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浙教版九上一周一测（七）
第3章《圆的基本性质》阶段测试（3.1~3.5）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D C B C D B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
B．90°的圆周角所对的弦是直径
C．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
【思路点拔】根据垂径定理的推论、圆周角定理、确定圆的条件判断即可．
【解答】解：A、弦的垂直平分线必平分弦所对的弧，命题正确，不符合题意；
B、90°的圆周角所对的弦是直径，命题正确，不符合题意；
C、在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故本选项命题错误，符合题意；
D、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，命题正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且d＝5，
∴r＞5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d＝r，③点P在圆内 d＜r．
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【思路点拔】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝35°，∠ACB＝90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
4．（3分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A．CE＝DE B． C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
【思路点拔】根据垂径定理分析即可．
【解答】解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的弧．以及等弧对等弦的性质
5．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【思路点拔】根据OA，OB互相垂直可得所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得∠ACB270°＝135°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴所对的圆心角为270°，
∴，
又∵∠ABC＝19°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝26°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
6．（3分）如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
A． B．2 C．2 D．
【思路点拔】利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，利用等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB＝45°，再根据垂径定理得到BD＝CD，根据等腰三角形的判定与性质求出BD，从而得到BC的长．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BOD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠OBD，
∴BD＝OD＝2，
∴BC＝2BD＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
7．（3分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝DBAB，
在Rt△AOD中，OA2＝（OC﹣CD）2+AD2，即OA2＝（OA﹣1）2+（）2，
解得，OA＝4，
∴OD＝OC﹣CD＝3，
∵AO＝OE，AD＝DB，
∴BE＝2OD＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8．（3分）已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点（不包括点A点B），则∠APB的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
【思路点拔】根据⊙O的一条弦长恰好等于半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，
①当圆周角的顶点在优弧上时，则∠APB60°＝30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，∠APB＝150°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的性质，特别注意：一条弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
9．（3分）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．1
【思路点拔】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．利用垂径定理，勾股定理求出OE，EF，再求出FG可得结论．
【解答】解：连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB一点E，交⊙O于点F．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴AE＝EB＝8cm，
∴OE6（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），
∵EG＝AC＝BD＝5cm，
∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），
∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，且CD＝BD，∠C＝70°．给出下列结论：①∠A＝40°；②AC＝AB；③．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【思路点拔】连接AD，BE，DE，根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，再由CD＝CB可知AD是BC的垂直平分线，可知②正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知②正确；根据圆周角、弦、弧的关系可知③错误．
【解答】解：连接AD，BE，DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD＝BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC＝AB，
故②正确，符合题意；
∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝40°，
故①正确，符合题意；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABE＝50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，
∴，
故③错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 d＞3 ．
【思路点拔】根据点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可得出结果．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴点P到圆心O的距离d的取值范围是d＞3，
故答案为：d＞3．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r是解题的关键．
12．（3分）如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数为 25° ．
【思路点拔】由∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，再利用圆周角定理求出∠BCA，然后由三角形的内角和得到∠OAC．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°．
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+100°＝130°．
又∵OA＝OC，
∴∠OAC25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是能够利用好圆周角定理，难度不大．
13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的弦，∠ABC＝90°，OD、OE分别垂直AB，BC于点D、E，若AD＝3，CE＝4，则⊙O的半径长为 5 ．
【思路点拔】连接OB，由OD⊥AB，OE⊥BC知∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，再证四边形ODBE是矩形得OD＝BE＝4，继而根据勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，AD＝BD＝3，CE＝BE＝4，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∴OD＝BE＝4，
则OB5，
∴⊙O的半径长为5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理及矩形的判定与性质，勾股定理等知识点．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝ 40° ．
【思路点拔】根据三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝110°，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝70°，
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则⊙O的半径长为 2 .
