实数及其运算
1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数.
2、实数的定义：有理数和无理数统称实数.
3、实数的分类：
①按定义分类：实数
②按大小分类：实数
③还可以这样分类：实数
4、实数与数轴上的点的关系：
（1）实数和数轴上的点一一对应。
（2）在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
例1：，，1.414 144 1，，6.171 771 777 1…(自左而右每两个1之间依次多一个7)，中，无理数有（ ）.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
例2：把下列各数写入相应的集合内：
，，，，，0.22，，.
（1）有理数集合：{ }；
（2）正实数集合：{ }；
（3）无理数集合：{ }；
（4）负实数集合：{ }；
例3：的相反数是 ，的绝对值是 .
实数比较大小的方法
（1）利用数轴比较大小
例：实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，其中绝对值最小的是（ ）.
A.a B.b C.c D.d
（2）比较被开方数法
例：下列各数中比3大比4小的实数是（ ）.
A. B. C. D.
（3）平方比较法
例：下列各实数比较大小，正确的是（ ）.
A. B. C. D.
（4）作差比较法
例：数学课上，老师出了一道题：比较与的大小.
小华的方法：因为，所以 2，所以 .（填“>”或“<”)
小英的方法：.因为，所以，所以 0，所以 0，所以 .（填“>”或“<”)
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较和.
（5）中间量比较法
例：比较4，，的大大小，正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
实数的运算
1、实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减.如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
2.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用.
3.用计算器进行实数的运算.
例1：计算下列各式，值最小的是（ ）.
A.x0+1-5 B.+0x1-5
C.+0-1×5 D.+0+1-5
例2：下列运算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
例3：已知，,且，则 .
例4：递等式计算:
① ②
③（，结果精确到0.01）
④
课后练习
1、下列各数为无理数的是（ ）.
A.0.618 B. C. D.
2、已知a=，b=2，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）.
A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a
3、数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（ ）.
A. B. C.或 D.
4、如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）.
A.点P B.点Q C.点R D.点S
5、正整数a，b分别满足，，则=（ ）.
A.4 B.8 C.9 D.16
6、请写出一个你喜欢的无理数 .
7、若，则= .
8、递等式计算：
① ②
③ ④
9、把，，，这4个数表示在数轴上，并用“>”连接起来.
10、如果一个正数的两个平方根是和.求：
（1）和这个正数的值.
（2）的立方根.认识有理数（二）
相反数
1、相反数的意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的数 互为相反数，也称这两个数互为相反数。
2、在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
3、0的相反数为0.
-1和+1有什么特点？
-1和+1互为相反数
例1：写出下列数的相反数
原数 7 0 -4.5 a -b nm a-b
相反数
例2：（1）3的相反数是 ；-(a+ 6)是 的相反数；-(+b)与 互为相反数。
若6-m的相反数是-3，则m= 。
例3 ：化简下列各数：
（1）+（-0.5）= （2）-（+10）=
（3）-[+（-5）]= （4） -{-[+（）]}=
（5）-[-（-a）]= （6） -{-[-（-1）]}=
绝对值
1、绝对值的意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。
例1：
（1）| 4 |表示 到 的距离，距离为 ，则| 4 |= 。
（2）|-π|表示 到 的距离，距离为 ，则|-π|= 。
（3）| 0 |表示 到 的距离，距离为 ，则| 0 |= 。
例2：化简下列各数：
（1）|-9|= （2） |-（-6）| = （3）|+（-2）| =
（4）-（-|-3|）= （5） -|-（+8）| = （6）|π|=
例3：（1）若x是-7的相反数，|y|=5，且y<0，x+y= 。
（2）若a为整数，且lal<2，那么a的值为 。
2、绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数绝对值相等。
a a>0
|a|= 0 a=0
-a a<0
示例：已知| a - 4 | + | b - 3 l = 0，求a，b的值。
解：∵|a - 4 |+ |b - 3| = 0
且|a - 4|≥0，|b - 3|≥0
∴ a - 4 = 0，b - 3 = 0
∴a = 4，b = 3
例4：（1）|x - y + 2|+|x - 3|+|z|=0，则x + y + z = 。
（2）|m - 2|+|n - 4|=0，则（m+n）= 。
有理数的大小比较
数轴：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
①正数大于负数；
比较法： ②两个正数比较大小，绝对值大的数大；
③两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
例1：有下列数：3.3、、-2、0、
比较这些数的大小，并用“<”号连接起来。
比较这些数的绝对值的大小，并将这些数的绝对值用“>”连接起来。
比较这些数的相反数的大小，并将这些数的相反数用“<”连接起来。
例2：有理数a，，b，c在数轴上的位置如图所示.
（1）化简：|a|= ，|b|= .
（2）将a，b，c，-a，-b，-c按从小到大的顺序用“<”号连接.
课后练习
1、用-a表示的数一定是（ ）
A: 负数 B: 正数或负数 C: 负整数 D: 以上全不对
2、若a，b互为相反数，则2（a + b）+3的值为（ ）
A: -1 B: 3 C: 0 D: 2
3、绝对值小于3.5的整数共有（ ）
A: 3个 B: 5个 C: 7个 D: 9个
4、若|x - y|+|y - 2|=0，则x+y等于（ ）
A: 4 B: -4 C: 2 D: -2
5、下列说法正确的是（ ）
A：一个有理数的绝对值一定大于它本身
B: 只有正数的绝对值等于它本身
C: 负数的绝对值是它的相反数
D: 一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数
6、已知a<0，b>0，|a|<|b|，则下列关系正确的是（ ）
A: b > -a > a > b B: -b > a > -a > b C: a > -b > -a > b D: -a > b > -b > a
7、计算：
（1）-||= （2）| - 5 | + | -2.49 |=
（3）| - 6.2 | - | - 3 |= （4）| | + | |=
（5）| - 6 | ÷ | - 3 |= （6）| - 4 | × | + 5 |=
（1）若|m - 2| + |n - 5|=0，则mn - m - n= ；
（2）式子4 + | x - 1 |能取得的最小值是 ，这时x= ；
（3）式子3 - |2 x - 1 |能取得的最大值是 ，这时x= ；
9、已知0 < a < 1，比较a，-a，-，，a，0，-1，1的大小（用“>”连接起来）
10、问题：比较 -| | 与的大小.
解：∵ -| | = ，①
| | = ，| | = ，②
= < = ，③
∴ < ,④
∴ -| | < .⑤
本题从 开始出现错误.
请按照上述方法比较 -| | 与的大小.代数式及运用
代数式
1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.
例1：在下列各式：①；②；③；④；⑤；
⑥中，代数式有 个.
2、代数式的书写规范：
①数字与字母相乘时：数字在前，字母在后；乘号改为·或省略.
②相同字母相乘时：写成幂的形式.
③除号改为分数线.
④数字为1或-1时，“1”省略.
⑤带分数改为假分数.
⑥有单位时，乘除运算直接加，加减运算添括号.
例2：将以下代数式改为规范的书写形式.
① ② ③
④厘米 ⑤ ⑥
3、代数式的读法：按运算结果读；注意运算顺序，先算先读，后算后读.
4、代数式的写法：先读先写，后读后写.
例3：下列关于代数式的读法中，正确的有（ ）.
①读作a与b的平方和；②读作x与y的差除以2；
③读作a与b的倒数和；④读作a和b的平方差.
