浙教版数学九年级上册单元检测卷第3章 《圆的基本性质》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·兰州） 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
2．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3． 点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A=70°，⊙O的半径为3，则的长是( )
A． B． C． D．7π
4． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB垂直，垂足为E，连结CO并延长，交⊙O于点F，∠CDB=30°，CD=2 则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
5．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
8．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·武威）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
10． 如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB 的中点，CD⊥OB 交 于点D，以OC 为半径的CE交OA 于点E，则图中阴影部分的面积是( ).
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为 .
12．如图，六边形 ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABC-DEF的面积为S1，△ACE 的面积为 S2，则 .
13．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为 ．
14．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2025·宜宾）如图，已知是的圆周角，，则 °
16．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 M 在⊙O 上，MD恰好经过圆心O，连结MB.
（1）若CD=8，BE=2，求⊙O的半径；
（2）若AB=10，∠M=∠D，求的长.
18．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
19． 如图，已知⊙O的半径为 四边形 ABCD 内接于⊙O，连结 AC，BD，DB=DC，∠BDC=45°
（1）求的长；
（2）求证：AD 平分△ABC的外角∠EAC.
20．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
21．（2025·东莞模拟）如图，点，，在上，于点，交于点，连接，于点，与相文于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．如图，点 C 为△ABD 外接圆上的一动点(点 C 不在 上，且不与点B，D重合)，∠ACB=∠ABD=45°.
（1）求证：BD 是该外接圆的直径.
（2）连接CD，求证：
（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的数量关系，并证明你的结论.
23．（2025·封开模拟）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、．
【初步探索】
（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
24．（2025·冷水滩模拟）回归课本
（1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________．
深挖问题
（2）在（1）的条件下，求的长．
探究发现
（3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，
∴图2中∠ABC=90+60=150
故答案为：D .
【分析】观察图形发现图2中∠ABC由一个正三角形的内角和一个正方形的内角组成，再根据正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AO； 延长AO， 交⊙O于点D.
故答案为： B.
【分析】连接AO；延长AO，交⊙O于点D.根据圆周角定理求出 的度数，再由弧长公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图， 连接OD.
∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°， EC = DE =
∵∠CDB=30°，
∴∠B=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB =60°，
∵AB⊥CD，
= 90°，
∴OE=1， OC=2，
故答案为：B.
【分析】连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，证明∠COB=∠BOD=60°， 求出OC即可解决问题.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，
∴
∵ ∠ADC＝30°，
∴∠BOC=2∠ADC=60°
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC= 180° -∠ABC，
∵
∴∠ADC= 180°-70°= 1100
∵，
∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=S5°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，根据得到∠ADB=∠BDC，计算即可得到∠BDC的度数.
10．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，DB，
∵点C为OB的中点，
∴，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形BOD-S△COD)
故答案为：C.
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去空白部分BDC即可求出阴影部分的面积.
11．【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
12．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可得：6，
如图所示， 连接OA， OC， OE.
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
是⊙O的内接正三角形，
同理可得，
又·
圆和正六边形的性质可得，
由圆和正三角形的性质可得，
故答案为：2.
【分析】连接OA， OC， OE， 首先证明出 是⊙O的内接正三角形，然后证明出 (ASA)， 得到进而求解即可.
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
15．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：∵∠BAC是 的圆周角，∠BAC=40° ，
∴∠BOC= 2∠BAC = 80° ，
∵ OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB =，
故答案为：50.
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可解答.
16．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
四边形 DMCN 是正方形，
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
∴CD 平分∠BCA.
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN.
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN.
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA)，
，
则阴影部分的面积是 ，
故答案为： .
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，可得四边形 DMCN 是正方形，求出扇形的面积，然后证明△DMG≌△DNH，即可得到，然后计算阴影部分的面积.
