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二次函数 单元过关检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知(2，5)、 (4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是（ ）
A．x= B．x=2 C．x=4 D．x=3
3．若将抛物线 的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．
4．如果二次函数 的图像如图所示，那么一次函数 的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
5．若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A．或3 B．或2 C．或或3 D．或或2
6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．或
7．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
8．有一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数.则下列结论正确的是( ).
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
9．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数 的图象与两坐标轴共有2个交点，则 ．
12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若0＞x2＞x1，则y1 y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）.
13．二次函数 的图象的顶点在坐标轴上，则 的值为 .
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点，则a﹣c＝ .
15．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是
16．若函数y＝x2＋3x＋c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高干52元．销售期间发现，当销售单价定为41元时，每天可售300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）填空：y与x之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围是____________．
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
18．某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
19．为了落实国务院“三农”优惠政策，最近，市委市政府出台了一系列优惠措施，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元
20．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？
21．小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为．请解答下列问题：
（1）另一个正方形的边长为 cm（用含x的代数式表示）；
（2）要使这两个正方形的面积之和等于，小军应怎么剪？
（3）小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为．”他的说法符合题意吗？请说明理由．
22．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题.
（1）当销售单价定位每千克35元时，销售量为 ，月销售利润为 ；
（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，应涨价多少；
（3）设涨价了x元，月销售利润为y元，请求出y与x的函数关系式，商店想使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少.请算出最大利润值.
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
24．已知抛物线 和 ，其中 且 ．
（1）抛物线 的对称轴是 ，抛物线 的对称轴是 ；
（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线 与x轴的位置关系；
（3）设抛物线 的顶点为M， 的顶点为N；
①当m为何值时，点M与点N关于直线 对称？
②是否存在实数m，使得 ？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线 的顶点为 ，抛物线 与直线 交于点 ．
（1） ， （分别用含 的式子表示）； 与 的函数关系式为 ；
（2）求点 的纵坐标 （用含 的式子表示），并求 的最大值；
（3）随 的变化，抛物线 会在直角坐标系中移动，求顶点 在 轴与 之间移动（含 轴与 ）的路径的长．
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二次函数 单元过关检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，这是二次函数的图象，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．已知(2，5)、 (4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是（ ）
A．x= B．x=2 C．x=4 D．x=3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵A（2、5），B（4、5）两点纵坐标相等，
∴对称轴x= =3.
故答案为：D.
【分析】A（2、5），B（4、5）两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数.
3．若将抛物线 的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 先向右平移1个单位可得到抛物线 ；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 先向下平移2个单位可得到抛物线 ．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
4．如果二次函数 的图像如图所示，那么一次函数 的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【解析】【解答】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．
故答案为：B．
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
5．若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A．或3 B．或2 C．或或3 D．或或2
【答案】D
6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．或
【答案】D
7．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，就可得出平移后的函数表达式。
8．有一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数.则下列结论正确的是( ).
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】【解答】解：设原数为n，则新数为
它们的差为 ，
当n的50时，y有最大值25，
故答案为：D，
【分析】设原数为n，则新数为 差为 ，根据二次函数的性质逐一判断即可.
9．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为 ，
故答案为：B
【分析】 先求出 的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.
10．已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为，
∴1．
∴．
∴点和，
∴抛物线的解析式为．
联立，
∴①，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，
即时，最小值为2．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出点A和点B的坐标，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，最后计算求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数 的图象与两坐标轴共有2个交点，则 ．
【答案】0或4
【解析】【解答】在二次函数y＝x2＋4x＋c中，当x＝0时，y＝c，函数与y轴一定有一个交点．
当二次函数经过原点时，c＝0；
当二次函数不经过原点时，二次函数与x轴只有一个交点，则△＝16 4c＝0，
解得c＝4．
故答案是：0或4．
【分析】二次函数与y轴一定有一个交点，然后分成与y轴的交点是原点和不是原点，两种情况进行讨论求解．
12．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若0＞x2＞x1，则y1 y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）.
【答案】＞
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x＝1.
