浙教版数学九年级上册单元检测卷第3章 《圆的基本性质》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·剑阁模拟）如图，均为的半径，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
3． 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点.若∠BOC=66°，则∠A=( )
A．66° B．33° C．24° D．30°
4．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
5．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
6． 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A．1 B． C．2 D．2
7．（2025·青海） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CAB=40°， 则∠ADC的度数是( )
A．80° B．50° C．40° D．25°
8．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4，则图中阴影部分的面积为( )
A．32-8π B． C．32-4π D．
9．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( ).
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
10．如图，半径为 5 的 扇 形 AOB 中，∠AOB=90°，C 是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E.若CD=CE，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm.
12．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
13．（2024·黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
14．（2025·扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝ °．
15．（2025·连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 .
16．（2025·成都）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·广西）如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
18．（2025·安徽） 如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求AB的长.
19．（2023·南通）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．（2025·辽宁）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
21．（2024·安徽）如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求AC的长．
22．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
23．（2023·株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
24．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"可得，然后由角的构成得∠AOC=2∠BOC可求解．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
是等边三角形，
∵正六边形的周长是12，
∴⊙O的半径是2.
故答案为： C.
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ADC=50°
故选：B.
【分析】根据直径所对圆周角为直角可得∠ABC的度数，再由同弧所对圆周角相等即可得∠ADC的度数.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC.
∵两弧有且仅有一个公共点，
∴在 中，
∵两个扇形均为 圆，而且它们的半径相等，
∴两个扇形为 圆，面积之和为=8π，
故答案为： D.
【分析】连接AC， 在 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积，两个扇形为 圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据 计算阴影部分的面积即可.
9．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，
∵AB=16厘米，
∴(厘米)，
∵OA=10厘米，
∴(厘米)，
∴海平线以下部分的高度=OA+OD=10+6=16(厘米)
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟
∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/分)
故答案为：A.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
CE ，
∴四边形OECD是矩形，
∴四边形OECD是正方形，
和 全等，
故答案为： B.
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可.
11．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
12．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
13．【答案】65
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接CD，
∵，
∴∠D=∠B=25°，
又∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠D-∠ACD=65°.
故答案为：65.
【分析】利用同弧所对圆周角相等将条件转换往目标角靠拢，结合直径所对圆周角为直角即可推理计算得出目标角度数.
14．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：40.
【分析】根据圆周角定理求得 的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案.
15．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴ 劣弧的长为
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再利用弧长公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ABCD是平行四边形，OA=OC，
∴ABCD是菱形，
∴OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
又∵OC∥AB，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先判断ABCD是菱形，即可得到△OAB是等边三角形，OC∥AB，进而得到∠AOB=60°，然后得到解答即可.
17．【答案】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；圆周角定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠COB，再根据全等三角形性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：由圆心角和圆周角的关系知，.
由条件知，∠DAB+∠AOC=180°，故OC∥AD
（2）解： 连接BD，交OC于点E，
由题意知，，O是AB的中点，
又因为，所以，且OE是的中位线，
从而.
设半圆的半径为r，则.
由勾股定理知，，
即，解得，(舍去).
故
【知识点】圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠AOC=2∠ABC，利用已知可推出∠DAB+∠AOC=180°，据此可证得结论.
（2）连接BD，交OC于点E，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，由点O是AB的中点，OC∥AD，可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形中位线定理求出OE的长，设圆O的半径为r，可表示出CE的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可得到AB的长.
19．【答案】（1）证明：连接，
和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可证得OC⊥AB，利用等腰三角形的性质可求出∠AOC=∠BOC=60°，可证得△ODC和△OCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出OD=CD=CE=OE，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
（2）连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可求出OF的长，同时可证得DE=2DF，利用勾股定理求出DF的长，可得到DE的长；然后利用菱形和扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
20．【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠AEF，
∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC
∴∠CEB=∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90°
即CD⊥AB.
（2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE，
∴BE=BC，
∵FA=FE，，
∴AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，
∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6，
∴BC=BE=OB-OE=3-1=2，
∴AC===.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解；
（2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可.
22．【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
23．【答案】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）解：①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，即，进而得到即可求解；
（2）①先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
②先根据题意得到AB的长，进而结合题意即可得到，再运用勾股定理即可求出DA的长，进而根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
24．【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，进而根据角平分线的定义得到，从二人根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而结合题意进行线段的运算得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据角的运算即可求解；
选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再根据题意进行角的运算得到，再进行线段的运算得到，等量代换即可求解；
（3）连接，取的中点F，连接，根据根据角平分线的定义结合弧的关系得到，进而得到，从而得到，根据圆周角定理得到，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明得到，最后结合题意即可求解。
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第3章 《圆的基本性质》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·剑阁模拟）如图，均为的半径，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据圆心角定理"在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等"可得，然后由角的构成得∠AOC=2∠BOC可求解．
2．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
3． 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点.若∠BOC=66°，则∠A=( )
A．66° B．33° C．24° D．30°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
4．（2025·上海市）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AD并延长交☉O于点E，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴BD=DC=4，OD⊥BC，
∵锐角三角形ABC中，AB=AC，
∴外接圆心O在AD上，
连接OB，由勾股定理得：
，
设以D为圆心的圆的半径为r，☉D，☉O相交应满足：|5-r|即5-r<3<5+r，
解得：2故答案为：B.
