浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章 《相似三角形》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
2．（2025·嘉峪关模拟）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
故答案为：。
【分析】根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，进而可得，由，可得，然后再根据平行线的性质，可得，代入数据，即可求出CF，然后由即可求解
3．（2025·龙港模拟）如图，直线，直线AC分别交于点；直线DF分别交于点．若，则EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由 知即有得EF=4.
故答案为：C.
【分析】直接由平行线分线段成比例得到，代入数据即可得EF的长.
4．（2025·玉林模拟）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：、相交于点，
是烛焰的高，是实像的高，
，
，
蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AC//DB，再证明，最后利用相似三角形的性质计算求解即可.
5．（2025·内蒙古自治区）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，
∴AC∥A'C'，
∴
∴
∵与的相似比为，
∴，
∴
∵，
∴OC=2，AC=1，
∴OC'=4，A'C'=2，
∴A'的坐标为：（-4，-2）。
故答案为：B.
【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。
6．（2024九上·娄底期末）已知，则下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
7．（2025·杭州三模）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．4.5
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
∴，
即
解得FC=6，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答.
8．（2025·纳溪模拟）如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是6，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC，BC⊥AG，
∴△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，
∴，，
∵，
∴，
∴AG=2CD=12，CM=AD=3，
∴BG=AG-AB=6，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质易得△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，根据相似比求出AG、CM的长，进而求出BG的长，再根据勾股定理求出的长即可．
9．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC
C．BC=2DE D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D， E分别为边AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
故A、C选项不符合题意.
故B选项不符合题意.
，
则
故D选项符合题意.
故选： D.
【分析】根据题中所给条件可得出. 与 相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题.
10．（2024九下·大庆期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
12．如图，四边形 ABCD是菱形，对角线. 于点E，交 AC于点 F，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
AB，
∴菱形ABCD的面积
，
的面积
故答案为：
【分析】由菱形的性质推出 由勾股定理求出由菱形ABCD的面积求出 由勾股定理求出 求出△AOD的面积 由 OD， 根据面积比等于相似比的平方解答即可
13． 如图，△ABC与△A B C 位似，点 O为位似中心，若AA =3OA ，B C =5，则 BC的长为 .
【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵AA'=3OA'
∴.
∵△ABC与△A'B'C'位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A'B'C'，且AC//AA'
∴，
∵B'C'=5，
∴BC=10.
故答案为：10.
【分析】根据位似图形的定义得到△ABC∽△A'B'C'，且AC//AA'，根据相似三角形的性质求出，进而计算即可.
14．如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一点，且 现将△ABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕为EF，点 E，F 分别在AC 和BC上，则 。
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解设AD=k， 则DB=2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=3k，
∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠，得
CE= DE， CF=DF
∴△AED的周长为4k， △BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF=DE：DF=4：5.
故答案为：.
【分析】求出△AED∽△BDF， 由折叠得出CE = DE，CF= DF， 求出△AED的周长为4k， △BDF的周长为5k，得出△AED与△BDF的相似比即可.
15．（2025·冷水滩模拟）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】线根据三角形中位线定理得出，，由平行四边形的性质得出，，，从而而得出，，进而推出，然后根据相似三角形对应边成比例性质可得出，据此即可求的长度.
16．（2025·杭州模拟）如图，在中，点D，E分别在AB，BC边上，，且，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE~△BAC，
∴，
∵CE=3BE，
∴BC =4BE，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明△BDE~△BAC，则根据相似三角形的性质得到，然后证明BC=4BE，即可得出结果.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·定海模拟）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
【答案】（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
18． 如图，在△ABC中，点 D，E，F分别在边 AB，AC，BC 上，连 结 DE，EF. 已 知 四 边 形BFED是平行四边形，
（1）若AB=15，求线段BD的长；
（2）若△ADE 的面积为 3，求 BFED 的面积.