17．【答案】（1）解：设⊙O的半径为r，
在 中， D
解得
∴⊙O的半径为5；
（2）解：如图， 连接OC，
∵OM=OB，
∴∠B=∠M，
∴∠DOB=∠B+∠M =2∠B，
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°，
∵∠B=∠D，
∴2∠D+∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD =120°，
的长为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由 得到 在 中，利用勾股定理得 解得 所以⊙O的半径为5；
(2)由 得到 根据三角形外角性质得 ，则 加上 所以 ，然后解方程即可得的度数，即可得出 OD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
19．【答案】（1）解：如图，连接OB， OC，
∵∠BDC =45°，
∴∠BOC =2∠BDC = 90°，
的长为
（2）证明：∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠DCB.
∵∠DCB+∠DAB=180°，∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠EAD=∠DCB，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∴ AD 平分△ABC的外角∠EAC.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)连接OB， OC， 根据圆周角定理得∠BOC =2∠BDC =90°，再根据弧长公式计算即可；
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠DCB=∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB=∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC =∠DAC，等量代换得到答案.
20．【答案】（1）证明：连接CD
∵BD为直径
∴∠BCD=90°
∴∠CBE+∠BDC=90°，
∵AC平分∠BAF
∴∠ABC=∠CAF
又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=∠CAF
∵AF⊥BD
∴∠AEF+∠CAF=90°
∴∠AEF=∠CBD
∵∠AEF=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴BC=CE
（2）解：连接AD
如图，GE=OG+OE=1+1=2，
由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6
OD=3，DE=OD-OE=3-1=2
∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE
∴∠AEF=∠CAD
AD=DE=2
在△ABD中，由勾股定理得AB=
即
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接CD，知∠BAC=∠BDC，再结合角平分线概念和互余关系可得∠CBE=∠BEC，即可得证；
(2)由等腰三角形的性质知BG=2，结合角度关系可得AD=DE，利用勾股定理即可得AB的长.
21．【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：连接，
∵直径，
，
，
，
设圆的半径是，
，
，
，
，
∴的半径长是。
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据，可推出，进而可得，从而得到，由对顶角的性质得到，因此，由圆周角定理得到，推出，即可证明；
（2）连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，代入数据求出EG的值，设圆的半径是，由勾股定理得到，即可求出r的值
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
∵直径，
，
，
，
设圆的半径是，
，
，
，
，
∴的半径长是．
22．【答案】（1）证明：
∴BD是 的外接圆的直径
（2）证明： 作 ，交CD的延长线于E，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
（3）解： 理由如下：延长MB交⊙O于F， 连接AF， DF，
∵BD为直径，
在 中，有
【知识点】圆周角定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得 ， .从而得出 ，即可证明结论；
(2)作 交CD的延长线于E，利 用SAS证明 得 从而解决问题；
(3)延长MB交⊙O于F， 连接AF， DF， 首先证明是等腰直角三角形，再利用弧、弦、圆心角之间的关系证明得 从而解决问题.
23．【答案】（1）
（2）∵是的弦，且的半径为8，
∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
，
∴的最大值是16；
（3）∵，，
∴是的直径，且圆心在上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
，，
，
∵，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴
，
∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴周长的最大值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由旋转得，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转的性质可知，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解.
（2）当经过圆心，利用圆中最长的弦是直径，可知的值最大，最大值为16，即可求解.
（3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，利用圆的内接四边形性质得，由此可知、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，然后求出△PBC的周长即可.
24．【答案】解：（1）8，；
（2）如图，延长至点，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
∵，
，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又是的直径，
，
∴，
，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
；
（3）延长至点，使，连接，
由（2）同理可证，，
，，
又∵，
，
，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）是的直径，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8，.
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的定义得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至点，使，连接，结合圆内接四边形性质求出，由角平分线定义以及同一圆内，圆周角和弦的关系确定，从而推出，得，，然后根据直径所对的圆周角是直角得，进而得，利用勾股定理得，最后求的长代入进行求解；
（3）延长至点，使，连接，由（2）同理可证，，从而得，利用勾股定理得，最后代入数据即可求解.
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第3章 《圆的基本性质》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·兰州） 图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解： ∵正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，
∴图2中∠ABC=90+60=150
故答案为：D .
【分析】观察图形发现图2中∠ABC由一个正三角形的内角和一个正方形的内角组成，再根据正方形的一个内角为90， 正三角形的一个内角为60，计算即可解答.