＜ y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，且0＞x2＞x1，
∴y1＞y2.
故答案为：＞.
【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝1，根据二次函数的图象性质：若0＞x2＞x1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，由此得出答案即可．
13．二次函数 的图象的顶点在坐标轴上，则 的值为 .
【答案】1或 或0
【解析】【解答】解：当图象的顶点在x轴上时，
∵二次函数y=x2+2mx+1的图象的顶点在x轴上，
∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，
∴m=±1.
当图象的顶点在y轴上时，m=0，
故答案为：1或 1或0.
【分析】根据抛物线的顶点在抛物线上可得b2-4ac=0，把a、b、c的值代入等式可得关于m的方程，解方程可求解.
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点，则a﹣c＝ .
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x＝ ＝1，
即﹣ ＝1，
解得：b＝2，
即y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+2x+c，
把（﹣1，a）代入得：a＝﹣1﹣2+c，
即a﹣c＝﹣3，
故答案为：﹣3.
【分析】根据已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点求出抛物线的对称轴，求出b的值，再把点（﹣1，a）代入，即可求出答案.
15．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是
【答案】-2【解析】【解答】解：看图象可知，当 -20，
故答案为： -2【分析】 函数值y＞0时， 只要找出图象在x轴上方时自变量x的范围即可.
16．若函数y＝x2＋3x＋c的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数y＝x2＋3x＋c的对称轴为，且开口向上，
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），距离对称轴的距离依次为：，，，
∴，
故答案为：.
【分析】利用函数解析式可求出抛物线的对称轴及开口向上，根据抛物线的性质可知，函数图象上的点距离对称轴的水平距离越远，函数值越大，从而比较三个点的横坐标的大小，可得到y1，y2，y3的大小关系.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高干52元．销售期间发现，当销售单价定为41元时，每天可售300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）填空：y与x之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围是____________．
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大．最大利润是2280元
18．某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．
（1）若纪念品在成本价的基础上经过两次涨价，售价为67.5元，求这两次平均增长率为多少？
（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？
（3）物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
【答案】（1）
（2）当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元
（3）50
19．为了落实国务院“三农”优惠政策，最近，市委市政府出台了一系列优惠措施，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元
【答案】（1）解：w=(x -20)y=(x -20) (-2x +80 )
=—2x2+120x -1600
.：w与x的函数关系式为：w=―2X2+120x -1600
（2）解：w=-2x2+120x -1600=-2(x-30)2+200
∵2<0，∴当x=30时，w有最大值，W最大值为200。
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元。
（3）解：当w=150时，可得方程-2(x-30)2+200=150 .
解得x1=25，x2=35， 不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元。
【解析】【分析】(1)根据利润=每千克利润×数量，列出函数关系式即可；
(2)先配方，根据二次函数的性质求出最大值即可；
(3)根据利润等于150元，列出一元二次方程求解，结合销售价不得高于28元/千克，即可解答.
20．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？
【答案】（1）每件服装应降价20元；
（2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元．
21．小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为．请解答下列问题：
（1）另一个正方形的边长为 cm（用含x的代数式表示）；
（2）要使这两个正方形的面积之和等于，小军应怎么剪？
（3）小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为．”他的说法符合题意吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
解得或
故这两个正方形的周长分别为：cm或cm；
（3）解：这两个正方形的面积之和为，即
当x=5时，两个正方形的面积和最小为50，
故小华的说法是正确的．
【解析】【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为：，
故答案为：（）；
【分析】（1）根据题意设其中一个正方形的边长为x cm，即可得出另一个正方形的边长；
（2）由题意列出方程，解之即可；
（3）根据题意设出这两个正方形的面积之和为，列出方程，解之即可得出两个正方形的面积和最小值。
22．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，解答以下问题.
（1）当销售单价定位每千克35元时，销售量为 ，月销售利润为 ；
（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，应涨价多少；
（3）设涨价了x元，月销售利润为y元，请求出y与x的函数关系式，商店想使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少.请算出最大利润值.
