浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0
∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·福建）已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵y=3x2+bx+1，
∴当x=0时，y=1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵
∴，
点A（-2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离 ，
∴，
故答案为：A.
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.
3．（2025·泸州）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证一定是负数，故C选项中原结论不正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A选项；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，即抛物线一定与x轴有两个不同的交点，据此可判断B；当x=-2时，y=4a+2b+c＞0，再将代入，即可判断D；当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证所有情况下一定是负数，据此可判断C选项.
4．（2021·巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0.其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点 和点 ，
点 与点 是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线 ，
设二次函数解析式为 ，
代入点 ， 得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为： ，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程 为 ，
即为 ，
， ，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故答案为：B.
【分析】由表格可以得到二次函数的对称轴为直线x=-1，设二次函数解析式为y=a(x+1)2+h，将点（-2，3）、（2，0）代入可得a、h的值，求出二次函数的解析式，得到c的值，据此判断①；求出b2-4ac的值，据此判断②；方程ax2+bx=0为x2+2x=0，求出x的值，据此判断③；求出7a+c的值，据此判断④.
5．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
6．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
7．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
8．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
9．（2022·南通）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°-60°=30°，
∴AB＝2BC=8，
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴，
∴；
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB AM BE＝8 3 x＝5 x，
∵OE2＝OM2＋EM2，
∴y＝（x 5）2＋3，
∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，
符合解析式的图象为C.
故答案为：C.
【分析】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定理求出AM的长；设BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.
10．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
12．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
13．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
14．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM= m。
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
15．（2024·白银）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵B（6，2.68），
∴OD=6，
∵CD=4米，
∴OC=OD-CD=2米，
在y＝-0.02x2+0.3x+1.6中，当x=2时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，
∵2.12＞1.8，
故可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先根据题意求出OC=2的值，从而将x=2代入函数解析式求出函数值，再与车的高度比较大小进行判断.
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·金东期末） 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
18．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
19．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
20．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
21．（2023·黄冈）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
（1）当 时，元/；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
【答案】（1）500
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入可得
解得，
∴y=x+10.
令y=35，得35=x+10，
解得x=500.
故答案为：500.
【分析】（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，然后令y=35，求出x的值即可；
（2）当200≤x≤600时，根据甲种蔬菜种植成本×种植面积+乙的种植成本×面积=总种植成本可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；当600（3）根据甲的种植面积×(成本+10)×(1-10%)2+乙的种植面积×成本×(1-a%)2=总种植成本可得关于a的方程，求解即可.
22．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
23．（2023·南充）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为，最后总结即可求解；
（3）是定值，先根据题意求出点D的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即得到直线GD的解析式，再运用一次函数的性质即可得到点M的坐标，进而得到EM的长，同理即可得到EN的长，进而即可求解。
24．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第1章 《二次函数》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于
D．当时，
2．（2025·福建）已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·泸州）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0.其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
5．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
8．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
9．（2022·南通）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·绥化）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，m），其中-4<-3.则下列结论：
①②方程没有实数根③④.
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
12．（2025·连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a（×-3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m.
13．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
14．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM= m。
15．（2024·白银）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·金东期末） 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
18．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
19．（2025·连云港）已知二次函数y=x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数.
（1）若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
20．（2025·内江） 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别的多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
21．（2023·黄冈）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
（1）当 时，元/；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
22．（2025·天津市）已知抛物线为常数，．
（I）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（II）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．
①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；
②若点，以AC为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．
23．（2023·南充）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
24．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧
∴方程的两根异号
∴
解得：0∴二次项系数a<0，开口向上，A错误
∵对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，B错误
当x=1时，y=-3
∴最小值为-3，C错误
当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3
∵0∴此时y<0，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵y=3x2+bx+1，
∴当x=0时，y=1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∵
∴，
点A（-2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离 ，
∴，
故答案为：A.
【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证一定是负数，故C选项中原结论不正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A选项；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，即抛物线一定与x轴有两个不同的交点，据此可判断B；当x=-2时，y=4a+2b+c＞0，再将代入，即可判断D；当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证所有情况下一定是负数，据此可判断C选项.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点 和点 ，
点 与点 是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线 ，
设二次函数解析式为 ，
代入点 ， 得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为： ，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程 为 ，
即为 ，
， ，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故答案为：B.
【分析】由表格可以得到二次函数的对称轴为直线x=-1，设二次函数解析式为y=a(x+1)2+h，将点（-2，3）、（2，0）代入可得a、h的值，求出二次函数的解析式，得到c的值，据此判断①；求出b2-4ac的值，据此判断②；方程ax2+bx=0为x2+2x=0，求出x的值，据此判断③；求出7a+c的值，据此判断④.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°-60°=30°，
∴AB＝2BC=8，
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴，
∴；
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB AM BE＝8 3 x＝5 x，
∵OE2＝OM2＋EM2，
∴y＝（x 5）2＋3，
∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，
符合解析式的图象为C.
故答案为：C.