【答案】（1）解；∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB=3，
∴BD=12；
（2）j解：
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DE∥BF，BD∥EF，
∴∠ADE=∠B=∠EFC， ∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC，
∵△ADE的面积为3，
∵△ADE∽△ABC，
∴平行四边形BFED的面积= 75-48-3 =24.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)通过证明△ADE∽△ABC， 可得 ，即可求解；
(2)由相似三角形的性质分别求出△ABC和△EFC的面积， 即可求解.
19． 如图甲所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是AB 中点，连结DE 并延长，交CB 的延长线于点F.
（1）求证：
（2）如图乙所示，连结CE，过点 A 作. 交DE 于点G.求证：EC
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥FB，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BFE(AAS)
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADE=∠BFE，
由(1)得△ADE≌△BFE，
∴AD=FB，
∴FC=FB+BC=2AD，
∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠CEG，
∴∠AGD=∠CEF，
∴△ADG∽△CFE，
∴，
∴EC=2AG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质证得∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，再由点E是AB中点，得AE=BE，即可求解；
(2)由(1)可知△ADE≌△BFE，得出AD=FB，再由△ADG∽△CFE，即可推出结论.
20． 如图所示，已知矩形ABCD，点E 在CB 延长线上，点 F 在BC 延长线上，过点F 作FH⊥EF 交ED 的延长线于点 H，连结 AF 交EH 于点G，GE=GH.
（1）求证：BE=CF；
（2）当 时，求 EF 的长.
【答案】（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE=90°，
∵GE=GH，
∴FG=EH=GE=GH，
∴∠E=∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴BF=CE，
∴BF-BC=CE--BC，即BE=CF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB=CD，BC=AD=4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
设BE=CF=x，∴EC=x+4，EF=2x+4，
解得x=1，
∴EF=6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=GE=GH，由等边对等角得∠E=∠GFE，再由矩形的性质可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，即可依据AAS证明△ABF≌△DCE，由全等的性质可得BF=CE，即BE=CF；
（2）由矩形的性质结合垂直的概念可得，又是公共角相等，则可证明△ECD∽△EFH，则由相似比可得，为便于计算可设CF=x，则EC、EF均可于含x的代数式表示，即有解方程求出x，则EF可求.
21．（2025·浙江模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AD上一点，以BE为直角边向外作等腰直角三角形BEF，且∠BEF＝90°，BF和EF分别交CD于点M，N．解答下列问题：
（1）当E为AD中点时，求DN，CM的长；
（2）当CM＝DN时，求AE的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AD中点，
∴AE=ED=1，
∵△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
又∵正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF
∴△ABE~△DEN
∴
∴DN＝，
∵∠A=∠C=90°，∠ABE+∠CBM=45°，∠AEB+∠ABE=90°，∠BEC+∠AEB=180°，∠BEC=135°，∠EBC+∠ECB=45°，
∴∠ABE=∠MBC，
∴△BCM~△BAE
∴
∴CM＝
（2）解：设AE=x，则ED=2-x，CM=DN=y，则DM=2-y，
由(1)可知，△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，
∴，，
即，，
将代入中，
得到
解得(舍去不合理的根)
∴AE＝
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质和等腰三角形的性质，推出△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，进而得出结论；
(2)设AE=x，则ED=2-x，CM=DN=y，则DM=2-y，由(1)可知，△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，推出，，进而得出结论.
22．（2025·绍兴三模）如图，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，点D是边AB上一点，过点D作DE//BC交AC于点E，以DE 为边作矩形 DEFG，其中点F、G落在边BC上.
（1）当AD=BD 时，求矩形 DEFG 的面积；
（2）当DE 经过△ABC 的重心时，求矩形 DEFG的面积.
【答案】（1）解：如图，作，
，
，
四边形DEFG是矩形，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，点O是中线AH、BK的交点，
点O是中线AH、BK的交点，
，
，
，
，
，
.
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可得，再通过相似三角形的性质证得，进而求得.
(2)利用重心的性质可得，再利用平行线的性质证得，然后通过相似三角形的性质得到，继而计算出矩形DEFG的面积.
