77，
∴yP＞yQ．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴；
（2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论；
（3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
（2）∵y＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，
∴抛物线顶点坐标为1，a2﹣a﹣2，
∴a2﹣a﹣2＝0，
∴a＝2或﹣1，
①当a＝2时，y＝2x2﹣4x+2；
②当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x﹣1．
（3）由题意可得：
①当a＞0时，∵y1＜y2，∴﹣1＜m＜3；
②当a＜0时，∵y1＜y2，∴m＞3或m＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．已知二次函数x＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0）、（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的表达式；
（2）求顶点坐标及对称轴；
（3）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将（﹣3，0）、（2，﹣5）代入x＝ax2+bx+3，求解即可；
（2）将（1）所求一般式改为顶点式即可解答；
（3）令x＝﹣2，求出y的值，即可判断．
【解答】解：（1）将（﹣3，0）、（2，﹣5）代入x＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1；
（3）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
理由：∵当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数一般式改为顶点式，二次函数的性质，掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题关键．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a，b为常数）经过点（4，6）．
（1）用含a的代数式表示b，并求该抛物线的对称轴．
（2）当﹣2≤x≤0时，0≤y≤6，求抛物线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，已知点（t﹣1，y1），（5，y2），（2t，y3）在抛物线上，y1＞y2，求y3的取值范围．
【分析】（1）把点代入计算，根据对称轴的计算方法即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：当a＞0时，图象开口向上，当x＝﹣2时，y＝6，即4a+8a+6＝6；当a＜时，图象开口向下，当x＝﹣2时，y＝0，即4a+8a+6＝0；由此即可求解；
（3）根据题意得到抛物线的解析式，对称轴，图形开口，增减性，把x＝5代入得到y2的值，由此得到t﹣1的范围，由此即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：16a+4b+6＝6，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+6（a，b为常数），
∴对称轴直线为；
（2）当a＞0时，图象开口向上，
∵抛物线对称轴直线为x＝2，
∴当﹣2≤x≤0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝6，即4a+8a+6＝6，
解得a＝0（不符合题意，舍去）；
当a＜时，图象开口向下，当﹣2≤x≤0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y＝0，即4a+8a+6＝0，
∴，
∴；
（3）∵，对称轴直线为x＝2，图象开口向下，当x≤2时，y随x的增大而增大，当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴点（5，y2）关于对称轴直线对称的点为（﹣1，y2），
∵y1＞y2，
∴﹣1＜t﹣1＜5，
解得0＜t＜6，
∴0＜2t＜12，
∴当2t＝0时，y＝6，当2t＝2时，，当2t＝12时，，
∴﹣42＜y3≤8．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0）的经过点（2，﹣1），
（1）求二次函数解析式；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
【分析】（1）依据题意，把已知点的坐标代入y＝ax2﹣（3a+1）x+3求出a的值即可；
（2）依据题意，先利用配方法得到y＝（x﹣2）2﹣1，则x＝2时，y有最小值为﹣1，再分别计算出自变量为﹣1和3所对应的函数值，然后确定y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣（3a+1）x+3，
∴﹣1＝4a﹣2（3a+1）+3，
∴a＝1．
∴二次函数的解析式的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）由题意，结合（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣1，
又∵当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+3＝1+4+3＝8，
当x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0，
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围为﹣1≤y≤8．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n．
【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，y有最大值4，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4，
∴m＝4，n＝0，
∴m﹣n＝4﹣0＝4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象经过点A（0，3），B（2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出﹣1≤x≤2时，y的最大值．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入y＝ax2﹣2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2+2，则当x＝1时，y有最小值2，再分别计算出x＝﹣1和x＝2时的函数值，然后确定﹣1≤x≤2时，y的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，3），B（2，3）分别代入y＝ax2﹣2x+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，y有最小值2，
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+3＝1+2+3＝6，
当x＝2时，y＝x2﹣2x+3＝3，
∴﹣1≤x≤2时，y的范围为2≤y≤6，所以y的最大值为6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．如图，抛物线经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，如图，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则PQ＝﹣m2﹣3m，再根据三角形的面积公式得到S△PAC（﹣m2﹣3m）×3，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴S△PAC（﹣m2﹣3m）×3，
∵S△PAC（m）2，
∴当m时，S△PAC有最大值．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象和性质．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，P为直线AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求出点P的坐标．
【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）首先可得点E（2，﹣3），确定出直线AE解析式，过点P作PF∥y轴交AE于点F，设出点P的坐标，进而表示出点F的坐标，用三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可确定出最大值时，点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝2时，m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3），
设直线AE的解析为y＝kx+n（k≠0），
把A（﹣1，0），E（2，﹣3）分别代入y＝kx+n得：，
解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1．
过点P作PF∥y轴交AE于点F，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则F（t，﹣t﹣1），
∵P为直线AE下方抛物线上的点∴﹣1＜t＜2∵S△AEP＝S△APF+S△EPF，
∴
，
∴当时，S△AEP取得最大值，
∴．
【点评】此题考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，三角形面积的计算，二次函数的最值问题，熟练掌握和运用二次函数的最值问题的解决方法是解决本题的关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（，0）、B（，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）由题意设y＝a（x）（x﹣3），
代入C（0，3）得3＝﹣9a，
解得a，
∴y（x）（x﹣3）x2x+3；