【分析】根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当☉D与⊙O相交时，圆心距需满足条件|5-r|5．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
6． 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A．1 B． C．2 D．2
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB， OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
是等边三角形，
∵正六边形的周长是12，
∴⊙O的半径是2.
故答案为： C.
【分析】连接OB，OC，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论.
7．（2025·青海） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CAB=40°， 则∠ADC的度数是( )
A．80° B．50° C．40° D．25°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ADC=50°
故选：B.
【分析】根据直径所对圆周角为直角可得∠ABC的度数，再由同弧所对圆周角相等即可得∠ADC的度数.
8．如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4，则图中阴影部分的面积为( )
A．32-8π B． C．32-4π D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC.
∵两弧有且仅有一个公共点，
∴在 中，
∵两个扇形均为 圆，而且它们的半径相等，
∴两个扇形为 圆，面积之和为=8π，
故答案为： D.
【分析】连接AC， 在 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积，两个扇形为 圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据 计算阴影部分的面积即可.
9．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( ).
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，
∵AB=16厘米，
∴(厘米)，
∵OA=10厘米，
∴(厘米)，
∴海平线以下部分的高度=OA+OD=10+6=16(厘米)
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟
∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/分)
故答案为：A.
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解.
10．如图，半径为 5 的 扇 形 AOB 中，∠AOB=90°，C 是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E.若CD=CE，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，
CE ，
∴四边形OECD是矩形，
∴四边形OECD是正方形，
和 全等，
故答案为： B.
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm.
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
12．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
13．（2024·黑龙江）如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
【答案】65
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接CD，
∵，
∴∠D=∠B=25°，
又∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠D-∠ACD=65°.
故答案为：65.
【分析】利用同弧所对圆周角相等将条件转换往目标角靠拢，结合直径所对圆周角为直角即可推理计算得出目标角度数.
14．（2025·扬州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝ °．
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
故答案为：40.
【分析】根据圆周角定理求得 的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案.
15．（2025·连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 .
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
∴ 劣弧的长为
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再利用弧长公式进行计算.
16．（2025·成都）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ABCD是平行四边形，OA=OC，
∴ABCD是菱形，
∴OA=OB=AB，OC∥AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
又∵OC∥AB，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先判断ABCD是菱形，即可得到△OAB是等边三角形，OC∥AB，进而得到∠AOB=60°，然后得到解答即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·广西）如图，已知是的直径，点在上，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；圆周角定理；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠COB，再根据全等三角形性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．（2025·安徽） 如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求AB的长.
【答案】（1）证明：由圆心角和圆周角的关系知，.
由条件知，∠DAB+∠AOC=180°，故OC∥AD
（2）解： 连接BD，交OC于点E，
由题意知，，O是AB的中点，
又因为，所以，且OE是的中位线，
从而.
设半圆的半径为r，则.
由勾股定理知，，
即，解得，(舍去).
故
【知识点】圆周角定理；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠AOC=2∠ABC，利用已知可推出∠DAB+∠AOC=180°，据此可证得结论.
（2）连接BD，交OC于点E，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，由点O是AB的中点，OC∥AD，可推出OE是△ABD的中位线，利用三角形中位线定理求出OE的长，设圆O的半径为r，可表示出CE的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可得到AB的长.
19．（2023·南通）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接，
和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可证得OC⊥AB，利用等腰三角形的性质可求出∠AOC=∠BOC=60°，可证得△ODC和△OCE是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出OD=CD=CE=OE，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
（2）连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可求出OF的长，同时可证得DE=2DF，利用勾股定理求出DF的长，可得到DE的长；然后利用菱形和扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
20．（2025·辽宁）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
21．（2024·安徽）如图，是的外接圆，D是直径AB上一点，的平分线交AB于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠AEF，
∵∠FAE=∠BCF，∠AEF=∠BEC
∴∠CEB=∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE）=90°
即CD⊥AB.
（2）解：由（1）知：∠CEB=∠BCE，
∴BE=BC，
∵FA=FE，，
∴AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，
∴AO=AE-OE=4-1=3，即AB=6，
∴BC=BE=OB-OE=3-1=2，
∴AC===.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角的性质可推出∠CEB=∠BCE，由角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，由AB为直径可得∠ACB=90°，从而得出∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，再根据三角形内角和可得∠CDE=90°，继而得解；
（2）由（1）知：∠CEB=∠BCE，可得BE=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得AM=ME=OM+OE=2，即AE =4，从而求出AO=3，AB=6，再根据勾股定理求出AC即可.
22．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
23．（2023·株洲）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．
（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
（2）解：①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，即，进而得到即可求解；
（2）①先根据圆内接四边形的性质即可得到，进而结合题意即可得到，再根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
②先根据题意得到AB的长，进而结合题意即可得到，再运用勾股定理即可求出DA的长，进而根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
24．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，进而根据角平分线的定义得到，从二人根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而结合题意进行线段的运算得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据角的运算即可求解；
选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再根据题意进行角的运算得到，再进行线段的运算得到，等量代换即可求解；
（3）连接，取的中点F，连接，根据根据角平分线的定义结合弧的关系得到，进而得到，从而得到，根据圆周角定理得到，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明得到，最后结合题意即可求解。
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