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相似三角形 单元全优测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm
3．如图，在中，．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为( ).
A． B． C． D．
5．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．1.5
6．如图，与位似，点O为位似中心.已知，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将矩形沿翻折，使点B落在上的点F处，射线与矩形的外角的平分线相交于点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若△ABC∽，且，若ABC的面积为，则的面积为 ．
12．如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ．
13．若，则＝ ．
14．如图，一组平行线L1、L2、L3截两相交直线L4、L5，则 .
15．如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则 ．
16．如图，在等腰中，，点为反比例函数其中图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于，若面积为1，则的值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，过D作DE⊥AC，过B作BE⊥AB，DE，BE交于点 E．已知BC＝3，AB＝5．
（1）证明：△EFB∽△ABC．
（2）若CD＝1，请求出ED的长．
（3）连结AE，记CD＝a，△AFE与△EBF面积的差为b．若存在实数t1，t2，m（其中t1≠t2），当a＝t1或a＝t2时，b的值都为m．求实数m的取值范围．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AB，过点C作CD⊥BC，两线相交于点D，AF平分∠BAC交BC于点E，交BD于点F．
（1）若∠BAC＝68°，求∠DBC；
（2）求证：点F为BD中点；
（3）若AC＝BD，且CD＝3，求四边形ABDC的面积．
19．如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
20．如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；
②分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点.
（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点作交射线于点，，.补全图形，并求的长.
21．如图，直线 ，AC分别交 于点A，B，C；DF分别交 于点D，E，F；AC与DF交于点O.已知DE=3，EF=6，AB=4.
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF=1：3，求OB：AB.
22．如图， 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 ， ， （正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1） 与 关于x轴成轴对称，请画出 ，并写出 点的坐标；
（2）以点 为位似中心，将 放大得到 ，放大前后的面积之比为 ，画出 ，使它与 在位似中心同侧，并写出 点的坐标；
（3）连接 、 ，判断 的形状并直接写出结论．
23．如图
如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；
（3）问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B.
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE.
25．
（1）探究：如图①，直线 ，点 在 上，以点 为直角顶点作 ，角的两边分别交 与 于点 、 ，连结 .过点 作 于点 ，延长 交 于点 .
求证： .
（2）应用：如图②，在图1的基础上，设 与 的交点为 ，若 ， 与 之间的距离为2， 与 之间的距离为1，求 的长度.
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相似三角形 单元全优测评卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm
【答案】B
3．如图，在中，．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B不符合题意；
∴，故选项D不符合题意；
无法推出，故选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，根据平行线的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得，，即可求得.
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，
∵∠C1DO=∠A1CO=90°，∠DOC1=∠COA1=90°-∠COC1
∴△C1OD∽△A1OC，
∴即
∴OD=，C1D=
∴C1（-，）。
故答案为：A
【分析】过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，根据两角对应相等，可得出△C1OD∽△A1OC，从而得出进而可求得OD=，C1D=，即可得出C1（-，）。
5．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．1.5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、E为边的三等分点，，
∴，，，
∴，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴．
【分析】先证出，可得，即，求出，再求出即可。
6．如图，与位似，点O为位似中心.已知，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与的相似比为，
∴与的面积比为.
故答案为：B.
【分析】根据OA：AD=1：1可得OA：OD=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
7．如图，将矩形沿翻折，使点B落在上的点F处，射线与矩形的外角的平分线相交于点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点，如图所示：
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点做于点，先证出，可得，将数据代入可得，再化简可得，再结合，作出函数图象即可.
9．若，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵m：n=1：3，
∴设m=k，则n=3k，
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例设出m=k，用k表示出n，代入后化简求值.
10．如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若△ABC∽，且，若ABC的面积为，则的面积为 ．
【答案】
12．如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ．
【答案】2或
13．若，则＝ ．
【答案】13
【解析】【解答】解：设，则
∴
故答案为：13.
【分析】设=k，则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入中化简即可.
14．如图，一组平行线L1、L2、L3截两相交直线L4、L5，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵l1//l3，
∴∠AFO=∠OCD，∠AOF=∠COD
∴△AOF∽△DOC，
同理，△BOE∽△COD，△AOF∽△EOB，
∴ ，即 ， ，
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】根据l1//l2//l3，证明△AOF∽△EOB∽△DOC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到结论.
