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浙教版（2024）八上一周一测（六）
第2章《特殊三角形》阶段测试（2.6~2.8）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B A D C C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B∠C
【思路点拔】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
设∠A＝x，
∴∠Bx，∠Cx，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴xxx＝180°，
解得x＝（）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；
D、∵∠A＝∠B∠C，
设∠A＝∠B＝x，
∴∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°并灵活运用．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若BD＝3，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线性质得出AC＝2BD，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝3，
∴BDAC，
∴AC＝2BD＝2×3＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出AC＝2BD是解此题的关键．
3．（3分）一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．
【思路点拔】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
当斜边为4时，则第三边为：，
当3和4为两直线边时，第三边为：，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．
4．（3分）如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．
【思路点拔】利用勾股定理即可直接得出答案．
【解答】解：∵每个小方格的边长是1，
由勾股定理得：该阴影正方形的边长，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．（3分）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【思路点拔】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，
∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
6．（3分）两个直角三角形中：
①一锐角和斜边对应相等；
②斜边和一直角边对应相等；
③有两条边相等；
④两个锐角对应相等．
能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
【思路点拔】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可．
【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①符合题意；
②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②符合题意；
③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③不符合题意；
④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④不符合题意；
综上分析可知①②正确，故A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
【思路点拔】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角对等边判定AE＝BE，则易求BDBEAE（AC﹣BC）．
【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC＝CE．
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE．
∴BDBEAE（AC﹣BC）．
∵AC＝5，BC＝3，
∴BD（5﹣3）＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．
8．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴a2+b2＝c2，故该选项能证明勾股定理，不符合题意；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故该选项能证明勾股定理，不符合题意；
C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：2ab+a2+b2，
∴（a+b）2＝2ab+a2+b2，
∴故该选项不能证明勾股定理，符合题意；
D、故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
9．（3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．
【解答】解：根据题意，BE＝AE．设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x．
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2
解得x，
∴tan∠CBE．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB，
∵ BC AH AB AC，
∴AH，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵ AD BO BD AH，
∴OB，
∴BE＝2OB，
在Rt△BCE中，EC，
解法二：连接BE，AD于点F，DF是三角形BCE中位线，求出DF，可得结论．
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝ 45 °．
【思路点拔】根据直角三角形两锐角互余计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．
12．（3分）如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ．
【思路点拔】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段OB的长度，然后根据OA＝OB即可求出OA的长度，接着可以求出数轴上点A所表示的数．
【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，
∴BO，
∵OA＝OB，
∴OA，
∴数轴上点A表示的数是；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD＝4cm．则点D到AB的距离DE是 4 cm．
【思路点拔】根据角平分线的性质得出DE＝DC，即可求出点D到AB的距离．
【解答】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质，熟练运用它求解．
14．（3分）如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE．若BD＝3，CE＝5，则DE＝ 8 ．
【思路点拔】证明Rt△BDA≌Rt△AEC（HL），推出BD＝AE＝3，AD＝CE＝5，可得结论．
【解答】解：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDA≌Rt△AEC（HL），
∴BD＝AE＝3，AD＝CE＝5，
∴DE＝AD+AE＝5+3＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
15．（3分）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 0＜S≤2 ．
【思路点拔】当△CDE为等腰直角三角形时，s有最大值，利用三角形面积公式即可求解
【解答】解：由题意知：S△CDE＞0，即S＞0，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB中点，AB＝4，CEAB＝2，
当△CDE为直角三角形，且∠CED＝90°时，S有最大值，
∴，
S的最大值为2，
∴.0＜S≤2．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形的面积公式，判断得到当△CDE为直角三角形时，S有最大值是解题的关键．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝2，D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 或或或 ．
【思路点拔】根据勾股定理和等腰三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，
∴AB，
当△ABD是等腰三角形时，
此时AB＝DB，
所以．
当△ACD是等腰三角形，且AC为腰时，
此时有两种情况，但它们属于等底同高的两个当腰三角形，面积相等．
且CD＝AC＝3，
所以．
当△ACD是等腰三角形，且AC为腰，CD为底时，
所以．
当△ACD是等腰三角形，且AC为底时，
则AC＝DC，
又BC＝2，
所以AB＝BD+2．
在Rt△ADB中，
（BD+2）2＝BD2+（）2，
解得BD，
所以CD＝2，
则．
综上所述：
此等腰三角形的面积为或或或．
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若BD＝6，求AC的长．
【思路点拔】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CDBD＝63．
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9，
故线段AC的长为9．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理，关键是求出BD的长和得出CDBD．
18．（8分）如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由．
【思路点拔】连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，即可解答．
【解答】解：∠D是直角，
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC25，
∵CD＝7．AD＝24，
∴AD2+CD＝72+242＝625，AC2＝252＝625，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．（8分）（1）已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数．
（2）△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，AB＝15，求AC的长．
【思路点拔】（1）设出顶角的度数，然后表示出底角，列方程求解即可；
（2）利用勾股定理计算即可求解．
【解答】解：（1）设顶角为x度，则底角为2x度，则：x+2x+2x＝180，解得：x＝36，所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，AB＝15，
∴AC12．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确的列方程，比较简单．
20．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且BC＝DC．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若D是AF的中点，BE＝3，求AB的长．
【思路点拔】（1）根据角平分线的性质可得CE＝CF、∠CEB＝∠CFD＝90°，利用直角三角形全等的判定定理HL即可证明结论；