A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
例4：用代数式表示：
①3与y的差的相反数 ； ②a与b的和的倒数 ；
③a的平方除以b的商 ；④x与4的差的 ；
⑤若k为整数，则能被4整除的数可以用k表示为 ；
列代数式解决实际问题
1、利润问题： ①售价=标价×折扣率
②利润=售价－成本
③利润率=×100%
2、几何问题：面积公式、体积公式…
3、行程问题：路程=速度×时间
4、工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
5、储蓄问题：①利息=本金×利率×期数
②本息和=本金＋利息
例1；根据题意列代数式填空：
某超市8月份营业额为m万元，9月份营业额比8月份增加了25%，该超市9月份营业额为 万元；
飞机的无风航速是a km/h，风速为20km/h，飞机顺风飞行4h，后又逆风飞行3h，顺风飞行了 km，逆风飞行了 km；
将长和宽分别是a、b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.用含a、b、x的代数式表示纸片剩余部分的面积为 .
例2：用字母表示的代数式是具有一般意义的，下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）.
A.若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B.若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C.某款运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利50%，则销售两双的销售额为3a元
D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
代数式的值
1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，计算后得出的结果，叫作代数式的值.
2、求代数式的值的步骤：
代入：代入时要注意：
①如果代数式中省略乘号，代人后必须添上乘号.
②如果字母给出的值是负数或分数，并作乘方或乘法运算，代入时都必须添上括号.
③代入数值时，要“对号入座”，谨防混淆.
④当题目按常规方法不能求解时，要充分利用“整体思想”将某一代数式作为一个整体，用“整体代入法”求解，解决此类问题的关键是确定合适的整体.
计算：计算时要注意运算顺序，同时考虑运用运算律简化运算.
例1：如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆.
（1）用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S；
（2）请求出当a=8，h=6，r=3时，S的值.（结果π取3）
例2：一种蔬菜x千克，不加工直接出售每千克可卖y元，如果经过加工重量减少了20%，价格增加了40%，问：
（1）x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱？
（2）如果这种蔬菜有1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.5元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？
课后练习
在式子，，，，，中，代数式有（ ）.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
某公司今年2月份的利润为x万元，3月份的利润比2月份减少8%，则该公司3月份的利润（单位：万元）为（ ）.
A. B. C. D.
代数式的意义是（ ）.
A.x除以y加3 B.y加3除以x
C.y与3的和除以x D.x除以y与3的和所得的商
下列说法错误的是（ ）.
A.代数式的值是唯一的
B.数0是一个代数式
C.代数式的值不一定是唯一的，取决于代数式中字母的取值
D.用代数式n+1表示人数时，n只能取自然数
当x分别等于1和-1时，代数式的两个值（ ）.
A.互为相反数 B.相等 C.互为倒数 D.异号
甲数是乙数的4倍少1，则下列说法：①设乙数为，则甲数为；②设甲数为，则乙数为；③设甲数为，则乙数为；④设甲数为，则乙数为，正确的是 .（填序号）
如果一个足球的价格为a元，那么3a可以表示3个足球的总价.类似地，请你赋予代数式4x+2y一个实际意义： .
当，时，求下列代数式的值.
（1）;（2）.
学校组织学生参加红色研学活动，共有m名教师与n名学生参加，学校咨询了甲、乙两家旅行社，两家旅行社给出了不同的报价.甲旅行社：教师全价，80元/人，学生半价，40元/人；乙旅行社：全部成员，六折优惠，即48元/人.两家旅行社提供的服务项目与服务质量均相同.
（1）用含m，n的代数式分别表示两家旅行社的收费.
（2）当m=20，n=500时，选择哪家旅行社更优惠？
（1）当，时，求两个代数式62与的值.
（2）当，时，再求以上两个代数式的值.
（3）你能从上面的计算结果中发现什么结论？
（4）利用你发现的结论，求的值.有理数的混合运算
1、有理数混合运算法则：
（1）先乘方、再乘除、最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；
2、有理数运算相关的两个性质：
（1）互为相反数的两个数的和为0；
（2）互为倒数的两个数的乘积为1；
3.有理数混合运算中常用的转化方法：
（1）减法转化为加法.
（2）除法转化为乘法.
（3）乘方转化为乘法.
例1：递等式计算：
① ②
③ ④
例2：一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费58元，通话时间不超过150分钟的部分免费，超过150分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方式B是每月收月租费88元，通话时间不超过350分钟的部分免费，超过350分钟的按每分钟0.20元加收通话费.
（1）若朵朵爸爸采用计费方法A一个月累计通话362分钟，则朵朵爸爸这个月所需的移动电话费用是多少？
（2）在（1）条件下所需的费用，若朵朵爸爸改用计费方法B，则比计费方法A多通话多少分钟？
4.有理数混合运算中要把握的运算技巧：
（1）归类组合法.
例：① ②
凑整法.
例：① ②
拆项法.
例：阅读下面的计算过程，体会“拆项法”.
计算：.
解：原式=
（1）观察发现：=（ ）+（ ）
（2）启发应用：用上面的方法计算：
.
（4）裂项法.
例：观察下列各式：
.
①请仿照上面各式的结构写出：= ;
②= .（n为整数且n≥1)
运用以上方法计算：.
巧用分配律（提取公因数）.
例：① ②
课后练习
1、用2，0，2，4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（ ）.
A.2-0×2+4 B.2-0+2×4 C.2×0+2-4 D.2+0-2×4
2、定义新运算“※”如下：对于任意有理数a和b，规定a※b=b-ab,如1※3=3-1×3=6,则（-3）※（-2）的值为（ ）.
A.2 B.-2 C.6 D.-6
3、如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若b+d=
0，则a×（b+c）的值是（ ）.
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不能确定
4、如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行计算），输出的结果为（ ）.
A.1840 B.1921 C.1949 D.2021
5、若（，则计算的结果是（ ）.
- 130 B.130 C.-290 D.290
递等式计算
① ②
③ ②
7、已知m，n互为相反数，且m≠n，p，q互为倒数，数轴上表示数a的点与原点的距离恰好为6个单位长度，求的值.
8、有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的千克数记为正数，不足15千克的千克数记为负数，称重记录如下：
与标准质量的差（单位：千克） -0.5 -0.4 -0.2 0 +0.2 +0.3 +0.6
箱数 2 1 5 2 4 2 4
（1）最重的一箱比最轻的一箱多多少千克？
（2）求这20箱苹果的总质量.
（3）若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有10%的苹果腐烂无法出售，则售完这20箱苹果能盈利多少元？
已知a，b是有理数，定义一种新运算，例，根据以上运算规律完成下列各题：
.
.
已知| x | = 2，| y | = 7.
若x > 0，y > 0，求x - y的值.
若x×y < 0，求x + y的值.
求x×y - x×y+21的值.认识平方根和立方根
平方根
1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记为“”，读作“正、负根号a”.
例1:①±2的平方等于 ，所以 是4的平方根，可以表示为 ;
② 的平方等于16，所以 是 的平方根，可以表示为 ;
③±表示 的平方根，±= ；
④±表示 的平方根，±= ；
2、平方根的特性：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0；负数没有平方根.
开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根.
例2：①25的平方根是 ；17的平方根是 ；
②±7是 的平方根；-8是 的负平方根；
③±是 的平方根；的平方根是 ；
例3：下列说法中正确的是（ ）
A.任何数的平方根都有两个
B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根的平方仍是这个数
D.a 的平方根是a
例4：一个正数的两个平方根分别是x+1和x-5，则（x+1）+（x-5）的值等于 .
算术平方根
1、定义：正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0.一个数a（a≥0）的算术平方根记做“”，读做“根号a”.
2、算术平方根具有双重非负性：
（1）被开方数是非负数，即a≥0.
（2）算术平方根的本身是非负数，即a≥0.
例1：①36的算术平方根是 ；7的算术平方根是 ；
②的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；
③（-5） 的平方根是 ，算术平方根是 ；
例2：下列计算正确的有（ ）个.