23．（2024九上·杭州期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点，过点，，的圆交于点，连接交于点．
（1）证明：．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，，
，
，
≌，
，
，
，
（2）证明：如图，
作，交于，
，∽，
，
由知，
，
，
，
（3）解：如图，
延长，交于，作于，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
不妨设，则，，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据四边形BFPH是圆的内接四边形，得出∠AFP=∠DHB，可证明△ADF≌△CDH，从而得出DF=DH，可证明△DBF≌△DBH，从而∠DFB=∠DHB，从而∠AFP=∠DFB，进一步得出结果；
(2)作FW//DF，交AB于W，可推出
∠AFD=∠KWF，△BWK∽△BFD，从而得出，KF=KW，进一步得出结果；
(3)延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，可证得DF=VF，从而DX=XV，进而得出AF=DX=XV，可证得△DVK∽△BFK，从而，进而可证得，不妨设CH=AF=DX=XV=1，则BF=4，DV=2，依次计算CD，CV，DH的值，可证得△DPV∽△DCH，进而可求得，进而得出结论.
24．（2025·高要模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值．
【答案】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的值为；
（3）如图所示，过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
∵，
∴设，，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质得到，从而求得，代换等角得到，即可利用AA判定，解答即可；
（2）根据同角的补角相等得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，利用AA判定，结合平行线的性质利用AA判定，再根据相似三角形的性质得到，代换得到，解答即可；
（3）过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，有平行四边形的性质得到，，，同（2）可得，即可设，，在上取一点P使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，再由等边三角形的性质 求得，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质得到，设，则，，得到，根据题意列方程，计算再代入比例线段中，即可得解答．
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章 《相似三角形》A卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
2．（2025·嘉峪关模拟）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2025·龙港模拟）如图，直线，直线AC分别交于点；直线DF分别交于点．若，则EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2025·玉林模拟）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·内蒙古自治区）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·娄底期末）已知，则下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·杭州三模）如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．4.5
8．（2025·纳溪模拟）如图，正方形的边长是6，E在对角线上，且，过作于，连接并延长交于，交的延长线于．则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC
C．BC=2DE D．
10．（2024九下·大庆期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·绥化）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为（3，7），（-9，-21），则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
12．如图，四边形 ABCD是菱形，对角线. 于点E，交 AC于点 F，则 .
13． 如图，△ABC与△A B C 位似，点 O为位似中心，若AA =3OA ，B C =5，则 BC的长为 .
14．如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一点，且 现将△ABC 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕为EF，点 E，F 分别在AC 和BC上，则 。
15．（2025·冷水滩模拟）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为 ．
16．（2025·杭州模拟）如图，在中，点D，E分别在AB，BC边上，，且，则的值为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·定海模拟）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：；
（2）当，求的值．
18． 如图，在△ABC中，点 D，E，F分别在边 AB，AC，BC 上，连 结 DE，EF. 已 知 四 边 形BFED是平行四边形，
（1）若AB=15，求线段BD的长；
（2）若△ADE 的面积为 3，求 BFED 的面积.
19． 如图甲所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是AB 中点，连结DE 并延长，交CB 的延长线于点F.
（1）求证：
（2）如图乙所示，连结CE，过点 A 作. 交DE 于点G.求证：EC
20． 如图所示，已知矩形ABCD，点E 在CB 延长线上，点 F 在BC 延长线上，过点F 作FH⊥EF 交ED 的延长线于点 H，连结 AF 交EH 于点G，GE=GH.
（1）求证：BE=CF；
（2）当 时，求 EF 的长.
21．（2025·浙江模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AD上一点，以BE为直角边向外作等腰直角三角形BEF，且∠BEF＝90°，BF和EF分别交CD于点M，N．解答下列问题：
（1）当E为AD中点时，求DN，CM的长；
（2）当CM＝DN时，求AE的长．
22．（2025·绍兴三模）如图，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，点D是边AB上一点，过点D作DE//BC交AC于点E，以DE 为边作矩形 DEFG，其中点F、G落在边BC上.