【思路点拔】先根据CD⊥AB与AC＝CD得到CEAC，进而得到∠A＝30°，∠COE＝60°，再在Rt△COE中，利用锐角三角函数计算出OC长．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，AC＝CD，，
∴CE＝DECD，∠AEC＝90°，
∴CEAC，
∴sinA，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠COE＝60°，
在Rt△COE中，sin∠COE，即sin60°，
∴OC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查垂径定理及锐角三角函数，解题关键是熟练应用垂径定理．
16．（3分）如图，一个圆形纸片⊙O的圆心O与一个正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为 ．
【思路点拔】根据三角形的三边关系可得OB﹣OD＜BD，进而得出O、A、B三点共线时，AB最小，求出正方形的半径OA即可．
【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，
由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，
当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AO，
由题意可得，AC＝4，OB＝4，
点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为，
故答案为：4﹣2．
【点评】本题主要考查了正方形和圆的性质，三角形三边关系，确定最小状态是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2）．
（1）⊙M经过A、B、C三点，则点M的坐标是 （﹣2，0） ；
（2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与⊙M的位置关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据垂径定理推论，得弦AB，BC的垂直平分线相交于一点M，点M即为圆心；
（2）根据CD垂直x轴，求出CM，DM的长，比较即得．
【解答】解：（1）如图，连接AB，BC，
由网格的特点可知，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）；
（2）直线l与⊙M相交，理由：
如图，连接MC，
∵直线l经过点C（﹣6，2），且平行于y轴，
∴直线l交x轴于点D（﹣6，0），OD⊥CD，
∴∠MCD＝90°，
∵，MD＝﹣2+6＝4，
∴MD＜MC，
故直线l与⊙M相交．
【点评】本题考查的是直线和圆的位置关系，垂径定理，坐标与图形性质，熟知以上知识是解题的关键．
18．（8分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）由垂径定理得CF＝DF，根据等腰三角形的性质可得AF＝BF，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（8分）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求证：AD平分∠BAC；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理即可证明结论；
（2）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC＝90°，再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝8，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
20．（8分）在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
（1）如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
（2）如图②，若∠BAD＝2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
【思路点拔】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD＝∠ABD＝90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果；
（2）由∠BAD＝2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD．
【解答】解：（1）AD是⊙O的直径，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是矩形，
∵AB＝AC＝6，
∴BD＝AC＝6，CD＝AB＝6；
（2）∵∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠DAC，
∴∠BAD＝60°，∠DAC＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC，在Rt△ABC中，BC6，
∴CD＝3，
在Rt△BCD中，BD3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理等有关知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．
21．（8分）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧上运动，连接EC，BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．
【思路点拔】（1）求出∠A＝40°，利用圆周角定理解决问题即可；
（2）证明BD＝BM，BG⊥DM，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，
∵弧BC＝弧BC，
∴∠BEC＝∠BAC＝40°；
（2）证明：依据题意画图如下：
连接BM，CM．
∵AB＝AC，
∴，
又∵，
∴，
∴BM＝CM，AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝20°，
∴∠MBC＝∠CAM＝20°，
∵BE⊥AC，AM⊥BC，
∴∠BGD＝∠AFD＝90°，
∴∠BDG＝∠ADF＝70°，
∵，
∴∠BMA＝∠ACB＝70°，
∴∠BMA＝∠BDG＝70°，
∴BD＝BM，
又∵BG⊥DM，
∴GD＝GM，即点G为DM的中点．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理，属于中考常考题型．
22．（10分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且，连接DE．
（1）若140°，求∠C的度数．
（2）求证AB＝AP．
【思路点拔】（1）连接BE，根据圆周角定理及与弧之间的关系可得40°，然后余角性质可得答案；
（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系可得∠C＝∠ABE，然后由等腰三角形的判定与性质可得结论．
【解答】（1）解：连接BE，如图，
∵BP是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵140°，
∴40°，
∵，
∴80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠C＝50°；
②证明：∵，
∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABE，
∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的判定与性质、圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO（180°﹣∠AOD）（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OEBC．
又∵ODAB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
24．（12分）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PDAD，求证：MH⊥CP．
【思路点拔】（1）以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；
（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE sin∠E；
（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MHPF，由PDAD，可得MDPD，证明△MDH∽△PDG，则，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．
【解答】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；
（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE sin∠E，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MHPF，
又∵PDAD，PM＝AM，
∴MDPD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，
∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
证法二：过点P作PG⊥HF于G点，
由PG∥DH，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵AH＝HF，
∴HG：HF＝1：2，即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
∴∠KPE＝135°，PK＝PE，
∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，
在△CPF中，由内角和推得∠CPF＝90°，
∴MH⊥CP．
【点评】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九上一周一测（七）
第3章《圆的基本性质》阶段测试（3.1~3.5）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
B．90°的圆周角所对的弦是直径
C．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．（3分）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（3分）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A．CE＝DE B． C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
5．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
6．（3分）如图，点A在⊙O上，OD⊥弦BC于点D．若∠BAC＝45°，OD＝1，则BC＝（ ）
A． B．2 C．2 D．
7．（3分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点（不包括点A点B），则∠APB的度数为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
9．（3分）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．1
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，且CD＝BD，∠C＝70°．给出下列结论：①∠A＝40°；②AC＝AB；③．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 ．
12．（3分）如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数为 ．
13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的弦，∠ABC＝90°，OD、OE分别垂直AB，BC于点D、E，若AD＝3，CE＝4，则⊙O的半径长为 ．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝ ．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则⊙O的半径长为 .
16．（3分）如图，一个圆形纸片⊙O的圆心O与一个正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2）．
（1）⊙M经过A、B、C三点，则点M的坐标是 ；
（2）直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与⊙M的位置关系，并说明理由．
18．（8分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
19．（8分）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求证：AD平分∠BAC；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
20．（8分）在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
（1）如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
（2）如图②，若∠BAD＝2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
21．（8分）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧上运动，连接EC，BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．
22．（10分）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且，连接DE．
（1）若140°，求∠C的度数．
（2）求证AB＝AP．
23．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
24．（12分）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PDAD，求证：MH⊥CP．
