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第3章 圆的基本性质 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是外接圆的直径，于点E，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等
B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦，所对的弧相等
4．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
5．下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）
①如图1，在圆上任取三个点A，B，C，分别作弦AB，BC的垂直平分线，交点O即为圆心；②如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，连结AB，BC，作∠ABC的平分线交圆于点D，作弦BD的垂直平分线交BD于点O，点O即为圆心；③如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，交点O即为圆心．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
8．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△EDC，点A落在点E处，点B落在点D处．若DE∥BC，则在旋转过程中，点A经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，且∠BAC＝60°，若AB＝12，则图中阴影部分图形的面积为（ ）
A．12π B．3 +12π C．9 +12π D．9 +6π
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 （结果保留）．
12．如图所示，圆O 与△OAB 的边AB 相切，切点为 B.将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O'落在圆O 上，边 A'B 交线段AO 于点C.若 ，则∠OCB= °.
13．某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，根据数据绘制的不完整统计图如图所示，图中工人部分所对应的圆心角为 .
14．在平面直角坐标系中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，则m的最小值为 .
15．若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是 ．
16．已知 ，以 为一边作正方形 ，使 两点落在直线 的两侧.则 最大时 的大小是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图（1），当点E在BC边的中点位置时，通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是 ；
（2）如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE＝EM．小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：在BA上取一点H使AH＝CE，连接EH，要证AE＝EM，只需证△AHE≌△ECM．
想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF．（易证∠BCF+∠BCA+ACM＝180°，∴M，C，F三点在同一直线上）要证AE＝EM，只需证△MEF为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE＝EM，只需证四边形MCFE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE＝EM．（一种方法即可）
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E， 且DE=DC，BE=4，OE = 2.
（1）∠AOC= .
（2）求证：直线CD是⊙O的切线.
（3）求图中阴影部分的面积.。
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．
（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；
（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．
20．如图，在平面坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90°得到点C．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．
21．如图，AB是的直径，点C，D是上的点，AC分别与BD，OD相交于点E，P．且．
（1）求证：：
（2）若，求的直径．
22．如图，点E是正方形 的边 上一点，点F是正方形 的边 的延长线上一点，连接 ，且 绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与 重合．
（1）请你连结 ，判定 的形状，并说明理由；
（2）若正方形 的周长为24， ，求点B到 的距离．
23．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是上一点，OA与BC交于点E，已知AO = 8，BC = 12.
（1）求线段OD的长.
（2）当EO = BE时，求ED，EO的长.
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4 ，BE＝4，求⊙O的半径．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，10），点B（m，0），且m＞0，把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACD，点O，B旋转后的对应点分别为点C，D.
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的代数式表示S，并直接写出m的取值范围；
②当S＝12时，请直接写出点B的坐标.
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第3章 圆的基本性质 单元精选测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．如图，是外接圆的直径，于点E，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．下列各项命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的弦，所对的圆周角相等
B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
D．相等的弦，所对的弧相等
【答案】C
4．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
5．下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）
①如图1，在圆上任取三个点A，B，C，分别作弦AB，BC的垂直平分线，交点O即为圆心；②如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，连结AB，BC，作∠ABC的平分线交圆于点D，作弦BD的垂直平分线交BD于点O，点O即为圆心；③如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，交点O即为圆心．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】 解：∵ 如图1， 弦AB，BC的垂直平分线，交点O，
∴OA=OB=OC
∴点O就是过点A、B、C三点的圆的圆心，故①能确定圆心O；
∵ 如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点，
∴AB=CB
∵∠ABC的角平分线交圆O于点D
∴BD垂直平分AC
∴BD是直径，
∵ 弦BD的垂直平分线交BD于点O
∴点O是圆心，故②能确定圆心；
∵ 如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，
两角平分线的交点O不能证明是圆心，故③不能确定点O是圆心；
故答案为：A.