2．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
3． 点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A=70°，⊙O的半径为3，则的长是( )
A． B． C． D．7π
【答案】B
【知识点】弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AO； 延长AO， 交⊙O于点D.
故答案为： B.
【分析】连接AO；延长AO，交⊙O于点D.根据圆周角定理求出 的度数，再由弧长公式计算即可.
4． 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB垂直，垂足为E，连结CO并延长，交⊙O于点F，∠CDB=30°，CD=2 则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图， 连接OD.
∵AB⊥CD，
∴∠DEB=90°， EC = DE =
∵∠CDB=30°，
∴∠B=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB =60°，
∵AB⊥CD，
= 90°，
∴OE=1， OC=2，
故答案为：B.
【分析】连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，证明∠COB=∠BOD=60°， 求出OC即可解决问题.
5．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
6．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，
∴
∵ ∠ADC＝30°，
∴∠BOC=2∠ADC=60°
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
8．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
9．（2025·武威）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC= 180° -∠ABC，
∵
∴∠ADC= 180°-70°= 1100
∵，
∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=S5°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，根据得到∠ADB=∠BDC，计算即可得到∠BDC的度数.
10． 如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB 的中点，CD⊥OB 交 于点D，以OC 为半径的CE交OA 于点E，则图中阴影部分的面积是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，DB，
∵点C为OB的中点，
∴，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴，
∴，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形BOD-S△COD)
故答案为：C.
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，继而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去空白部分BDC即可求出阴影部分的面积.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为 .
【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
12．如图，六边形 ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABC-DEF的面积为S1，△ACE 的面积为 S2，则 .
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可得：6，
如图所示， 连接OA， OC， OE.
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
是⊙O的内接正三角形，
同理可得，
又·
圆和正六边形的性质可得，
由圆和正三角形的性质可得，
故答案为：2.
【分析】连接OA， OC， OE， 首先证明出 是⊙O的内接正三角形，然后证明出 (ASA)， 得到进而求解即可.
13．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
14．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
15．（2025·宜宾）如图，已知是的圆周角，，则 °
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：∵∠BAC是 的圆周角，∠BAC=40° ，
∴∠BOC= 2∠BAC = 80° ，
∵ OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB =，
故答案为：50.
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可解答.
16．（2025·浙江模拟）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
四边形 DMCN 是正方形，
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D 为AB的中点，
∴CD 平分∠BCA.
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN.
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN.
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA)，
，
则阴影部分的面积是 ，
故答案为： .
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，可得四边形 DMCN 是正方形，求出扇形的面积，然后证明△DMG≌△DNH，即可得到，然后计算阴影部分的面积.
三、解答题（共8题，共72分）
17． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 M 在⊙O 上，MD恰好经过圆心O，连结MB.
（1）若CD=8，BE=2，求⊙O的半径；
（2）若AB=10，∠M=∠D，求的长.
【答案】（1）解：设⊙O的半径为r，
在 中， D
解得
∴⊙O的半径为5；
（2）解：如图， 连接OC，
∵OM=OB，
∴∠B=∠M，
∴∠DOB=∠B+∠M =2∠B，
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°，
∵∠B=∠D，
∴2∠D+∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD =120°，
的长为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由 得到 在 中，利用勾股定理得 解得 所以⊙O的半径为5；
(2)由 得到 根据三角形外角性质得 ，则 加上 所以 ，然后解方程即可得的度数，即可得出 OD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论.
18．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
19． 如图，已知⊙O的半径为 四边形 ABCD 内接于⊙O，连结 AC，BD，DB=DC，∠BDC=45°
（1）求的长；
（2）求证：AD 平分△ABC的外角∠EAC.
【答案】（1）解：如图，连接OB， OC，
∵∠BDC =45°，
∴∠BOC =2∠BDC = 90°，
的长为
（2）证明：∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB.
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠DCB.
∵∠DCB+∠DAB=180°，∠EAD+∠DAB=180°，
∴∠EAD=∠DCB，
∴ ∠EAD = ∠CAD，
∴ AD 平分△ABC的外角∠EAC.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)连接OB， OC， 根据圆周角定理得∠BOC =2∠BDC =90°，再根据弧长公式计算即可；
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠DCB=∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB=∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC =∠DAC，等量代换得到答案.