【分析】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定理求出AM的长；设BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax2 +bx+c与x轴交于点A(3，0)，B(-1，0)， 图象开口向上，
∴对称轴直线为，
∴b=-2a ，
当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a-(- 2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=-3a，
∴a-c=a-(-3a)= 4a>0，故①正确：
②、图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y= ax2 +bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：
③、∵二次函数y=ax2 +bx+c与y轴交于点C(0，m)，其中-4∴当x=0，y=c=m，
∴-4∵c=-3a，b= -2a，
∴c=，
∴
解得，④、当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0， b=-2a，
∴b-a=-2a-a=-3a< 0，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，得b=-2a，当x=-1时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y= 5的关系有两个不同的交点，即方程ax2 + bx+c-5=0有两个不相等的实数根，可判定②；根据题意得到c=-3a，b= -2a，代入计算可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；逐一判断即可解答.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
12．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵OA=1.6
∴点A（0，1.6）
∴ a（0-3）2+2.5 =1.6
解之：
∴，
当y=0时，
解之：x1=8，x2=-2（舍去）
∴铅球掷出的水平距离OB为8m.
故答案为：8.
【分析】利用OA的长，可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得到的函数解析式，再求出y=0时的x的值，可得到OB的长.
13．【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
15．【答案】能
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵B（6，2.68），
∴OD=6，
∵CD=4米，
∴OC=OD-CD=2米，
在y＝-0.02x2+0.3x+1.6中，当x=2时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，
∵2.12＞1.8，
故可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先根据题意求出OC=2的值，从而将x=2代入函数解析式求出函数值，再与车的高度比较大小进行判断.
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
17．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
18．【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
19．【答案】（1）解：由二次函数的图象与直线有两个交点，
∴ x2+2（a+1）x+3a2-2a+3=2a2
∴x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0
∴b2-4ac＞0即4（a+1）2-4（a2-2a+3）＞0
解之：
（2）解：因为二次函数的图象与x轴有交点，
所以，
又因为，所以8(a-1)2=0，解得a=1
（3）证明：当时，，所以二次函数的图象不经过原点
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，将y=2a2代入二次函数解析式，可得到x2+2（a+1）x+a2-2a+3=0，根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4ac≥0，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.
20．【答案】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，
由题意得，40(400-m)+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4500，
∵-5<0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元 ”列出关于字母a、b的二元一次方程组，求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400-m)个，根据单价乘以数量等于总价及购进m个B款纪念品的费用+购进(400-m)个A款纪念品的费用不超过12000元，列出不等式，求出m的最小整数解即可；
（3）每一个A款纪念品的利润为(a-40)元，可销售A款纪念品的数量为[200-5(a-60)]个，根据每个A款纪念品的利润乘以销售数量等于总利润建立出w关于a的函数关系式，然后根据所得函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）500
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入可得
解得，
∴y=x+10.
令y=35，得35=x+10，
解得x=500.
故答案为：500.
【分析】（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，然后令y=35，求出x的值即可；
（2）当200≤x≤600时，根据甲种蔬菜种植成本×种植面积+乙的种植成本×面积=总种植成本可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；当600（3）根据甲的种植面积×(成本+10)×(1-10%)2+乙的种植面积×成本×(1-a%)2=总种植成本可得关于a的方程，求解即可.
22．【答案】解：（I），
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为．
（II）①点在抛物线上，
得．即．又，点，
．
根据题意，点在第四象限，过点作轴于点．
．得．
，有．
得．
∵，
∴．
．
由，得．
点的坐标为．
点在抛物线上，
．即．
解得（舍）．
点的坐标为．
②由，得．
在轴上点的左侧取点，使，连接GC．
，得．
，
．有，进而．
在Rt中，根据勾股定理，，
．有．
．
∵点，得．
．即．（*）
根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．
又中，．得．
．
当点在线段BC上时，取得最小值，即．
在Rt中，，
．
将（*）式代入，得．
解得（舍）．有．
点．
可得直线BC的解析式为．
设点的横坐标为，则．得．
点的坐标为．
线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将函数解析式转换为顶点式即可求出顶点P的坐标.
（2）①将点A坐标代入抛物线解析式可得，由，点可得，过点作轴于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，则点的坐标为，再将点D坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出答案.
②由，得，在轴上点的左侧取点，使，连接GC，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，进而，根据勾股定理可得GA，根据边之间的关系可得GO，根据两点间距离可得，建立方程可得，根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得，根据平行四边形性质可得．得，再根据边之间的关系可得，当点在线段BC上时，取得最小值，即，根据勾股定理可得，联立返程，解方程可得，则点，求出直线BC的解析式为，设点的横坐标为，建立方程，解方程可得点的坐标为，再根据平移的性质即可求出答案.
23．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为，最后总结即可求解；
（3）是定值，先根据题意求出点D的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即得到直线GD的解析式，再运用一次函数的性质即可得到点M的坐标，进而得到EM的长，同理即可得到EN的长，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
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