15．如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则 ．
【答案】
16．如图，在等腰中，，点为反比例函数其中图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于，若面积为1，则的值为 ．
【答案】10
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，过D作DE⊥AC，过B作BE⊥AB，DE，BE交于点 E．已知BC＝3，AB＝5．
（1）证明：△EFB∽△ABC．
（2）若CD＝1，请求出ED的长．
（3）连结AE，记CD＝a，△AFE与△EBF面积的差为b．若存在实数t1，t2，m（其中t1≠t2），当a＝t1或a＝t2时，b的值都为m．求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AC，BE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE∥BC，∠EBF＝∠ACB＝90°，
∴∠EFB＝∠ABC，
∴△EFB∽△ABC
（2）解：如图，过点B作BG⊥ED于G， 则∠BGE＝∠BGD＝∠EDC＝∠C＝90°， ∴四边形BGDC是矩形，
∴BG＝CD＝1，BC＝GD＝3，
∵△EFB∽△ABC， ∴∠BEF＝∠CAB，
∴△EBG∽△ABC，
∴ ，即 ， 解得 ， 则
（3）解：∵CD＝a，AC＝4，
∴BG＝a，AD＝4﹣a，
∵△EBG∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得 ， ∵DE∥BC，
∴△AFD∽△ABC，
∴ ，即 ， 解得 ， 则 ， ∴ ， ∴m的取值范围是
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，可求证.（2）过点B作BG⊥ED于G，可得四边形BGDC是矩形，进而可得△EBG∽△ABC，从而求得ED的长．（3）根据△EBG∽△ABC，可得BE，再根据DE∥BC，可得△AFD∽△ABC，即得到AF，从而得到m的取值范围．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AB，过点C作CD⊥BC，两线相交于点D，AF平分∠BAC交BC于点E，交BD于点F．
（1）若∠BAC＝68°，求∠DBC；
（2）求证：点F为BD中点；
（3）若AC＝BD，且CD＝3，求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，AF平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠BAE＝ ∠BAC＝34°，
∵BD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ABF＝90°，
∴∠DBC＝∠BAE＝34°
（2）证明：∵CD⊥BC，AE⊥BC，
∴EF∥CD，
∵BE＝CE，
∴BF＝DF，
∴点F为BD中点
（3）解：∵AC＝BD，AB＝AC，
∴AB＝BD，
在△ABE与△BCD中， ，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴BE＝CD＝3，
∴BC＝6，
∴四边形ABDC的面积＝3S△BCD＝3× ×3×6＝27
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，∠BAE＝ ∠BAC＝34°，根据余角的性质得到结论；（2）根据平行线等分线段定理即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到BE＝CD＝3，求得BC＝6，根据全等三角形的性质即可得到结论．
19．如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.
20．如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；
②分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点.
（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点作交射线于点，，.补全图形，并求的长.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求.
（2）解：如下图所示，过点作于，
由（1）的作图方法可知，BG是∠ABC的角平分线，
∵平分，，∠A=90°，
∴，
∵BG=BG，
∴（HL），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得
设，则
在中，由勾股定理得：
即，
解得
∵，，
∴
∴，
∴，
解得：.
【解析】【分析】（1）利用已知作图的步骤，作出∠ABC的角平分线BG；
（2）过点G作GH⊥BC于点H，利用角平分线的性质可证得AG=GH，利用HL可证得△ABG≌△HBG，利用全等三角形的对应边相等，可求出BH的长，即可求出CH的长；利用勾股定理求出AC的长，设AG=GH=x，可表示出CG的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；再证明△BHG∽△BCM，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于CM的方程，解方程求出CM的长.
21．如图，直线 ，AC分别交 于点A，B，C；DF分别交 于点D，E，F；AC与DF交于点O.已知DE=3，EF=6，AB=4.
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF=1：3，求OB：AB.
【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴ ，即 ，解得：AC=12
（2）解：∵l1∥l2∥l3，∴ .
∵AB=4，AC=12，∴BC=8，∴OB=2，∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得 ，代入数据即可求出AC的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得 ，从而求出OB的长，从而求出OB：AB的值.