① = 0.5；② = 2；③ = 6；
④= - 4；⑤ = 5；
A.1 B.2 C.3 D.4
3、平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：（1）个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个，且也是正数；
（2）表示方法不同：正数a的平方根为土a，正数a的算术平方根为√a.要特别注意：±≠(a>0).
联系:（1）平方根中包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；
（2）平方根和算术平方根都只有非负数才有；
（3）0的平方根和0的算术平方根都是0.
立方根
1、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根（也叫作a的三次方根），记作，读作“三次根号a”.
2、求一个数的立方根的运算，叫作开立方，开立方与立方互为逆运算.
3、立方根的特性：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
例1：①因为2 = 8，所以8的立方根是 ，即 = 2；
②因为 = 0.064，所以0.064的立方根是 ，即 = ;
③因为 = 0，所以0的立方根为 ，即 = 0；
例2：平方根等于本身的数是 ；立方根等于本身的数是 .
课后练习
化简的结果是（ ）.
- 4 B.4 C.±4 D.2
2、一个正整数的算术平方根为a，则比这个正整数大3的数的算术平方根是（ ）.
A.a+3 B.a+ C. D.
3、面积为9的正方形，其边长等于（ ）.
A.9的平方根 B.9的算术平方根
C.9的立方根 D.的算术平方根
4、下列结论正确的是（ ）.
A.64的立方根是±4 B.没有立方根
C.若，则a=1 D.
5、若有理数x，y满足，则等于 .
6、一个正方形的面积变为原来的9倍，它的边长变为原来边长的 .
7、如果一个正数x的两个平方根分别是2a - 3和5 - a，那么x的值是 .
8、若a，b互为相反数，c为8的立方根，则2a + 2b - c = .
已知x - 2的平方根是±2，2x + y + 7的立方根是3，则x + y 的算术平方根是 .
已知| x - 1 | = 3，y = 25，且xy < 0，求x + y的立方根.2.1有理数的加减
有理数的加法
1、同号相加：取与加数相同的符号，并把绝对值相加 ；
用字母表示为：
若a > 0，b > 0，则（+ a）+（+ b）= + （|a| + |b|）> 0；
若a < 0，b < 0，则（- a）+（- b）= -（|a| + |b|）< 0；
例1：计算：
①（+ 12）+（+ 5）= ②（- 3.7）+ （- 5.5）=
③ +（）= ④
2、异号相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
用字母表示为：
若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b = +（|a|-|b|）> 0.
若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b = -（|b|-|a|）< 0.
例2：计算
①（+25）+（-15）= ②（-3.6）+ 6 =
③ ④（+2.5）+（）=
3、互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数；
用字母表示为：
若a > 0，b < 0，且|a|=|b|，则a+b=0.
a + 0 = a.
例3：计算
①25 +（- 25）= ②（- 2.5）+ =
③0 + （- 1.5）= ④（）+0=
重要提示:
1.一个有理数由符号和绝对值两部分组成，因此在进行两个有理数的任何一种运算时，应先确定结果的符号，再计算结果的绝对值.
2.在有理数运算中，“+”和“-”的含义：
（1）仅表示运算符号：加号或减号；
（2）仅表示性质符号：正号或负号；
（3）既可以看做运算符号，也可以看做性质符号；
3.利用数轴表示有理数的加法运算，一般以原点为起点，规定向右的方向为正方向，向左的方向为负方向，负数表示向左移动，正数表示向右移动；
例4：下列说法中，错误的是（ ）.
①符号不同的两个数互为相反数；
②所有的有理数都能用数轴上的点表示；
③绝对值等于它本身的数是正数；
④两数相加的和一定大于任何一个加数；
⑤有理数可分为正数和负数.
A.①②③⑤ B.③④ C.①③④⑤ D.①④⑤
例5：如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q.若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）.
p B. n C. m D. q
例6：已知|x - 4|与|y + 5|互为相反数，求x + y的值.
加法运算律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.
公式表示：a + b = b + a.
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
公式表示：（a + b）+ c = a +（b + c）.
有理数加法运算技巧：①互为相反数先加；
②优先凑整，同分母先加；
③同号先加；
例1：递等式计算：
①53 +（- 31.4）+（- 8.6） ② - 2.6 + + +（- 10）
有理数减法
1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
用字母表示为：a - b = a +（- b）
有理数减法的运算步骤：
①将减号变成加号，把减数变成他的相反数；
②按照加法运算的步骤完成
例1：计算
①5 -（- 6）= ②（- 2.5）- 0.5 = ③（）-（）=
④|| - ||= ⑤| - 7 - 2 | = ⑥0 - 4=
例2：已知|a|=5，|b|=7.
当a，b同号，求a + b的值.
当a，b异号，求a - b的值.
列示计算
和是-2，一个加数是5，求另一个加数.
- 4与 - 3的相反数的差.
加减混合运算
1、引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。
例如：a+b-c=a+b+（-c)
2、加减法混合运算步骤：
①遇减化加；
②运用加法交换律和结合律，简化运算；
③求出结果；
例1：计算：
①5 +（- 1）+（- 4）= ② - 7 -（- 8）-（）-（- 9）+（- 10）+=
③（+ 8）+（- 10）-（-1）-|-3|= ④（- 3）+ |- 0.75| -（-0.25）+ || + =
例2：某村把冬枣作为扶贫项目，并且在成熟季节召开了冬枣订货会.王阿姨在订货会上订了10箱冬枣，每箱冬枣以10kg为基准，多出来的记做正数，不足的记做负数，10箱冬枣的称重如下表所示：
箱号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
称重 （kg） 0.5 -0.2 0.1 0.3 -0.4 0.4 -0.1 -0.2 0.2 0.1
如果不足9.7kg的为不标准箱，请问这10箱都够标准箱么？如果有不够的是哪几箱？与最低标准差多少？
这10箱冬枣的总质量是多少？
课后练习
计算30 +（- 10）的值为（ ）.
A.20 B.-20 C.40 D.-40
气温由- 3℃上升了4℃时的气温是（ ）.
A.-1℃ B.1℃ C.-9℃ D. 9 ℃
如果有两个数的和为正数，那么这两个数（ ）.
都是正数 B.都是负数 C.一正一负 D.至少有一个为正数
4、把6 -（+ 3）-（- 7）+（- 2）写成省略加号和括号的形式，正确的是（ ）.
A. - 6 + 3 - 7 -2 B.6 + 3 - 7 -2 C. 6 - 3 + 7 -2 D.6 - 3 - 7 -2
5、甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）.
甲:11 +（- 14）+ 19 +（- 6）=11 + 19 + [（- 14）+（- 6）] = 10.
乙：（）-（）+（）=[（）+（）] +（）=.
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确
6、递等式计算.
- 17 -（- 7）（）+（）.
- ||-（）-（-2.75）.
|| -（- 1）- | - 1| -（）.
7、若| x |= 11，|y|= 14，|z|= 20，且|x + y|= x + y，|y + z|= -（y + z），则x + y + z的值为 .
8、若有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则|a + b| - |a - c| + |b + c|= .
9、一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正，返回记为负，他的记录如下（单位：米)：+ 5，- 3，+ 10，- 8，- 6，+ 12，- 10.
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）守门员全部练习结束后，共跑了多少米？
（3）在练习过程中，守门员离球门线的最远距离是多少米？
10、观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据上述等式的规律，写出第5个等式：
；
（2）探究并计算：= .等式与方程
等式的基本性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数，所得结果仍相等.
（如果，那么）
等式的性质2：等式两边同乘同一个数（或除以同一个不为0的数，结果仍相等）
（如果，那么；如果，那么 ）
等式的其他性质：
对称性:若,则.如解方程时，若得到,则根据等式的对称性，可以得到.