20．（2025·深圳模拟） 如图，内接于，是的直径，与交于点E，于点F，且平分．
（1）求证：；
（2）若，垂足为G，且，请补全图形，并求出的长．
【答案】（1）证明：连接CD
∵BD为直径
∴∠BCD=90°
∴∠CBE+∠BDC=90°，
∵AC平分∠BAF
∴∠ABC=∠CAF
又∵∠BAC=∠BDC
∴∠BDC=∠CAF
∵AF⊥BD
∴∠AEF+∠CAF=90°
∴∠AEF=∠CBD
∵∠AEF=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴BC=CE
（2）解：连接AD
如图，GE=OG+OE=1+1=2，
由(1)知BC=CE，而CG⊥BE，得BG=GE=2，故OB=BG+OB=2+1=3，得BD=2OB=6
OD=3，DE=OD-OE=3-1=2
∵∠CAD=∠CBD，∠AEF=∠CBE
∴∠AEF=∠CAD
AD=DE=2
在△ABD中，由勾股定理得AB=
即
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接CD，知∠BAC=∠BDC，再结合角平分线概念和互余关系可得∠CBE=∠BEC，即可得证；
(2)由等腰三角形的性质知BG=2，结合角度关系可得AD=DE，利用勾股定理即可得AB的长.
21．（2025·东莞模拟）如图，点，，在上，于点，交于点，连接，于点，与相文于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：连接，
∵直径，
，
，
，
设圆的半径是，
，
，
，
，
∴的半径长是。
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据，可推出，进而可得，从而得到，由对顶角的性质得到，因此，由圆周角定理得到，推出，即可证明；
（2）连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，代入数据求出EG的值，设圆的半径是，由勾股定理得到，即可求出r的值
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
∵直径，
，
，
，
设圆的半径是，
，
，
，
，
∴的半径长是．
22．如图，点 C 为△ABD 外接圆上的一动点(点 C 不在 上，且不与点B，D重合)，∠ACB=∠ABD=45°.
（1）求证：BD 是该外接圆的直径.
（2）连接CD，求证：
（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：
∴BD是 的外接圆的直径
（2）证明： 作 ，交CD的延长线于E，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
（3）解： 理由如下：延长MB交⊙O于F， 连接AF， DF，
∵BD为直径，
在 中，有
【知识点】圆周角定理；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等得 ， .从而得出 ，即可证明结论；
(2)作 交CD的延长线于E，利 用SAS证明 得 从而解决问题；
(3)延长MB交⊙O于F， 连接AF， DF， 首先证明是等腰直角三角形，再利用弧、弦、圆心角之间的关系证明得 从而解决问题.
23．（2025·封开模拟）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、．
【初步探索】
（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）∵是的弦，且的半径为8，
∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
，
∴的最大值是16；
（3）∵，，
∴是的直径，且圆心在上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
，，
，
∵，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴
，
∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴周长的最大值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由旋转得，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转的性质可知，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解.
（2）当经过圆心，利用圆中最长的弦是直径，可知的值最大，最大值为16，即可求解.
（3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，利用圆的内接四边形性质得，由此可知、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，然后求出△PBC的周长即可.
24．（2025·冷水滩模拟）回归课本
（1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________．
深挖问题
（2）在（1）的条件下，求的长．
探究发现
（3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系．
【答案】解：（1）8，；
（2）如图，延长至点，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
∵，
，
是的平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又是的直径，
，
∴，
，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
；
（3）延长至点，使，连接，
由（2）同理可证，，
，，
又∵，
，
，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）是的直径，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8，.
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的定义得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至点，使，连接，结合圆内接四边形性质求出，由角平分线定义以及同一圆内，圆周角和弦的关系确定，从而推出，得，，然后根据直径所对的圆周角是直角得，进而得，利用勾股定理得，最后求的长代入进行求解；
（3）延长至点，使，连接，由（2）同理可证，，从而得，利用勾股定理得，最后代入数据即可求解.
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