（2）由Rt△BCE≌Rt△DCF可得：DF＝BE＝3，再根据中点的定义可得AF＝6；然后证明Rt△AEC≌Rt△AFC，最后根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答．
【解答】（1）证明：已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且BC＝DC，
∴CE＝CF，∠CEB＝90°，∠CFD＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：由（1）可知，Rt△BCE≌Rt△DCF，
∵D是AF的中点，BE＝3，
∴DF＝BE＝3．
∴AF＝2DF＝2×3＝6，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴AE＝AF＝6，
∴AB＝AE+BE＝6+3＝9，
所以AB的长为9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键是全等三角形判定定理的应用．
21．（8分）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化？并简述理由．
【思路点拔】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OPAB＝a，即可得出答案．
【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：
连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OPAB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出OP长．
22．（10分）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
（1）请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；
（2）填空：在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF的面积是 24 ．
【思路点拔】（1）根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案；
（2）根据题意利用勾股定理表示出FG2的值，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9．
∴AD＝12．
∴S△ABCBC AD14×12＝84．
（2）如图，在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，
设GD＝x，则GE＝15﹣x，
由勾股定理得：FG2＝DF2﹣GD2＝42﹣x2，FG2＝EF2﹣EG2＝132﹣（15﹣x）2，
故42﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，
解得：x＝2.4．
∴FG＝3.2．
∴S△DEFDE FG15×3.2＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出AD2，FG2的值是解题关键．
23．（10分）已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC．
（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？
【思路点拔】（1）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B＝∠C，根据等角对等边的性质，即可证得AB＝AC；
（2）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB＝OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边的性质，AB＝AC；
（3）首先过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB＝OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边的性质，AB＝AC．
【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（3）不一定成立．
证明：如图3，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，
则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在Rt△BOD和Rt△COE中，
∵，
∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），
∴∠DBO＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
如图4，可知AB≠AC．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
24．（12分）如图，在△ABC中，E是AB的中点，F是AC上的一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△DEF．
（1）如图1，若点D恰好落在线段BC上，求证：EF∥BC．
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，当点D落在线段CE上时，试探究线段AE，AF与CE之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图3，若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．连接AD，BD，CD，若△ACD与△BCD的面积相等，且CD＝4，求AB的长．
【思路点拔】（1）如图①中，首先证明∠ADB＝∠ADC＝90°，再证明DF＝CF，可得结论；
（2）如图②中，过点D作DH⊥CF于点H．证明DF＝DC，设AF＝DF＝DC＝m，构建方程求解；
（3）如图③中，设AE＝ED＝y．利用勾股定理求出y，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
由翻折的性质可知AE＝ED，AF＝FD，
∴AE＝EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，∠EAD＝∠EDA，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴2∠EDB+2∠EDA＝180°，
∴∠EDB+∠EDA＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD+∠C＝90°，∠ADF+∠FC＝90°，
∴∠FDC＝∠C，
∴FD＝CF，
∵AF＝FD，
∴AF＝FC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC；
（2）解：CE﹣AF＝AE，
证明：如图2中，过点D作DH⊥CF于点H．
∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，
∴∠A＝60°，∠ACE＝∠BCE＝30°，
由翻折的性质可知∠EDF＝∠A＝60°，FA＝FD，AE＝DE，
∵∠EDF＝∠DFC+∠DCE，
∴∠DFC＝∠DCF＝30°，
∴DF＝DC，
∴CE﹣CD＝DE，
即CE﹣AF＝AE；
（3）解：如图③中，设AE＝ED＝y．
∵AE＝EB，
∴S△ADE＝S△EBD，
∵S△ADC＝S△BDC，
∴点D在△ABC的中线CE上，
∵AE2+AC2＝CE2，
∴y2+82＝（y+4）2，
∴y＝6，
∴AB＝2AE＝12．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（六）
第2章《特殊三角形》阶段测试（2.6~2.8）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B∠C
2．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若BD＝3，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（3分）一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（3分）如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（3分）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
6．（3分）两个直角三角形中：
①一锐角和斜边对应相等；
②斜边和一直角边对应相等；
③有两条边相等；
④两个锐角对应相等．
能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
7．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
8．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B，则∠B＝ °．
12．（3分）如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD＝4cm．则点D到AB的距离DE是 cm．
14．（3分）如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE．若BD＝3，CE＝5，则DE＝ ．
15．（3分）如图，线段AB＝4，E为AB中点，点C、D为直线AB同侧不重合的两点，且∠ACB＝∠ADB＝90°，连接CE、DE、CD，设△CDE的面积为S，则S的范围是 ．
16．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，CA＝3，CB＝2，D为直线BC上一点，且与△ABC的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若BD＝6，求AC的长．
18．（8分）如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由．
19．（8分）（1）已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数．
（2）△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，AB＝15，求AC的长．
20．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且BC＝DC．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若D是AF的中点，BE＝3，求AB的长．
21．（8分）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化？并简述理由．
22．（10分）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
（1）请你按照他们的解题思路过程完成解答过程；
（2）填空：在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF的面积是 ．
23．（10分）已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC．
（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？
24．（12分）如图，在△ABC中，E是AB的中点，F是AC上的一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△DEF．
（1）如图1，若点D恰好落在线段BC上，求证：EF∥BC．
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，当点D落在线段CE上时，试探究线段AE，AF与CE之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图3，若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝8．连接AD，BD，CD，若△ACD与△BCD的面积相等，且CD＝4，求AB的长．