传递性：若，则.
例1：根据等式的性质填空.
①若，则 .
②若，则 .
③若，则.
④若，则 .
例2：下列利用等式的性质，错误的是（ ）.
A.由，得到 B.由，得到
C.由，得到 D.由，得到
例3：利用等式的性质解下列方程：
① ②
③ ④3
例4：下面是小明解方程的过程：
解： ，①
，②
.③
（1）第①步的依据是 .
（2）小明出错的步骤是 ，错误的原因是 .
（3）给出正确的解法.
一元一次方程
方程的定义：含有未知数的等式，如：.
（未知数可以用表示，也可以用其他数字表示.）
一元一次方程的概念：如果方程中只含有1个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
例1：判断下列式子是不是一元一次方程.
①（ ） ②（ ）
③（ ） ④（ ）
⑤（ ） ⑥ （ ）
例2：下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①；②；③；
④；⑤；⑥.
一元二次方程的解：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做方程的根.
例3：已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）.
A.1 B. C. D.-2
例4：若，则下列等式中不正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
例5：整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应
的整式值，则关于x的方程的解为（ ）.
x -2 -1 0 1 2
4 0 -4 -8 -12
A.x=-2 B.x=-1 C.x=0 D.x=2
列简单的一元一次方程
列方程就是把实际问题中的相等关系用方程的形式表示出来.列方程的一般步骤如下：
（1）审题，分析实际问题中的相等关系，找出已知量和未知量；
（2）恰当地设出未知数x，并把涉及相等关系的量用x表示出来；
（3）利用相等关系列出方程.
例6：我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿
子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，其
大意为现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果
将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么索和竿各为几尺？设竿
为x尺，可列方程为 .（1托为5尺)
课后练习
下列方程中是一元一次方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
已知七年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则（ ）.
A. B.
C. D.
已知，则下列等式中不一定成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
将方程的两边同除以，得，其错误的原因是（ ）.
A.方程本身是错的 B.方程无解
C.两边同除以0 D.小于
已知关于x的方程（a+3）x+6=0是一元一次方程，则a的值为（ ）.
A.3 B.-3 C.±3 D.±2
利用等式的性质解下列方程：
① ②
③ ④
(1)请写出一个解为x=5的一元一次方程： .
(2)在x=3和x=-6中， 是方程的解.
(3)甲、乙两班学生共105人，甲班比乙班多3人.设甲班有x人，则可列方程为 .
在等式的两边同时减去一个多项式可以得到等式，则这个多项式是 .
已知方程是关于x的一元一次方程.
（1）求m的值.
（2）写出关于x的一元一次方程.
某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产12%，第二车间10月份比9月份减产24%，若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生产了多少个零件？整式
单项式
单项式：由数与字母或字母与字母相乘的代数式叫作单项式.
数字x字母 2x，a
字母×字母 vt，a
数字×数字 666，-100
单项式的系数和次数：
（ 如：的系数是，次数是2；的系数是，次数是3.）
例1：有下列式子：
①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦.
其中，为单项式的是 （填序号）.
例2：下列说法中正确的是（ ）.
A.单项式a的系数是0，次数也是0
B.单项式的系数是-3，次数是1
C.单项式-的系数是-3，次数是9
D.单项式-的系数是-5，次数是4
例3：若单项式 与的次数相同，则k= .
多项式
多项式：几个单项式的和.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，一个多项式有几项，就称做几项式.
在多项式中，不含字母的项叫做常数项.
在多项式中，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数.
例1：已知多项式，补全下面表格：
项 （一共 项）
三次项 一次项
项的次数 1 0
该多项式的次数为 ，命名为 次 项式.
例2：已知多项式 .
①该多项式是 次 项式；
②把这个多项式按照a的次数由低到高排列（a的升幂）：
③把这个多项式按照b的次数由高到低排列（b的降幂）：
例3： ①若代数式是关于x、y的五次二项式，则a= .
①若代数式是关于x、y的三次多项式，则mn= .
整式:单项式和多项式统称为整式
例1：把下列代数式的序号填在相应的横线上.
①；②；③；④，⑤；⑥；⑦；（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
例2：已知关于x的整式.
（1）若是二次式，求k的值；
（2）若是二项式，求k的值.
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项.
（如：与，与）
所有数字都是同类项.
例1：下列选项不是同类项的是（ ）.
A.-1和0 B.-4xy z和-4x yz
C.-x y和2yx D.-a 和4a
例2：如果单项式与是同类项，那么a、b的值分别为（ ）.
A.a=1，b=3 B.a=1，b=2
C.a=2，b=3 D.a=2，b=2
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
合并同类项步骤： ①找：找到同类项确定系数；
②挪：将同类项放在一起；
③合并：合并系数相加减.
例1：①（ + ）m = m；
②（ ）= ；
③（ ）= ；
例2：合并同类项：
; （2）.
课后练习
在代数式，，，，-1，中，单项式共有（ ）.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
在代数式，，t，，中，多项式有（ ）.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
下列说法中，不正确的是（ ）.
A.的系数是-1,次数是4
B.是整式
C.的项是，，1
D.是三次二项式
下列各组中的两项，不是同类项的是（ ）.
A.与 B.-2.5与| -2 |
C.与 D.m 与2m
下列各选项中合并同类项正确的是（ ）.
A B.
C. D.
请写出一个只含有a，b两个字母的单项式，要求系数为2，次数为3，这个单项式可以是 .
已知是关于a，b的五次单项式，则m的值为 .
当x = 1，y = -1时，关于x，y的二次三项式的值为0，那么当，时，式子的值为 .
已知多项式化简后的结果中不含项.
（1）求m的值；
（2）求代数式的值.
李老师给同学们出了这样一道题：当，时，求的值.小明说：“老师给的a，b的值是多余的.”小华说：“不给这两个值就求不出结果，所以不是多余的.”你认为谁的说法正确？请说明理由.角与角的计算
认识角
角的概念：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，如图.起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边.
特殊角：如果终边继续旋转，旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角.
角的表示方法：用符号“∠”表示，读作“角”，通常有以下几种表示角的方法：
（1）用三个大写字母表示
在这种表示方法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序，如图①中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC.
（2）用一个大写字母表示
在这种表示方法中，表示角的大写字母必须是表示角的顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角.如图②中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示.
（3）用一个数字表示
用数字表示角时，要在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上数字，如图②中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD（∠FCD）也可以表示∠2.
（4）用一个小写希腊字母（如α，β，y)表示
这种方法与用数字表示角的方法类似，也是在角的内部顶点附近加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母，如图③中的∠AOB也可以表示为∠α
角的度量单位为：度（°）、分（′）、秒（″）.
1°=60′，1′=60″，1°=360″.
例1：给出下列说法：①两条射线所组成的图形叫作角；②一条射线旋转而成的图形叫作角；③两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角；④角是一条射线绕它的端点旋转形成的图形.其中，正确的有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠0三种方法表示同一角的图形是（ ）.
A. B.C. D.
例3：上午8:30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）.
A.67.5° B.70° C.75° D.80°
例4：若∠α=5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）.
A.5°12′ B.5°7′12″ C.5°7′2″ D.5°10′2″
例5：若∠α=42°24′，∠β=15.3°，则∠α与∠β的和等于 .
角的大小比较
叠合法：把要比较的两个角的顶点和一条边重合，另一条边位于重合边的同一侧，再比较另一条边的位置.
度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小.
观察法：通过观察直接比较两个角的大小.(平角＞钝角＞直角＞锐角)
例1：比较15.30°，15°30′，15.03°的大小，正确的是（ ）.