【分析】利用线段垂直平分线的性质，易证OA=OB=OC，根据三角形外接圆的定义证得点O是圆心，可对①作出判断；由作图可知AB=CD，再由∠ABC的角平分线交圆O于点D，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得BD垂直平分AC，利用垂径定理可知BD是直径，然后根据 弦BD的垂直平分线交BD于点O ，可确定点O时是圆心，可对②作出判断；根据图3的作图不能证明点O是圆心，可对③作出判断，综上所述可得出结论。
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48° B．96° C．114° D．132°
【答案】B
7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，，
点D在线段的延长线上，.
故答案为：B.
【分析】根据旋转得，再根据内角和性质求 .
8．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
．
故答案为：B
【分析】连接OA，根据圆周角的性质可得，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出即可。
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△EDC，点A落在点E处，点B落在点D处．若DE∥BC，则在旋转过程中，点A经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，且∠BAC＝60°，若AB＝12，则图中阴影部分图形的面积为（ ）
A．12π B．3 +12π C．9 +12π D．9 +6π
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，作OD⊥AC于D，
∵OA＝OC，∠BAC＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，AC＝OA＝6，
∴S扇形AOC＝ ＝6π，
OD＝OA×sin∠OAC＝3 ，
S△AOC＝ ×AC×OD＝9 ，
半圆的面积＝ π×62＝18π，
则图中阴影部分图形的面积＝18π﹣（6π﹣9 ）＝9 +12π，
故答案为：C．
【分析】连接OC，作OD⊥AC于D，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，AC＝OA＝6，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 （结果保留）．
【答案】
12．如图所示，圆O 与△OAB 的边AB 相切，切点为 B.将△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O'落在圆O 上，边 A'B 交线段AO 于点C.若 ，则∠OCB= °.
【答案】85
【解析】【解答】解：连结OO'，
∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，
∴BO'=BO=OO'
∴△BOO'为等边三角形，
∴∠OBO'=60°，
∵☉O与△OAB的边AB相切，
∴∠OBA=∠O'BA'=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO'=90°-60°= 30°，
∵∠A'=25°，
∴∠AO'B=90°-∠A'=90°-25°= 65°，
∴∠AOB=∠AO'B =65°，
∴∠OCB=180-∠COB-∠OBC=180-65°-30= 85°
故答案为：85.
【分析】连结OO'，先证△BOO'为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO'=60°，由☉O与△OAB的边AB相切，可求∠CBO=30°，利用三角形内角和公式即可求解.
13．某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，根据数据绘制的不完整统计图如图所示，图中工人部分所对应的圆心角为 .
【答案】36°
【解析】【解答】解：被调查的学生数是：40÷20%=200人，
喜欢工人职业的有20人，20÷200=10%，
所以扇形图中工人部分所对应的圆心角为360°×10%=36°.
故答案为：36°
【分析】先根据公务员人数及其所占比例求出被调查总人数，再用360°乘以工人人数所占的比例。
14．在平面直角坐标系中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，则m的最小值为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，
∵C（3，4），
∴OC==5，
∵圆的半径为2，
∴OP=OC-PC=5-2=3，
∵，，，
∴PO是直角三角形PAB斜边上的中线，
∴OP=OA=3，
∴m最小值为3，
故答案为：3.
【分析】 设OP=x，连接PC，OC，P在以AB为直径的圆上，圆心为O，且有OP≥OC-PC，确定当点O，P，C三点一线时，OP最小，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得OP＝OA＝AB；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，则m的最小值可求解．
15．若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】十
【解析】【解答】解：∵正多边形的外角和为360°，
∴正多边形的边数为 ，
故答案为：十．
【分析】根据正多边形的外角和为360°，除以每个外角的度数即可知．
16．已知 ，以 为一边作正方形 ，使 两点落在直线 的两侧.则 最大时 的大小是 .
【答案】135°
【解析】【解答】解：将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，△P'AP是等腰直角三角形
∵△P'PB中，P'B＜PP'＋PB，PP'＝ =2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'＋PB＝6，即P'B的最大值为6.