∴抛物线的函数表达式为yx2x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC6，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析是为yx+3，
设点M的坐标为（a，a+3），
DM＝（a2a+3）﹣（a+3）a2a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，即，
解得，DEDM
∴DEa2a，
当a时，DE取最大值，最大值是．
【点评】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
三．填空题（共24小题）
26．已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，它的顶点坐标为（﹣2，1），则此抛物线的解析式 y＝﹣3（x+2）2+1 ．
【分析】由二次函数的图象的性质求出a，再用待定系数法即可求解．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝﹣3x2相同，
则a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣3（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣3（x+2）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质和待定系数法求函数的表达式，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
27．与抛物线y＝2x2+x﹣3的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是（1，2）的抛物线的函数表达式是 y＝﹣2（x﹣1）2+2 ．
【分析】根据题意得出所求抛物线的二次项系数为2，最后结合顶点坐标为（1，2）即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为所求抛物线与抛物线y＝2x2+x﹣3的形状相同，但开口方向不同，
所以所求抛物线的二次项系数为﹣2．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，2），
所以所求抛物线的函数表达式是y＝﹣2（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点坐标是 （﹣1，4） ．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案．
【解答】解：由条件可知，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式和抛物线的顶点坐标．熟练掌握该知识点是关键．
29．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点（﹣1，3），且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为 y＝3x2 ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2，代入点（﹣1，3），利用待定系数法求解即可．
【解答】解：根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵二次函数的图象经过点（﹣1，3），
∴a＝3，
∴这个二次函数的表达式为y＝3x2．
故答案为：y＝3x2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确设出抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
30．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），则该二次函数的表达式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ．
【分析】设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入可得a，从而可得答案．
【解答】解：由二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：﹣5＝9a+4，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点评】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
31．抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【分析】根据抛物线与x轴的交点，先设出抛物线的解析式，再把抛物线与y轴的交点代入解析式，求出a得结论．
【解答】解：设二次函数的解析数为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线经过（0，3），
∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3．
∴a＝1．
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
【点评】本题主要考查了二次函数，掌握待定系数法确定二次函数解析式是解决本题的关键．
32．把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝2（x）2 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣6x+1＝2（x2﹣3x）+1＝2（x）2，
故答案为：y＝2（x）2，
【点评】考查了二次函数的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
33．将二次函数yx2+3x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果是 y（x+3）2﹣7 ．
【分析】直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案．
【解答】解：yx2+3x
（x2+6x）
（x+3）2
（x+3）2﹣7．
故答案为：y（x+3）2﹣7．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键．
34．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，3）和（5，3），则它的对称轴为 直线x＝2 ．
【分析】根据抛物线的对称性进行计算，即可解答．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，3）和（5，3），
∴它的对称轴为：直线x2，
故答案为：直线x＝2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为 1或 ．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答．
【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3
＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3
＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3，
∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3），
把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得：
﹣3m2+5m+3＝3m+2，
整理得：3m2﹣2m﹣1＝0，
解得：m1＝1，m2，
故答案为：m的值为1或，
故答案为：1或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
36．如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝ 2 ．
【分析】求得A的坐标，即可求得OA＝m；由于四边形ABOC是正方形，那么△AOB必为等腰直角三角形，即可得到C（m，m），代入y＝﹣x2+m即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0），
∴A（0，m），
∵四边形ABOC是正方形，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴C（m，m），
∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过点C，
∴mm2+m，即m2m＝0，
∴m1＝2，m2＝0（舍去）；
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出C的坐标是解题的关键．
37．如图，正方形OABC的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线y＝ax2（a＜0）的图象经过点B，则a的值为 ．
【分析】根据正方形性质，通过AAS证明△FCO≌△EBC，得，FC＝BE＝2，得出点B的坐标，再代入y＝ax2（a＜0），即可作答．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥FC的延长线上：
∵四边形OABC是正方形，
∴∠FCO+∠BCE＝180°﹣∠OCB＝180°﹣90°＝90°，OC＝BC，
∵BE⊥FC，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠FCO＝∠CBE，
∵过点C作CF⊥y轴于点F，
∴∠CFO＝∠BEC，即△CFO≌△BEC（AAS），
则，FC＝BE＝2，．．
∵点B在第四象限，即点B的坐标为，把代入y＝ax2（a＜0），即，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
38．如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 ．
【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BDOB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∴BDOB＝1，