（1）当AD=BD 时，求矩形 DEFG 的面积；
（2）当DE 经过△ABC 的重心时，求矩形 DEFG的面积.
23．（2024九上·杭州期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点，过点，，的圆交于点，连接交于点．
（1）证明：．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
24．（2025·高要模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
故答案为：。
【分析】根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，进而可得，由，可得，然后再根据平行线的性质，可得，代入数据，即可求出CF，然后由即可求解
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由 知即有得EF=4.
故答案为：C.
【分析】直接由平行线分线段成比例得到，代入数据即可得EF的长.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：、相交于点，
是烛焰的高，是实像的高，
，
，
蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出AC//DB，再证明，最后利用相似三角形的性质计算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，
∴AC∥A'C'，
∴
∴
∵与的相似比为，
∴，
∴
∵，
∴OC=2，AC=1，
∴OC'=4，A'C'=2，
∴A'的坐标为：（-4，-2）。
故答案为：B.
【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。
6．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD//BC，EF//AD，
∴AD//EF//BC，
∴，
即
解得FC=6，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是6，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC，BC⊥AG，
∴△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，
∴，，
∵，
∴，
∴AG=2CD=12，CM=AD=3，
∴BG=AG-AB=6，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质易得△CED∽△AEG，△CEM∽△AED，根据相似比求出AG、CM的长，进而求出BG的长，再根据勾股定理求出的长即可．
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D， E分别为边AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
故A、C选项不符合题意.
故B选项不符合题意.
，
则
故D选项符合题意.
故选： D.
【分析】根据题中所给条件可得出. 与 相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：A．
【分析】
．过A作轴于C，过B作轴于D，利用k的几何意义表示出，，再利用AA证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可解答．
11．【答案】
【知识点】相似比；位似图形的性质
【解析】【解答】解：把 △ ABC以原点为位似中心缩小得到 △ A'B'C'，点 A 和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，
(-9，-21)，
则△ABC与△A'B'C'的相似比为.
故答案为：.
【分析】根据位似图形得性质：如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k，由此即可解答.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
AB，
∴菱形ABCD的面积
，
的面积
故答案为：
【分析】由菱形的性质推出 由勾股定理求出由菱形ABCD的面积求出 由勾股定理求出 求出△AOD的面积 由 OD， 根据面积比等于相似比的平方解答即可
13．【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵AA'=3OA'
∴.
∵△ABC与△A'B'C'位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A'B'C'，且AC//AA'
∴，
∵B'C'=5，
∴BC=10.
故答案为：10.
【分析】根据位似图形的定义得到△ABC∽△A'B'C'，且AC//AA'，根据相似三角形的性质求出，进而计算即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解设AD=k， 则DB=2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=3k，
∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠，得
CE= DE， CF=DF
∴△AED的周长为4k， △BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF=DE：DF=4：5.
故答案为：.
【分析】求出△AED∽△BDF， 由折叠得出CE = DE，CF= DF， 求出△AED的周长为4k， △BDF的周长为5k，得出△AED与△BDF的相似比即可.
15．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【分析】线根据三角形中位线定理得出，，由平行四边形的性质得出，，，从而而得出，，进而推出，然后根据相似三角形对应边成比例性质可得出，据此即可求的长度.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE~△BAC，
∴，
∵CE=3BE，
∴BC =4BE，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明△BDE~△BAC，则根据相似三角形的性质得到，然后证明BC=4BE，即可得出结果.
17．【答案】（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）解；∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB=3，
∴BD=12；
（2）j解：
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DE∥BF，BD∥EF，
∴∠ADE=∠B=∠EFC， ∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC，
∵△ADE的面积为3，
∵△ADE∽△ABC，
∴平行四边形BFED的面积= 75-48-3 =24.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)通过证明△ADE∽△ABC， 可得 ，即可求解；
(2)由相似三角形的性质分别求出△ABC和△EFC的面积， 即可求解.