22．如图， 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 ， ， （正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1） 与 关于x轴成轴对称，请画出 ，并写出 点的坐标；
（2）以点 为位似中心，将 放大得到 ，放大前后的面积之比为 ，画出 ，使它与 在位似中心同侧，并写出 点的坐标；
（3）连接 、 ，判断 的形状并直接写出结论．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作，C1（2，-2）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2（1，0）．
（3）解：∵AC2=12+22=5，CC22=12+22=5，AC22=12+32=10，
∴AC2+CC22=AC22，
∴△ACC2是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的的点坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长B1A1到A2使B1A2=2B1A1，延长B1C1到C2使B1C2=2B1C1，从而得到△A2B1C2；
（3）利用勾股定理的逆定理可证明△ACC2是等腰直角三角形．
23．如图
如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝2，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，DE，DF或它们的延长线分别交BC（或它的延长线）于G，H点，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）问题发现：当0°＜α＜45°时，如图2，可得∠H＝45°﹣∠CAH＝∠GAC．这时与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）类比探究：当45°＜α＜90°时，如图3，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请选取一种情况说明理由；
（3）问题解决：当△AGH是等腰三角形时，直接写出CG的长．
【答案】（1）△HAB；△HGA
（2）解：成立，
∵∠BHA＝∠C+∠CAH＝45°+∠CAH
∠GAC＝∠GAH+∠CAH＝45°+∠CAH
∴∠BHA＝∠GAC 又∵∠B＝∠C
∴△AGC∽△HAB
∵∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，
∴△AGC∽△HGA
（3）解：由（1）知，∠GAH＝45°，
∵△AGH是等腰三角形，
①当∠GAH＝45°是等腰三角形的底角时，
Ⅰ、∠AHG＝90°，
∴AH⊥BC，此时点G’和点B重合，
即：α＝90°，不符合题意，舍去，
Ⅱ、∠AGH＝90°，
∴AG⊥BC，
∴BG＝CG，
∵AB＝AC＝2，
∴BC＝2 ，
∴CG＝
②当∠GAH＝45°是等腰三角形的顶角时，
∴∠AHG＝∠AGH＝ （180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠C＝45°，
∴∠CAG＝67.5°＝∠AGH，
∴CG＝AC＝2
即：当△AGH是等腰三角形时，CG的长为 或2
【解析】【解答】解：（1）∵∠BHA＝∠ACB﹣∠CAH＝45°﹣∠CAH
∠GAC＝∠GAH﹣∠CAH＝45°﹣∠CAH
∴∠BHA＝∠GAC
又∵∠B＝∠C
∴△AGC∽△HAB；
∵∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，
∴△AGC∽△HGA；
故答案为：△HAB，△HGA
【分析】（1）利用已知易证∠BHA＝∠GAC，由∠B＝∠C，可证△AGC∽△HAB，再由∠ACG＝∠HAG＝45°，∠AGC＝∠HGA，可证得△AGC∽△HGA，即可解答。
（2）利用和（1）类似的方法可证得（1）中的结论成立。
（3）由（1）可知∠GAH=45°，要使△AGH是等腰三角形，再分情况讨论： ①当∠GAH＝45°是等腰三角形的底角时，Ⅰ、∠AHG＝90°，AH⊥BC，此时点G’和点B重合，可证得α＝90° ，不符合题意；Ⅱ、∠AGH＝90°，由AG⊥BC，可证得BG=CG， 然后利用勾股定理求出BC，继而可求出CG的长；②当∠GAH＝45°是等腰三角形的顶角时，利用三角形内角和定理求出∠AHG、∠AGH的度数，再证明∠CAG＝＝∠AGH，可证得CG=AC，就可得到CG的长。
24．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B.
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE.
【答案】（1）解：∵D、E分别是AC、BC的中点，∴.DE//AB， DE= AB=5.
又∵DE//AB，∴∠DEC= ∠B.而∠ F= ∠ B，∴∠DEC =∠B，∴FD=DE=5；
（2）证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B.又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，∴∠CDE=∠B.
而∠B=∠F，∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，∴△CDE∽△DFE .
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE.
25．
（1）探究：如图①，直线 ，点 在 上，以点 为直角顶点作 ，角的两边分别交 与 于点 、 ，连结 .过点 作 于点 ，延长 交 于点 .
求证： .
（2）应用：如图②，在图1的基础上，设 与 的交点为 ，若 ， 与 之间的距离为2， 与 之间的距离为1，求 的长度.
【答案】（1）证明：如图①，
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∵ ， .
∴ .
∴ .
应用：
（2）解：如图②，设 与 的交点为 .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】求证：由图可得 ，再由同角的余角相等可得 ，如此即可证明两个三角形相似；应用：结合上问证明和 ，可得 ，如此可求解出AB的长度，再运用平行线分线段成比例即可求解.
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