此时∠APB＝180° ∠APP'＝135°.
故答案为：135°.
【分析】将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，△P'AP是等腰直角三角形，得到PP'＝2，PB＝4，推出当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'＋PB，∠APB＝180° ∠APP'，据此求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图（1），当点E在BC边的中点位置时，通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是 ；
（2）如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE＝EM．小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：在BA上取一点H使AH＝CE，连接EH，要证AE＝EM，只需证△AHE≌△ECM．
想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF．（易证∠BCF+∠BCA+ACM＝180°，∴M，C，F三点在同一直线上）要证AE＝EM，只需证△MEF为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE＝EM，只需证四边形MCFE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE＝EM．（一种方法即可）
【答案】（1）相等
（2）解：想法一：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝60°．
∵AH＝CE，∴BH＝BE．
∴∠BHE＝60°．
∴AC∥HE．
∴∠1＝∠2．
在△AOE和△COM中，∠ACM＝∠AEM＝60°，∠AOE＝MOE，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∵∠BHE＝60°，
∴∠AHE＝120°．
∵∠ECM＝120°．
∴∠AHE＝∠ECM．
∵AH＝CE，
∴△AHE≌△ECM（AAS）．
∴AE＝EM．
想法二：如图3，
∵在△AOE和△COM中，
∠ACM＝∠AEM＝60°，
∠AOE＝∠COM，
∴∠EAC＝∠EMC．
又由对称可知△ACE≌△FCE，
∴∠EAC＝∠EFC，AE＝EF．
∴∠EMC＝∠EFC．
∴EF＝EM．
∴AE＝EM．
想法三：如图4，
∵将线段BE绕点B顺时针旋转60°，
∴可证△ABE≌△CBF（SAS）．
∴∠1＝∠2 AE＝CF．
∵∠AEM＝∠CBA＝60°，
∴∠1＝∠CEM．
∴∠2＝∠CEM．
∴EM∥CF．
∵∠CBF＝60°，BE＝BF，
∴∠BEF＝60°，
∴∠MCE＝∠CEF＝120°．
∴CM∥EF．
∴四边形MCFE为平行四边形．
∴CF＝EM．
∴AE＝EM
【解析】【解答】解：（1）相等．
证明如下：
如图1，取AB的中点N，连接EN，
∵△ABC为等边三角形，E、N为中点，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，
∴∠ANE＝120°，
∵∠AEM＝60°，
∴∠MEC＝30°，
∴∠NAE＝∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM＝60°，
∴∠ECM＝∠ANE＝120°，
在△ANE和△ECM中
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE＝EM；
故答案为：相等；
【分析】（1）取AB的中点N，连接EN，利用等边三角形的性质及E、N分别为BC、AB的中点，可证得∠ANE=∠ECN=120°，AN＝NE＝EC，∠NAE=∠CEM，再利用ASA证明△ANE≌△ECM，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）想法一：在BA上取一点H使AH＝CE，连接EH，利用等边三角形的性质，可证得△BHE是等边三角形，从而可证∠AHE=∠ECM，∠2=∠3，再利用AAS证明△AHE和△ECM全等，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。想法二：利用已知易证∠EAC＝∠EMC，利用轴对称的性质可知△ACE≌△FCE，利用全等三角形的性质，可证得∠EMC＝∠EFC，EF＝EM，从而可证得AE＝EM；想法三：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，利用旋转的性质可证△ABE≌△CBF，利用全等三角形的性质可证得∠1＝∠2 AE＝CF，再利用矩形的判定定理证明四边形MCFE是矩形，利用矩形的性质可证CF=EM，即可证得结论。
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E， 且DE=DC，BE=4，OE = 2.
（1）∠AOC= .
（2）求证：直线CD是⊙O的切线.