A.15.30°>15°30′>15.03°
B.15°30′>15.30°>15.03°
C.15.30°>15.03°>15°30′
无法比较
例2：如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下式错的（ ）.
A. ∠AOB<∠AOD B. ∠BOC<∠AOB
C. ∠COD<∠AOD D. ∠AOB<∠AOC
角的和差
角的和差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差.两个角的和或差仍一个角.
角的平分线的概念:从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
例1：如图，若∠BOC：∠AOC=1：2，∠AOB=63°，且OC在∠AOB的内部，则∠AOC=（ ）.
A.78° B.42° C.39° D.21°
例2：如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角.下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是（ ）.
A.18° B.55° C.63° D.117°
例3：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE=128°，则∠BOD= 度.
例4：已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°,则∠BOC= .
余角和补角
概念：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.
方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角.
例1：已知∠α=25°30'，则它的余角为（ ）.
A.25°30′ B.64°30′ C.74°30′ D.15430′
例2：若α=70°，则α的补角的度数是（ ）.
A.130° B.110° C.30° D.20°
例3：如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，那么下列说法错误的是（ ）.
A.∠1与∠2相等 B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOD与∠1互补 D.∠AOE与∠COD互余
例4：A，B，C三个城的位置如图所示，A在C的南偏西30°方向上，且∠ACB=145°,则B在C的 方向上.
课后练习
如图，下列说法错误的是（ ）.
A.∠AOB也可用∠O来表示
B.∠β与∠BOC是同一个角
C.图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D.∠1与∠AOB是同一个角
如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α=∠β的图形有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（ ）.
A.北偏东65°，北偏西40°
B.北偏东65°，北偏西50°
C.北偏东25°，北偏西40°
D.北偏东35°，北偏西50°
如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°，则图中互补的角的对数是（ ）.
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
如图所示，已知∠AOB=90°，BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（ ）.
A.30° B.45° C.60° D.75°
某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了 分钟.
分别记以下三个时刻2:30，5：40，9:00的时针和分针所成角的大小为α,β，γ，请比较α,β,γ的大小： .（用“<”号连接)
已知∠A与∠B互补，且∠A比∠B的3倍少40°,那么∠A= °.
计算：
(1)131°28′-51°32′15″ (2)58°38′27″+47°42′40″
如图，已知∠AOB内部有三条射线OC，OD，OE，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD.
（1)若∠AOB=100°,求∠EOC的度数.
（2)若∠AOB=70°，将题中“平分”的条件改为
∠EOA=∠AOD，∠DOC=∠DOB且 ∠DOE：∠DOC=3：2，
求∠EOC的度数.一元一次方程的解法
合并同类项
合并同类项：将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的形式.
系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程变形为的形式.
例：解方程：
① ②
移项
一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项.
移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于等号左右两边.以便为下一步合并同类项创造条件.
移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边.
移项法解一元一次方程的步骤
①移项；②合并同类项；③系数化为1.
例如，解方程：
移项得： 移项要变号
合并同类项得：
系数化为1得：
例1：若与互为相反数，则x的值为 .
例2：解方程：
① ②
去括号
解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号.
去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是乘法对加法的分配律.
去括号解一元一次方程的步骤：
①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1.
例1：填空：
① ② ③
例2：已知方程的解是正数，则最小整数a是 .
例3：解方程：
① ②
去分母
去分母.：在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数),使方程中不含分母.
去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数系数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程.
对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程.
例1：①去分母时，等号两边同时乘 得 ，去分母得.
② 去分母时，等号两边同时乘 得 ，去分母得.
③去分母，等号两边同时乘 得 ，
去分母得 .
例2：解下列方程：
① ②
列一元一次方程解应用题完整步骤：①审：找出等量关系.
②设：直接设元和间接设元.
③列：根据等量关系，列方程.
④解：解方程.
⑤验：方程的解要符合实际情况.
⑥答：作答.
例1：如表是学习一元一次方程应用时老师板书的问题和两名同学所列的方程：
（1）小明同学所列的方程中的x表示 ，相等关系为 ；小红同学所列的方程中的y表示 ，相等关系为 ；
（2）两个方程任选一个回答老师的问题.
例2：如图，日历中，任意圈出一列上下相邻的三个数，其中某列上下相邻的三个数之和是60，这三个数各是多少？
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
课后练习
若关于x的方程无解,则（ ）.
A.-5 B.0 C. D..
若关于x的一元一次方程的解为,则关于y的一元一次方程的解为（ ）.
A. B. C. D.y=
在书架上摆放着三层书，第三层比第二层的书的3倍多2本，第一层比第二层的2倍少3本，第一层比第三层的一半多19本，则第三层上摆放着（ ）本书.
A.46 B.89 C.138 D.140
一根竹竿插入池塘中，插入池塘淤泥中的部分占全长的，水中部分是淤泥中部分的2倍少1米，露出水面的竹竿长2米.设竹竿的长度为x米，则可列出方程（ ）.
A. B.
C. D.
已知m为非负整数，若关于x的方程的解为整数，则m的值为 .
若关于x的方程的解和关于x的方程的解相同，则两方程共同的解是 .
解方程：
①5 ②
③ ④
阅读下列解题过程，解答问题.
解方程：.
解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解的.所以原方程的解是或.
（1）解方程：.
（2）解关于x的方程：.
某市第一中学七.1班开展社会实践活动，李红、王亚、刘丽三位同学在同一时间分别调查了高峰时段该市的二环路、三环路、四环路某一路口的车流量（每小时通过观测点的汽车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
李红说：二环路车流量为每小时1万辆；
王亚说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆；
刘丽说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍；
请根据他们所提供的信息，列出一元一次方程求出高峰时段三环路、四环路该路口的车流量各是多少.
小明在对方程去分母时，方程左边的1没有乘6，因而求得的解是x=4，试求a的值，并求出方程的正确解.一元一次方程的应用
和差倍分问题
常见的相等关系： 较大量=较小量十多余量；
总量=一份的量×倍数；
各分量相加=总量.
数量关系可利用画图分析.
例1：《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每大出9钱，会多出11.钱；每人出6钱，又差16钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）.
A B.
C. D.
例2：三个正整数的比是1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是 .
例3：七年级师生计划冬游观景.若单独租用50座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可少租一辆，也正好坐满
（1）求参加冬游观景的师生总人数.
（2）景区门票的购买与客车的租赁联合促销：租一辆50座的客车的费用为1600元，租一辆60座的客车的费用为2500元，门票原价为20元/位.若租50座的客车，则门票打6折；若租60座的客车，则免门票，请问单独租用哪种客车更划算？为什么？
工程问题
基本关系式：工作量=工作效率×工作时间.
当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，可以把总工作量看作“1”，此时工作效率=，工作时间=.
常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
例1：一项工作，甲单独做需9天完成，乙单独做需12天完成，如果两人合作几天后，余下的工作再由甲单独做2天完成，则甲、乙两人合作了 天.
例2：一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成，由乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲乙两工程队合作完成.
（1）剩下的部分还需要几天完成？（列方程解答）
（2）若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲、乙两工程队各得多少万元？
等积（长）变形问题
“等体积变形”相关的数量关系是：
①长方体的体积公式V=长×宽×高=abc（体积=长×宽×高）
②正方体的体积公式V=（体积=边长 ）
③圆柱体的体积公式（体积=底面积×高）
④圆锥体的体积公式（体积=×底面积×高）
“等周长变形”相关的数量关系是：
①长方体的周长公式C=长×宽=ab（周长=长×宽）
②正方体的周长公式C= （周长=边长 ）
③圆的周长公式（周长=2××半径）
例1：一个长方形的周长是40cm，若将长减少8 cm,宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为 .