∴OD，
∴点B的坐标为（﹣1，），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，
∴a（﹣1）2，
解得a．
故答案为：．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后求出点B的坐标是解题的关键．
39．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形的边AB与EF同时落在x轴上．若正方形ABCD的边长为6，则正方形EFGH的边长为 33 ．
【分析】根据题意得出抛物线的解析式，进而表示出点G的坐标，再利用2OF＝GF，即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6．
∴顶点坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+6．
将点B代入得0＝9a+6．
解得a．
∴抛物线的解析式为：．
设点G的坐标为（m，）．
则2m．
整理得：m2+3m﹣9＝0．
解得，（不合题意舍去）．
∴正方形EFGH的边长为FG＝2m＝33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题的关键．
40．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则a+b+c的值是 ﹣2 ．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为x＝﹣1，然后求出（1，y）关于x＝﹣1的对称点坐标，即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由表格可知：（﹣2，﹣5）与（0，﹣5）是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为x＝﹣1，
设二次函数图象上的点为（1，y），（x，y），
由对称性可知：1，
∴x＝﹣3，
∴（1，y）与（﹣3，y）关于x＝﹣1对称，
由表格可知：x＝﹣3时，y＝﹣2，
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的特征，解题的关键是求出该二次函数的对称轴，本题属于中等题型．
41．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）．已知自变量x和函数值y的部分对应取值如下表所示：
x … ﹣2 0 1 2 3 …
y … ﹣5 3 4 3 0 …
则一元二次方程ax2+bx+8＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】由表格可得抛物线经过点（0，3），（3，0），（1，4），故利用待定系数法求出函数解析式，则原一元二次方程可化为﹣x2+2x+8＝0，再利用因式分解法求解．
【解答】解：把x＝0，y＝3，x＝3，y＝0，x＝1，y＝4代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴把a＝﹣1，b＝2代入一元二次方程ax2+bx+8＝0得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握解一元二次方程是解题的关键．
42．如表，已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当y＜10时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜5 ．
x …… ﹣1 0 1 2 3 4 …
y …… 10 5 2 1 2 5 …
【分析】在表格中分别取三点代入y＝ax2+bx+c，求出函数的解析式，再求解即可．
【解答】解：分别取x＝0，y＝5；x＝1，y＝2；x＝﹣1，y＝10，代入y＝ax2+bx+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣4x+5，
令y＝10，则x2﹣4x+5＝10，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜10时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
43．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x时，函数值为 0 ．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可知x5，从而可以得到当x时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴当x5时，此时函数值为0，
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数图象具有对称性解答．
44．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等．则当x＝2021时，函数值等于 ﹣3 ．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x＝2021对应函数值相等的自变量x的值，然后即可得到当x＝2021时的函数值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3，当x＝1与x＝2020时，函数值相等，
∴该函数的对称轴为直线x，
∴x＝2021和x2﹣2021＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴当x＝2021时，y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出该函数的对称轴．
45．已知二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取3x1+3x2时，函数值为 2022 ．
【分析】根据二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，可知0，即可得到x1+x2＝0，然后即可得到当x取3x1+3x2时，函数的值．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2+2022，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴0，
∴x1+x2＝0，
∴3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0，
∴当x取3x1+3x2时，函数值为y＝3×02+2022＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出3x1+3x2的值．
46．已知二次函数y＝mx2+nx+2024（m，n为常数，且m≠0），当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等，则当x＝2025时的函数值为 2024 ．
【分析】由当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等可得，即n＝﹣2025m，从而得出函数解析式为y＝mx2﹣2025mx+2024，继而即可求得x＝2025时的函数值．
【解答】解：∵当x＝5时的函数值与当x＝2020时的函数值相等，
∴二次函数图象的对称轴x，即n＝﹣2025m，
则二次函数的解析式为y＝mx2﹣2025mx+2024，
∴当x＝2025时，y＝20252m﹣20252m+2024＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到n＝﹣2025m是解题的关键．
47．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．若函数值y＜3，则自变量x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【分析】根据函数解析式可以得到该函数图象的对称轴，然后根据该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），即可得到当y＝3时，x＝0或4，从而可以写出当函数值y＜3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+k，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝2，
∵该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），
∴当y＝3时，x＝0或4，
∴当函数值y＜3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
48．如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 0＜x＜2 ．
【分析】根据函数图象经过（0，1），对称轴为直线x＝1，由函数的性质可以得出函数图象经过（2，1），结合函数图象得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，y＝1，
∵抛物线开口向上，
∴函数值y＜1，自变量x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是二次函数的性质和数形结合的思想的应用．
49．小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣2的图象如图所示，发现它关于点（1，﹣1）成中心对称，若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+ +y19+y20的值是 ﹣21 ．
【分析】根据题意得出y1+y2+y3+ y9+y11 +y19＝﹣20，进而转化为求y10，根据题意可得y10＝﹣1，即可求解．
【解答】解：由条件可知1，
∴y0+y1+y2+y3+ y9+y11 +y19+y20＝﹣20，
∴y0+y1+y2+y3+ +y19+y20＝﹣20+y10，
又∵A10（1，﹣1），即y10＝﹣1，
∴y0+y1+y2+y3+ +y19+y20＝﹣20+y10＝﹣20﹣1＝﹣21．
故答案为：﹣21．
【点评】本题主要考查了坐标规律、求函数值、中心对称的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