（3）求图中阴影部分的面积.。
【答案】（1）60°
（2）证明：∵∠BOE＝90°，∠B＝30°，
∴∠CED＝∠OEB＝90° ∠B＝60°，
∵DE＝DC，
∴∠DCB＝∠CED＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线．
（3）解：设OD交⊙O于点F，
∵∠OCD＝∠BOE＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠COD＝180° ∠BOE ∠AOC＝30°，
∴OD＝2CD，
∵OC＝，OC＝OB＝，
∴，
∴CD＝2，
∴S阴影＝S△COD S扇形COF＝，
∴阴影部分的面积是：.
【解析】【解答】（1）解：∵OD⊥AB交BC于点E，
∴∠BOE＝90°，
∵BE＝4，OE＝2，
∴sinB＝，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°．
故答案为：60°.
【分析】（1）先利用解直角三角形的方法求出sinB＝，可得∠B＝30°，再利用圆周角的性质可得∠AOC＝2∠B＝60°；
（2）先证出∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，即CD⊥OC，再结合OC是圆的半径，即可证出直线CD是⊙O的切线；
（3）先求出CD＝2，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．
（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；
（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．
【答案】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，
设的半径长为，则，
过M作MH⊥BC，垂足为点H，
∴MH∥AC，
∵MH∥AC，
∴△BHM∽△BCA，
，
∵⊙M与直线BC相切，
∴MA＝MH，
即M的半径长为．
（2）解：如图2，
∵AP＝x，
∴CP＝4﹣x，
∵CQ＝2CP，
∴CQ＝8﹣2x，
∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，
过Q作QG⊥AB，垂足为点G，
同理：
∵PM⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
，
∵AP＝x，
在Rt△QNG中，根据勾股定理得，
（3）解：当点P在线段AC上，如图3，
设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E，连接EN，MO，
则MO⊥EN，
∴∠NMO+∠ANE＝90°，
∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，
即P、E、N在同一直线上，
又∵PM⊥AB，MA＝MN，
∴PN＝PA，
∴∠PAN＝∠ANE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PAN+∠B＝90°，
∴∠NMO＝∠B
连接AQ，
∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，
∴MO∥AQ
∴∠NMO＝∠BAQ，
∴∠BAQ＝∠B，
∴QA＝QB，
在Rt△QAC中，根据勾股定理得
，
同理：当点在线段AC的延长线上，，
即线段AP的长为或．
【解析】【分析】（1）根据题意，首先画出图形，并设⊙M的半径长为R。由于⊙M与直线BC相切，因此MA=MH=R。然后，利用勾股定理和已知的边长，可以列出关于R的方程。解这个方程，就可以得到⊙M的半径长；
（2）同样，首先画出图形。然后利用勾股定理和已知的边长，可以列出关于y和x的方程。解这个方程，就可以得到y关于x的函数解析式。最后，根据图形，可以确定x的定义域；
（3）首先画出图形。然后根据题意，连接EN、MO、AQ，并利用相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理，可以列出关于x的方程。解这个方程，就可以得到线段AF的长。
20．如图，在平面坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90°得到点C．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．
【答案】（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）
（2）解：由题可设抛物线解析式为 ，
把（0，3）代入得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
PA=PC，且PC所在的直线为
∴B点于A点关于直线 对称
∴点B的坐标为（3，0），
∵B绕点O逆时针旋转90°得到点C
∴ C落在y的正半轴上，且距离O点的距离同B点一样
∴点C的坐标为（0，3），
【分析】（1）由题可知B点于A点关于直线 对称，即可求解；B绕点O逆时针旋转90°得到点C，可得知C落在y的正半轴上，且距离O点的距离同B点一样，据此可得出C点的坐标；（2）可把抛物线的解析式设成交点式，再代入已知点的坐标即可求解.
21．如图，AB是的直径，点C，D是上的点，AC分别与BD，OD相交于点E，P．且．
（1）求证：：
（2）若，求的直径．
【答案】（1）证明：是的直径，
（2）解：，
在Rt中，，
的直径为10.