例2：有一段钢材可作一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
例3：有一个不完整的圆柱形玻璃密封容器（如图（1）），测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干，按图（2）方式放置时，测得液面高度为h；按图（3）方式放置时，测得液面高度为h，则该圆柱形玻璃密封容器的容积（圆柱体体积=底面积×高）是（ ）.
A. B. C. D.
调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后A处的数量与B处的数量间的关系.
劳力调配问题要搞清人数的变化.
常见题型有 （1）既有调入又有调出；
只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
例1：某校组织七年级（1）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，其中甲队人数是乙队人数的2倍，后因劳动需要，从甲队抽调16人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲队原来有 人.
例2：某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人人数的3倍多4人.
（1）求调入多少名工人；
（2）每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
行程问题
基本关系式：路程=速度×时间.
直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离.
直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始距离差.；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程.
环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，相等关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间为；第n次相遇时，二者合走了n圈.
环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，相等关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间为；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈.
其他行程问题：
（1）航行问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水速；逆水速度 = 静水速度 - 水速.
（2）火车过桥问题：①从车头刚上桥到车尾离开桥：过桥速度×过桥时间=桥长+车长；②火车过桥全路程-桥长=车长.
例1：某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用50s，而整个火车在桥上的时间是30s，则火车的速度为 .
例2：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙速度的倍.
（1）如果甲、乙两人在跑道上相距50米处同时反向出发，那么经过多少秒两人第二次相遇？
（2）如果甲在乙的前50米处，两人同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？第二次相遇呢？
销售问题
相等关系：①利润=售价-进价；②利润率=×100%；③售价=进价×（1+利用率）
打折：n折就是标价的，其中n叫折数.实际售价=标价×.
例1：甲、乙两家水果店以相同的进价购买相同多苹果，标价都为进价的2倍，随后按照各自的方式进行促销售卖，甲店按照标价买2千克送1千克(3千克打包售卖)，乙店按照标价的6折售卖.若两家店都以促销方式刚好卖完，且他们的利润相差了200元，则每家店购买这批苹果花了 元.
例2：某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下：
（1）降价前每件衬衫的利润率为多少？
（2）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
课后练习
一队学生去校外参加劳动，以4km/h的速度步行前往，走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员以14 km/h的速度按原路追上去，则通讯员追上学生队所需的时间是（ ）.
A.10 min B.11 min C.12 min D.13 min
某年亚运会组委会组织高校学生去做志愿者，已知去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人.现调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍.设应调往乒乓球赛场x人，则可列方程为（ ）.
A. B.
C. D.
一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成.甲乙合作2小时，完成了这项工程的 ，余下的由甲单独做，还要 小时完成.
某人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第三天走的路程为 里.
水结成冰，体积会增加10%，现有一块冰，体积是5500立方分米，融化成水后体积减少了 立方分米.
星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
\
如图的正方形纸片剪去一个宽为2cm的长3cm条后，再从剩下的纸片中剪去一个宽为3cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形边长是多少厘米？
平价商场经销甲乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元
（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙 种商品利润率为 .
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价恰好为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件.
（3）在元旦期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
小于等于480元 不优惠
超过480元，但不超过680元 超过480元的部分给予6折优惠
超过680元 按购物总额给予7.5折优惠
若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件.
甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，相遇后经0.1小时乙到达A地.问甲、乙两人的速度分别是多少.
分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系.
从图中可得如下的相等关系，甲行驶0.4小时的路程=乙行驶0.1小时的路程，甲行驶0.4小时的路程+14.4=乙行驶0.4小时的路程.根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程.
【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题.
【能力提升】对于上题，若乙出发0.2小时后行驶速度减少10千米/时，问甲出发后经多少小时两人相距2千米？
根据以下素材，探索完成任务.
如何设计宣传牌
素材1 如图（1）是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字. （1）中间可以用来设计的部分也是长方形且长是宽的1.55倍. （2）四周空白部分的宽度相等.
素材2 如图（2），为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等
素材3 如图（3），每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2
问题解决
任务1 分析数量关系 设宣传牌四周空白部分宽度为cm，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽.
任务2 确定四周宽度 求出四周空白部分宽度的值
任务3 确定栏目大小 （1）求每个栏目的水平宽度. （2）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距.几何图形及线段初步
几何图形
几何图形分为立体图形（各个部分不在同一平面内）和平面图形（各个部分都在同一平面内）.
图形的基本要素：点、线、面.
点、线、面、体之间的关系：包围着几何体的是面，面与面相交形成线，线与线相交形成点.点动成线，线动成面，面动成体.
例1：下列现象说明“线动成面”的是（ ）.
A.旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B.扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C.天空划过一道流星
D.汽车雨刷器在挡风玻璃上面划出的痕迹
例2：图中第一行的图形绕轴旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线对应连起来.
认识直线、射线、线段
两点确定一条直线.两点之间，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离.
直线 射线 线段
图形
端点个数 0 1 2
能否度量 不能 不能 能
图例
表示方法 （1）用直线上任意两点的大写字母表示 （2）用一个小写字母表示 用射线的端点和射线上另一点的大写字母表示（端点字母在前） （2）用一个小写字母表示 （1）用线段的两个端点的大写字母表示 （2）用一个小写字母表示
读作 直线AB或直线BA或直线 射线AB或射线 线段AB或线段BA或线段
例1：如图，下列几何语句不正确的是（ ）.
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线OA与射线AB是同一条射线
D.线段AB与线段BA是同一条线段
例2：下列说法中正确的有（ ）个.
①一条直线长12米；②直线比射线长；
③线段是直线的一部分；④小明画了一条长4厘米的射线，
A.1 B.2 C.3 D.4
例3：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）.
A.两点之间，射线最短 B.两点确定一条直线
C.两点之间，直线最短 D.两点之间，线段最短
例4：如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 .
尺规作图
线 延长线 反向延长线
线段AB
射线AB 无
直线AB 无 无
（1）延长线段AB：从端点A到端点B的方向延长.
（2）反向延长线段AB：从端点B到端点A的方向延长.
（3）直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是错误的.
例1：如图，点C是线段AB外一点，按下列语句画图：
（1）画射线CB；
（2）反向延长线段AB；
（3）连接AC：
用圆规比较线段AB、线段CD的长短
作法：①用圆规量出线段AB的长度.
②使点A与点C重合，当点B落在C、D之间，那么ABCD.
用尺规作图作一条已知线段.
作法：①作射线AM
②用圆规量出已知线段a的长度
③在射线AM上截取AB=a
用尺规作图作AC=a+b
作法：①作射线AM
②在射线AM上顺次截取AB=a，BC=b
③线段AC为所求
用尺规作图作AC=a-b
作法：①作射线AM
②在射线AM上截取AB=a
③在线段AB上截取BC=b，线段AC为所求
例2：如图，已知平面内两点A、B.用尺规按下列要求作图，并保留作图痕迹：
①连接AB；
②在线段AB的延长线上取点C，使BC=AB；
③在线段BA的延长线上取点D，使AD=AC，
例3：如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段c，使.
（保留作图痕迹，不写作法）
简单线段计算
线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差，两条线段的和或差仍是一条线段.
线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点.如图，若点O是线段AB的中点，则有AO=BO=；反之也成立，即若点0为线段AB上一点，且满足AO=BO=，那么点O是线段AB的中点.
线段的n等分点：若线段上的（n-1)个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n-1)个点为这条线段的n等分点.
点和线段的位置关系：点在线段上（包括端点）或点在线段外，也可以说成线段经过点或线段不经过点.
例1：在直线上顺次取A，B，C三点，且线段AB=5cm，BC=3cm，那么A，C两点间的距离是（ ）.
A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.无法确定
例2：如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA=8，DB=6，则CD的长为（ ）.