19．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥FB，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BFE(AAS)
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADE=∠BFE，
由(1)得△ADE≌△BFE，
∴AD=FB，
∴FC=FB+BC=2AD，
∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠CEG，
∴∠AGD=∠CEF，
∴△ADG∽△CFE，
∴，
∴EC=2AG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质证得∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，再由点E是AB中点，得AE=BE，即可求解；
(2)由(1)可知△ADE≌△BFE，得出AD=FB，再由△ADG∽△CFE，即可推出结论.
20．【答案】（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE=90°，
∵GE=GH，
∴FG=EH=GE=GH，
∴∠E=∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴BF=CE，
∴BF-BC=CE--BC，即BE=CF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB=CD，BC=AD=4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
设BE=CF=x，∴EC=x+4，EF=2x+4，
解得x=1，
∴EF=6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=GE=GH，由等边对等角得∠E=∠GFE，再由矩形的性质可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，即可依据AAS证明△ABF≌△DCE，由全等的性质可得BF=CE，即BE=CF；
（2）由矩形的性质结合垂直的概念可得，又是公共角相等，则可证明△ECD∽△EFH，则由相似比可得，为便于计算可设CF=x，则EC、EF均可于含x的代数式表示，即有解方程求出x，则EF可求.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AD中点，
∴AE=ED=1，
∵△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
又∵正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEF
∴△ABE~△DEN
∴
∴DN＝，
∵∠A=∠C=90°，∠ABE+∠CBM=45°，∠AEB+∠ABE=90°，∠BEC+∠AEB=180°，∠BEC=135°，∠EBC+∠ECB=45°，
∴∠ABE=∠MBC，
∴△BCM~△BAE
∴
∴CM＝
（2）解：设AE=x，则ED=2-x，CM=DN=y，则DM=2-y，
由(1)可知，△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，
∴，，
即，，
将代入中，
得到
解得(舍去不合理的根)
∴AE＝
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质和等腰三角形的性质，推出△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，进而得出结论；
(2)设AE=x，则ED=2-x，CM=DN=y，则DM=2-y，由(1)可知，△ABE~△DEN，△BCM~△BAE，推出，，进而得出结论.
22．【答案】（1）解：如图，作，
，
，
四边形DEFG是矩形，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，点O是中线AH、BK的交点，
点O是中线AH、BK的交点，
，
，
，
，
，
.
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可得，再通过相似三角形的性质证得，进而求得.
(2)利用重心的性质可得，再利用平行线的性质证得，然后通过相似三角形的性质得到，继而计算出矩形DEFG的面积.
23．【答案】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，，
，
，
≌，
，
，
，
（2）证明：如图，
作，交于，
，∽，
，
由知，
，
，
，
（3）解：如图，
延长，交于，作于，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
不妨设，则，，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据四边形BFPH是圆的内接四边形，得出∠AFP=∠DHB，可证明△ADF≌△CDH，从而得出DF=DH，可证明△DBF≌△DBH，从而∠DFB=∠DHB，从而∠AFP=∠DFB，进一步得出结果；
(2)作FW//DF，交AB于W，可推出
∠AFD=∠KWF，△BWK∽△BFD，从而得出，KF=KW，进一步得出结果；
(3)延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，可证得DF=VF，从而DX=XV，进而得出AF=DX=XV，可证得△DVK∽△BFK，从而，进而可证得，不妨设CH=AF=DX=XV=1，则BF=4，DV=2，依次计算CD，CV，DH的值，可证得△DPV∽△DCH，进而可求得，进而得出结论.
24．【答案】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的值为；
（3）如图所示，过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，，，
同（2）可得，
∵，
∴设，，
在上取一点P使得，连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质得到，从而求得，代换等角得到，即可利用AA判定，解答即可；
（2）根据同角的补角相等得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，利用AA判定，结合平行线的性质利用AA判定，再根据相似三角形的性质得到，代换得到，解答即可；
（3）过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，有平行四边形的性质得到，，，同（2）可得，即可设，，在上取一点P使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，再由等边三角形的性质 求得，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质得到，设，则，，得到，根据题意列方程，计算再代入比例线段中，即可得解答．
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