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由垂径定理的推论可得OF⊥AC，于是根据平行线的判定可求解；
（2）由垂径定理可得AF=AC，在Rt△AFO中，用勾股定理可得关于AO的方程，解方程即可求得半径AO的值，然后根据圆的直径=2AO可求解.
22．如图，点E是正方形 的边 上一点，点F是正方形 的边 的延长线上一点，连接 ，且 绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与 重合．
（1）请你连结 ，判定 的形状，并说明理由；
（2）若正方形 的周长为24， ，求点B到 的距离．
【答案】（1）解： 为等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与 重合，
∴ ，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴ 为等腰直角三角形；
（2）解：作 于H，如图，
∵正方形 的周长为24，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点A沿顺时针方向旋转90°得到 ，
∴ ，
∵S△ABF= ，
∴ ，即点B到 的距离为 ．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，再根据旋转的性质得到AE=AF，∠EAF=∠BAD=90°，于是可判断△AEF为等腰直角三角形；（2） 作 于H，如图， 先计算，，再利用勾股定理计算出，根据旋转的性质得到。然后利用面积法计算出BH即可。
23．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是上一点，OA与BC交于点E，已知AO = 8，BC = 12.
（1）求线段OD的长.
（2）当EO = BE时，求ED，EO的长.
【答案】（1）解：如图，连接OC，
∵D为BC的中点，
∴CD=BC=6，OD⊥BC，
在Rt△CDO中，
∴OD=；
（2）解：在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2，
设BE=x， OE=x，
∴ED=6-x，
∴（2）2+（6-x）2=(x)2，
解得x1=-16(舍)，x2=4，
∴OE=4，ED=6-4.
【解析】【分析】（1）连接OC，利用垂径定理求出CD的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理列式求出OD即可；
（2）设BE=x， OE=x， 把BE和OE用含x的代数式表示，在Rt△EOD中，利用勾股列式求出x， 则ED、EO可求.
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO
（1）当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
（2）若CD＝4 ，BE＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠BCO＝25°，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣∠D＝90°﹣25°＝65°
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝ CD＝ ，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝BE﹣BO＝4﹣r，
∴ ，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理即可求解；（2）利用垂径定理求出CE的长，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝BE﹣BO＝4﹣r，根据勾股定理即可列出方程求出r.
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，10），点B（m，0），且m＞0，把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得到△ACD，点O，B旋转后的对应点分别为点C，D.
（1）点C的坐标为 ；
（2）①设△BCD的面积为S，用含m的代数式表示S，并直接写出m的取值范围；
②当S＝12时，请直接写出点B的坐标.
【答案】（1）（10，10）
（2）解：①延长DC交x轴于点E，
∵点B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形OACE是正方形，
∴DE⊥x轴，OE=AC=10，
如图1，当点E在线段OB上时，
BE=OB﹣OE=m﹣10，
∴S= DC BE= m（m﹣10），
即S= m2﹣5m（m＞10），
如图2，当点E在线段OB的延长线上（点B不与O，E重合）时，
则BE=OE﹣OB=10﹣m，
∴S= DC BE= m（10﹣m），
即S=﹣ m2+5m（0＜m＜10），
当点B与E重合时，即m=10，△BCD不存在，
综上所述，S= m2﹣5m（m＞10）或S=﹣ m2+5m（0＜m＜10）
②点B的坐标为（12，0）或（4，0）或（6，0）.
【解析】【解答】（1）∵点A（0，10），
∴AO=10，
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，
∴AC=AO=10，∠OAC=90°，
∴C（10，10），
故答案为：（10，10）；
（ 2 ）②当S=12，m＞10时， m2﹣5m=12，
解得：m1=﹣2（舍去），m2=12，
当S=12，0＜m＜10时，﹣ m2+5m=12，
解得：m3=4，m4=6，
∴点B的坐标为（12，0）或（4，0）或（6，0）.
【分析】（1）根据旋转的性质得到AC=AO=10，∠OAC=90°，得到点C的坐标；（2①分点E在线段OB上、点E在线段OB的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算；②把S=12分别代入函数关系式，计算即可.
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