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浙教版九上一周一测（八）
第3章《圆的基本性质》阶段测试（3.6~3.8）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（ ）
A．40° B．60° C．100° D．120°
2．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．43°
3．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．120° B．80° C．100° D．60°
4．（3分）如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心．若∠ADB＝20°，则n＝（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
5．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
6．（3分）如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，劣弧的长为2π，则∠ACB的大小是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，OM⊥BC于点M，若OM＝2，则的长为（ ）
A．4π B．π C．π D．π
8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（ ）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
9．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（ ）
A．18π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣18
10．（3分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 ．
12．（3分）已知正方形的外接圆的半径为，则正方形的周长是 ．
13．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．
14．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝ °．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB＝10，则AD的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形面积．
18．（8分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠BAD．
（2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD．
（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．
20．（8分）如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
第一步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA，CO；
（2）设AB＝6，求扇形AOC的面积．（结果保留π）
21．（8分）如图，网格是由边长为1的小正方形组成，△ABC的每个顶点都在网格的交点上，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．
（1）用无刻度的直尺画出△AB1C1；
（2）求AB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
24．（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非常四边形”，如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“非常四边形”，根据以上信息回答：
（1）矩形 “非常四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“非常四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．中小学教育资源及组卷应用平台
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第3章《圆的基本性质》阶段测试（3.6~3.8）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C D B C C C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（ ）
A．40° B．60° C．100° D．120°
【思路点拔】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，根据∠A：∠B：∠C＝2：3：7求出∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，再求出∠D即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∵∠A：∠B：∠C＝2：3：7，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，
∴∠D＝180°120°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
2．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．43°
【思路点拔】连结OC和OD，根据正多边形求得∠COD，结合圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：连结OC、OD，如图，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
则．
故选：B．
【点评】本题主要考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是关键．
3．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（ ）
A．120° B．80° C．100° D．60°
【思路点拔】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（3分）如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心．若∠ADB＝20°，则n＝（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【思路点拔】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵点O为正n边形的中心．∠ADB＝20°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，
∴n9，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，圆周角定理，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
5．（3分）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣4 B．2π﹣4 C．4π D．2π
【思路点拔】首先证明S△AOE＝S△OEB，可得S阴＝S扇形OBC，由此即可解决问题．
【解答】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB＝90°
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOC＝45°，
∴S△AOE＝S△OEB，
∴S阴＝S扇形OBC2π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积等计算、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．
6．（3分）如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，劣弧的长为2π，则∠ACB的大小是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【思路点拔】连接OA、OB．先由劣弧的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝60°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB∠AOB＝30°．
【解答】解：连接OA、OB．设∠AOB＝n°．
∵劣弧的长为2π，
∴2π，
∴n＝60，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB∠AOB＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长的公式l是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，OM⊥BC于点M，若OM＝2，则的长为（ ）
A．4π B．π C．π D．π
【思路点拔】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据直角三角形的性质求出OB，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC（180°﹣120°）＝30°，
∴OB＝2OM＝4，
∴的长π，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算，掌握圆周角定理、直角三角形的性质、弧长公式是解题的关键．
8．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（ ）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
【思路点拔】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BPC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，从而可得∠EBP+∠PCD＝180°，再利用平角定义可得∠BPC+∠BPE＝180°，从而可得∠A＝∠BPE＝m，进而可得∠BPE＝∠CPD＝m，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BPC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，
∴∠EBP+∠PCD＝360°﹣（∠ABP+∠ACP）＝180°，
∵∠BPC+∠BPE＝180°，
∴∠A＝∠BPE＝m，
∴∠BPE＝∠CPD＝m，
∴∠E+∠D＝360°﹣（∠BPE+∠CPD+∠EBP+∠PCD）＝360°﹣（2m+180°）＝180°﹣2m，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（ ）
A．18π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣18
【思路点拔】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，
∴∠COD＝45°，
∴OC6，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
（3）2
π﹣9．
故选：C．
【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
10．（3分）已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【思路点拔】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE＝OA，从而求出EA的长；