A.1 B.2 C. D.
例3：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且AB：BC：CD=2：3：5，线段BC=6.
（1）求线段AB,CD的长.
（2）若在直线上存在一点M使得AM=2，求线段DM的长
课后练习
下面几种图形：①三角形；②长方体；③正方形；④圆；5圆锥；圆柱，其中立体图形有（ ）.
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
观察下图，请把如图图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来（ ）.
A. B. C. D.
下列说法中正确的个数是（ ）.
①线段AB和射线AB都是直线AB的一部分；②直线AB和直线BA是同一条直线；③射线AB和射线BA是同一条射线；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线.
A.1 B.2 C.3 D.4
如图所示：C、D是线段AB上两点，若AB=10cm，BC=7cm，C为AD中点，则BD=（ ）.
A.3.5cm B.6cm C.4cm D.3cm
已知点A，B，C在同一条直线上，则下列等式中，一定能判断C是线段AB的中点的是（ ）.
A.AC=BC B.BC=AB C.AB=2AC D.AC+BC=AB
在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m - n|.已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a - c| = |b - c| = |d - a| = 2(a≠b)，则线段BD的长度为 .
直线AB上有两点C，D.点C在A,B之间，满足CA=3CB，CD=CA，若AB=20，则BD= .
如图，C是线段AB上一点，AB=20cm，BC=8cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为点B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为点A.已知点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为ts.
（1） AC = cm.
（2）当t = 时，点P，Q重合.
小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为6cm、8cm和10cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到一个几何体.则该几何体的体积为 cm.（锥体体积=×底面积×高）
如图，有长为a、b的两条线段，请用尺规作图作出下列长度的线段（保留作图痕迹）：
（1）b-a；（2）a+b.整式的加减
去括号法则
去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号，即“变则全变，不变全不变”.如，.
依据：分配律.
多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
例1：去括号：
① = ；
②= ；
③ = ；
④ = ；
⑤ = ；
例2：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 .
例3：若代数式的值与x的取值无关，则 .
整式的加减
整式加减的一般步骤：
如果有括号，那么先去括号，有多重括号时，一般从里到外，依次进行也可以由外向里逐层去括号，但这时要把内层括号当成一项处理.
如果有同类项，要合并同类项.
例1：化简下列各式：
(4)
例2：一个多项式加上得，则这个多项式是（ ）.
A. B.
C. D.
例3：一位同学做一道题：已知两个多项式A，B，计算2A+B.他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为.已知，则正确的答案是 .
整式的化简求值：先将式子先化简，再代入数值计算.
例1：先化简，再求值：，其中.
例2：化简求值：，其中.
例3：已知与是同类项，求的值.
整式加减的简单应用
例：老师设计了一个数学试验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有化为最简的代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片上的代数式未知.
(1)若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；
(2)若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式，且相减的结果为常数项，求m的值；
(3)当m=1时，丙同学卡片上的代数式减甲同学卡片上的代数式等于乙同学卡片上的代数式，求丙同学卡片上的代数式.
甲 乙 丙
课后练习
化简的结果是（ ）.
A. B.
C. D.
计算与的差，结果正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
下列计算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
若，则的值等于（ ）.
A.5 B.1 C.-1 D.-5
如果，，那么M与N的大小关系是（ ）.
A.M>N B.M化简下列各式：
(2)
(3)
(4)
先化简,再求值：,其中.
已知, 的值.
已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是5.求代数式的值.
已知O、★、△分别代表1~9中的三个自然数.
如果用★△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数△★，若★△与△★的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是
如果在一个两位数★△前插入一个数O后得到一个三位数O★△，设★△代表的两位数为x,O代表的数为y，则三位数O★△用含x，y的式子可表示为
设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边组成一个五位数m，再把b放在a的左边组成一个新五位数n.试探索：m-n能否被9整除？并说明你的理由.有理数的乘除
有理数的乘法
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘，都得0.
乘积是1的两个数互为倒数.
0没有倒数，互为倒数的两数同号.
例1：计算.
①（- 3）× 9 = ②（- 0.36）×（-）=
③（-）×（-）= ④（-）×0×（- 3）=
⑤- 1 -（-）×（-）= ⑥ （- 5）×（- 8）×（- 10）×（-15）=
例2：写出下列各数的倒数
a - 12 1 0 -0.25
a的倒数
例3：（1）若ab=6,则a+b的值为：①正数，②负数，③0.你认为结果可能是 ；（填序号）
（2）若a+b=-5，且a，b为整数，则ab的最大值为 ；
（3）数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，若ab<0,试比较a+b与0的大小；
乘法运算律
1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即a×b = b×a.
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，
即（a×b）×c =a×（b×c）.
乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，
即a×（b + c） =a×b + a×c.
例1：递等式计算.
①（）×（- 24） ② - 45×（）
③（- 8）×9×（-1.25）×（） ④（- 421）×（） - 0.25×（）- 28.5×25%
例2：几个不为0的数相乘，负因数的个数是 时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数.
例3：在 - 5，- 3，- 1，0，2，4，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 .
例4：在计算（）×（）时，小明是这样做的
（）×（）=×┈┈┈┈（第一步）
= 3×8┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（第二步）
= 24.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（第三步）
他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？把它改正过来.
有理数的除法
有理数除法法则：
①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.
字母表示：a ÷ b = a×（b≠0）.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
③0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例1：计算.
①（- 54）÷（- 9）= ② ÷（- 6）= ③（- 2.5）÷（-）=
④0 ÷（）= ⑤（- 2.2）÷ 5 = ⑥ - ÷ =
例2：递等式计算.
① ②
例3：某同学在计算 - 16÷a时，误将“÷”看成“＋”，结果时 - 12，则 - 16÷a的正确结果是 .
课后练习
1、计算.
①6 ×（- 2）= ②（）×（）= ③0 ÷（）=
④100 ×（- 0.01）= ⑤（）÷（）= ⑥ - 0.3 ÷ =
2、有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A.a+b>0 B.ab>0 C.b-a>0 D.|b| - |a|>0
若（- 12）×5 = p，则（- 12）×6的值可表示为（ ）.
A.p - 1 B.p - 12 C.p + 12 D.p
下列结论：①若a为有理数，则a> 0；②若有理数a，b满足a+ 6= 0，则a + b = 0；③若a + b = 0，则= -1，其中正确的结论有（ ）.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
对于有理数x，y，若<0，则的值是（ ）.
A.-3 B.-1 C.1 D.3
6、若a，b互为相反数，a + 1的倒数是，则b的值为 .
7、定义：ab =（- 2）×a×3×b，请利用此定义计算：（12）（- 3）= .
递等式计算.
①（）×（）×（） ②（）×（）×（）×
③35×（）×（） ④（）×（）×（）×
⑤ ⑥
⑦ ⑧
9、学习了有理数的乘法后，老师给了同学们这样一道题目：计算：×（- 5），看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：
小时：原式 = ；
小军：原式= ；
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）你还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来.
（3）用你认为最好的方法计算：.
10、 （1）三个有理数a，b，c满足abc>0，求的值.
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且= -1，求的值.有理数的乘方
有理数的乘方
2 × 2 × 2 × ··· × 2 = 2
63个2
一般地，n个相同因数a相乘，即a × a × a × ··· × a 记作 a，读作“a的n次
n个a
次方”.求n个相同的乘数的积的运算，叫作乘方．乘方的结果叫作幂。当a看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”.
例1：完成下列表格：
算式 2×2×2 （-3）×（-3） ××× -1×1×1
乘方
底数
指数
例2：计算下列各式，观察结果，你发现幂的正负与指数有什么关系？
； ； ； ；
； ； ； ；
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乘方运算是一种特殊的乘法运算，即因数相同的乘法运算，因此乘方运算通常要转化成乘法运算来完成.方运算与乘除运算一样，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
3.对于加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，要先进行括号里面的运算.