【答案】（1）450kg；6750元
（2）解：设涨价了x元，则，
则（30+x-20）（500-10x）=8000，
解得：x1=10，x2=30，
由于水产品销售量不超过6000÷20=300（kg）
当x1=10时，销售量=500-10×10=400kg＞300kg，舍去，
当x2=30时，销售量=500-10×30=200kg＜300kg，符合题意．
答：要使月销售利润达到8000元，应涨价10元；
（3）解：设涨价了x元，则，
∵y=（30+x-20）（500-10x）= ，
∴当x=20时，y取得最大值，为9000元，
答：销售单价定为50元/千克，能获得最大利润为9000元．
【解析】【解答】解：（1）销售量：500-（35-30）×10=450（kg）；
销售利润：450×（35-20）=450×15=6750（元）；
【分析】（1）根据题意直接计算得出即可；（2）根据利润=销售量×（售价-成本）列方程（30+x-20）（500-10x）=8000，解方程后要检验是否符合题意（销售成本不超过6000元）；（3）根据利润=销售量×（售价-成本）列出函数解析式y=（30+x-20）（500-10x），再配方得y= ，即可求解．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【答案】（1）解：∵矩形ABCD，
∴CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴DG=BE，DH=BC
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，由AE＝AH＝CG＝CF，可推出DG=BE，DH=BC，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG；然后根据阴影部分的面积=矩形ABCD的面积减去4个直角三角形的面积，可得到S与x的函数解析式.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出S的最大值及x的值.
24．已知抛物线 和 ，其中 且 ．
（1）抛物线 的对称轴是 ，抛物线 的对称轴是 ；
（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线 与x轴的位置关系；
（3）设抛物线 的顶点为M， 的顶点为N；
①当m为何值时，点M与点N关于直线 对称？
②是否存在实数m，使得 ？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线 ；直线
（2）解：令 ，
整理得： ．
∵ ，
∴ ，
解得： ， ．
∵点 在点 的左侧
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∵E，F两点纵坐标相同
∴ 轴．
（3）解：①当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ．
∵直线 ，且点 与 关于直线 对称，
抛物线 开口向上，故点 在直线 的下方，
∴ ，
解得： ．
②3或
【解析】【解答】解：（1）抛物线 的对称轴是 ，
抛物线 的对称轴是 ；
故答案为：直线 ，直线 ；
（3）②∵ ，
∴
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴
∵
∴
∴ 或
解得， 或
∴存在实数 ，使得 ，此时 或 ．
【分析】（1）利用二次函数对称轴的公式求解即可；
（2）根据题意联立方程，再解出方程的解，即可得到点E、F的坐标，即可证明EF//x轴；
（3）①将x=2分别代入y1和y2，即可得到点M、N的坐标，再证明即可；②根据题意结合图形直接求解即可。
25．如图，抛物线 的顶点为 ，抛物线 与直线 交于点 ．
（1） ， （分别用含 的式子表示）； 与 的函数关系式为 ；
（2）求点 的纵坐标 （用含 的式子表示），并求 的最大值；
（3）随 的变化，抛物线 会在直角坐标系中移动，求顶点 在 轴与 之间移动（含 轴与 ）的路径的长．
【答案】（1）m；m+3；
（2）解：∵抛物线 与直线 交于点 ，
∴把 代入 ，
得 ．
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ．
（3）解：∵点 在 轴与 之间沿直线 运动，
如图，设直线 与 轴和直线 分别交于点 和点 ，
线段 的长即为点 路径长．
把 ， 代入 得点 ，点 ，
过点 作 轴，垂足为M，
则 ，
在 中，
，
∴点 路径长为 ．
【解析】【解答】解：（1） ，
，
将 代入 可得，
，
故答案为：m，m+3， ．
【分析】（1）由配方法可得答案；
（2）求出，由二次函数的性质得出答案；
（3）设直线 与 轴和直线 分别交于点 和点 ，线段 的长即为点 路径长．求出B和P1的坐标，由两点之间的距离公式可得出答案。
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