△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB＝AC；由AB＝BD，得，可得∠AED＝∠AOB；
四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD＝AB＝BC，易证得∠D＝∠BCD，则∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC＝AB，易证得两个三角形全等，由此得解．
【解答】解：如图，连接OE，OA，OB．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；
∵AB＝BD，
∴，
∴∠AED＝∠AOB；
∵BC＝AB＝BD，
∴∠D＝∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，
∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，
∵AC＝AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE＝OA＝1．
方法2：∵BA＝BC＝BD＝a，
∴点A，C，D在以B为圆心，半径为a的圆上，
∴∠ADC∠ABC＝30°，
连接AO，EO，
∴∠AOE＝2∠ADE＝60°，
∴△AOE为等边三角形，
∴AE＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于 55° ．
【思路点拔】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵，
∴∠CAB∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．（3分）已知正方形的外接圆的半径为，则正方形的周长是 16 ．
【思路点拔】根据正方形的性质求出对角线，再求出正方形的边长，最后求出面积即可．
【解答】解：∵正方形的外接圆的半径为，
∴正方形的对角线长为4，
∴正方形的边长为44，
∴正方形的周长为4×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了正方形的性质，能熟记正方形的性质的内容是解此题的关键．
13．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．
【思路点拔】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOC进行计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S△AOB＝S△AOC，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOCπ．
故答案为π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．
14．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝ 132 °．
【思路点拔】连接OC，AO，BO，根据正六边形的性质得到∠ABO＝60°，根据正十边形的性质得到∠BOC（180°﹣36°）＝72°，于是得到结论．
【解答】解：连接OC，AO，BO，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∴∠ABO＝60°，
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷10＝36°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC（180°﹣36°）＝72°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝60°+72°＝132°；
故答案为：132．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 π cm．
【思路点拔】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵ODAB6＝3（cm），
∴的长π（cm）．
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB＝10，则AD的长为 5 ．
【思路点拔】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用∠ACD＝∠BCD得到AD＝BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长度．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴ADAB＝105．
故答案为5．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形面积．
【思路点拔】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
则由弧长公式得：20π，
解得：R＝24，
即扇形的面积是20π×24＝240π．
【点评】本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积弧长×半径．
18．（8分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD．
（1）求证：∠C＝∠BAD．
（2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度．
【思路点拔】（1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论；
（2）根据垂径定理，证明AC＝CB，推出∠ACB＝60°，可得∠AOB＝120°，再利用弧长公式求解．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD；
（2）解：如图，连接OA，OB，BC．
∵CD⊥AB，CD是直径，
∴，
∴CA＝CB，
∴∠ACD＝∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴的长2π．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD．
（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．
【思路点拔】（1）由圆周角定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，角的和差求出∠CAD的度数为25°；
（2））由AB为直径推出∠ACB＝90°，再由勾股定理求出．由∠AOD＝∠COD，OA＝OC，推出AE＝EC，根据中位线定理得出OEBC＝3．所以DE＝OD﹣OE＝2．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝50°，
∵∠AOC＝2∠B＝100°，
∴∠AOD＝∠COD＝50°，
∴∠CAD∠COD＝25°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，
∴．
∵∠AOD＝∠COD，OA＝OC，
∴AE＝EC，
∴OEBC＝3．
∴DE＝OD﹣OE＝2．
【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，线段的和差，圆周角定理，角的和差，勾股定理等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质．
20．（8分）如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
第一步，以AB为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA，CO；
（2）设AB＝6，求扇形AOC的面积．（结果保留π）
【思路点拔】（1）画出⊙O，⊙B即可；
（2）首先证明△BOC是等边三角形，再根据扇形面积公式计算即可；
【解答】解：（1）⊙O，⊙B如图所示；
（2）连接BC，则BC＝BO＝OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形AOC3π．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，网格是由边长为1的小正方形组成，△ABC的每个顶点都在网格的交点上，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1．
（1）用无刻度的直尺画出△AB1C1；
（2）求AB在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【思路点拔】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；
（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）∵AB3，
∴AB在旋转过程中扫过的面积π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APBAB PE，S△ABCAB CF，
∴S四边形APBCAB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB，
∴S四边形APBC2．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“非常四边形”，如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“非常四边形”，根据以上信息回答：
（1）矩形 不是 “非常四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD＝60°．求“非常四边形”ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“非常四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拔】（1）由矩形的对角线相等但不垂直即可判断；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD，由∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°知∠OBD＝30°，在Rt△OBH中求得BH＝3，则AC＝BD＝2BH＝6，据此可得；
（3）连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD，证△BOM≌△OAE可得OM＝AE，从而得出答案．
【解答】解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是“非常四边形”；
故答案为：不是；
（2）如图2，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
则BH＝DH，
∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，
∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH＝30°，
∴OHOB＝3，
∴BHOH＝3，
∵BD＝2BH＝6，
∴AC＝BD＝6，
∴“非常四边形”ABCD的面积6654；
（3）OMAD．理由如下：
如图3，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
而∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
∵，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM＝AE，
∴OMAD．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解新定义，并熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及全等三角形的判定与性质等知识点．