例3：计算.
① ② ③
④ ⑤ ⑥
例4：在，，，，中，负数有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例5：下列各组中的两位数，运算后的结果相等的是（ ）.
A.与 B.与 C.与 D.与
科学计数法
科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中|a|大于或等于1，且|a|小于10，n是正整数）.
2、一般地，10的n次幂，在1的后面有n个0.
例1、用科学记数法表示下列各数：
①1000000 = ； ②6.5万 = ；
③- 960000000 = ； ④409万 = ；
例2：某市举办马拉松邀请赛，大赛组委会精心设计了42.195千米的马拉松赛道.数据42.195千米用科学记数法表示为（ ）.
A.4.2195×10米 B.421.95×10米
C.4.2195×10米 D.0.42195×10米
近似数
准确数：与实际完全符合的数.
近似数：与实际接近的数.
一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.近似数中后面的0不能省略不写，如3.78与3.780是不同的，因为它们的精确度不同.对同一个数取不同的近似数，精确度不同.
例1：586300用科学记数法表示为 ，2.70×10精确到 位，43600精确到千位是 .
例2：一粒米，许多同学都认为微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重11.07g.现在请你来计算（可用计算器)：
反思
（1）我国人口按14亿计，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克（结果精确到千位）？
假若我们把一年节约的大米卖成钱，按25元/千克计算，可卖得多少元（结果精确到百万位）？
（3）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？
经过以上计算，你有何感想和建议？
课后练习
1、表示（ ）.
A.5与（-2）的积 B.5个（-2）相乘的积
C.2个（-5）相乘的积 D.5个（-2）相加的和
2、某种细胞开始分裂时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂
成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（ ）.
A.1023 B.1024 C.1025 D.1026
3、某星系中的恒星大约有1.2×10颗，1.2×10是一个（ ）.
A.11位数 B.12位数 C.13位数 D.14位数
4、下列每个问题中的两个数，都是准确数的是（ ）.
A.小明花10元钱买了2千克香蕉
B.小亮体重65千克，身高1.72米
C.买5个铅球，共重15千克
D.某教学楼共有5层，每层的楼梯都是22级
5、近似数3.14×10精确到（ ）.
A.百分位 B.个位 C.十位 D.百位
6、观察下列等式：，，，，，，┉，
根据其中的规律可得的结果的个位数字是 .
7、已知a，b，c，d，e表示5个不同的正整数，满足，其中e>1，则a+b+c+d+e的最大值是 .
8、阅读下列各式：，，┉.据此计算：
.
.
.
9、小宁觉得像0 . 000 005 7这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法后，发现0 . 000 005 7 = ，所以发明了一种“类科学记数法”，即将0 . 000 005 7写成5.7 ÷ 10.
（1）将下列各数用“类科学记数法”表示：0 . 02 = ；0 . 000 407 = ;
（2）若一个数0 . 0 035用“类科学记数法”表示为3.5 ÷ 10，则原数中“0”的个数为 .
（3）比较大小：9 ÷ 10 1 ÷ 10，0 . 000 106 9 . 8 ÷ 10；
（4）纳米是长度度量单位.1纳米 = 1 ÷ 10米，一种病毒的平均直径为200纳米.200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 米.
10、小亮与小明讨论有关近似数的问题：
小亮：如果把3 498精确到千位，可得到3×10.
小明：不，我的想法是先把3 498精确到百位为3.5×10，接着再把3.5×10用四舍五入法精确到千位，得到4×10.
你怎样评价小亮与小明的说法？第一讲 认识有理数（一）
一、正数和负数
把大于0的数叫做正数，如：123，，π等。把另一种与之意义相反的数叫做负数，用正数前加上负号“-”表示，如：-456，，-0.3等。其中0既不是正数也不是负数。
例1：以下具有相反意义的量是（ ）.
向东20米和向北10米 B、收入20元和支出50元
上升10米和后退10米 D、支付50元 和找回15元
例2：把下列各数填入相应的括号里。
3.14 ，-4 ，0 ， ，9
正数：（ ）
负数：（ ）
非负正数：（ ）
例3：（1）转动转盘，如果沿顺时针方向转了4圈记作＋4，那么沿逆时针方向转了6圈记作（ ）。
一种零件的长度在图纸上是（10)米，表示这种零件加工时最大不超过（ ）米，最小不小于（ ）米。
认识有理数
1、整数和分数统称为有理数。
分数常见的表现形式：①两个整数之比，如：，；
②有限小数，如：3.14 ，-0.2；
③无限循环小数，如：2.3 ，0.123
2、有理数的分类
3、“四非”
例1：把下面的有理数填入它们属于的括号内：
-12，，19%，50，-3.12，-11，-5%，6.3，2022 ，-π
正有理数：( );
正整数：( );
负有理数：( );
负整数：( );
例2：在有理数-3，0，，，3.7，-2.5中，非负数的个数为（ ）.
A、2 B、3 C、4 D、5
三、数轴
1、数轴的意义：
规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。
2、数轴的画法（一般步骤）：
（1）确定原点：画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点O作为原点，表示数0；
（2）确定正方向：规定直线的一个方向(一般取从左到右的方向)为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；
（3）确定单位长度：选取适当的长度为单位长度，单位长度的大小可以根据不同的需要选择，然后在原点两侧依次标上对应的数值；
3.相反数：
（1）代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
（2）在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.
（3）0的相反数是0.
例1：如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A、-1 B、-1.5 C、-3 D、-4.2
例2：如图，数轴上表示互为相反数的两个点是（ ）
A、点A与点B B、 点A与点D C、点C与点B D、点C与点D
例3：下列说法正确的有（ ）
①数轴上的点只能表示整数；
②数轴上的点所表示的数都是有理数；
③一a不一定是负数；
④符号相反的两个数互为相反数.
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例4：在数轴上，点A表示-2，从点A出发，沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，到达点B，则点B表示的数为（）
A、1 B、1或-5 C、-5 D、以上都不对
课后练习
1、在下列各组中，表示互为相反意义的量的是（ ）.
A.收入20元与支出30元 B.上升了6m和后退了7mx
C.卖出10kg米和盈利10元 D.向东走30m和向北走30mx
2、下面关于“零”的说法中，错误的是（ ）.
A.是整数，也是有理数 B.既不是正整数，也不是负整数
C.是整数，也是自然数 D.既不是自然数，也不是有理数
3、有下列各数，3.3，-3.14，，+4，-1，等.其中整数有a个，负数有b个，则a+b的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4、这组数中：0.66666，0，，，0.080080008····，2.7其中是有理数的有（ ）.
A. 4个 B.5个 C.6个 D.7个
5、在下列四个同学所画的数轴中，正确的是（ ）.
A. B.
D.
6、在数轴上表示下列各数：0，，1.6，-2，，+3并用 “<”号连接.
7、在数轴上，点A表示的数是-4，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则
点B表示的数是 .
8、把下列各数填在相应的横线上：一5， 6.5，π，10%，-1.123，，， 0
整数：
负数：
非负数：
负分数：
正有理数：
非正整数：
9、在数轴上，表示-2.5和4的点之间（包括这两个点）有 个点表示的数是整数，它们表示的
数分别是 ，其中负整数有 个。
10、如图，数轴的单位长度为1.
如果点A，C表示的两个数互为相反数，那么点A，B，C，D，E所表示的数分别是多少？
（2）如果点D，B表示的两个数互为相反数，那么点A，B，C，D，E所表示的数分别是多少？
