浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章 《相似三角形》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的 4 倍，则放大后的( )
A．∠A，∠B、∠C是原来的4倍 B．周长是原来的2倍
C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍
2．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（ ）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
3．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
4．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架图，图②是它的侧面示意图，AD 与CB 相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x 的值为( )
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
5． 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点 F 在CD上，点G，H 在对角线AC.上，若四边形 EGFH 是菱形，则AE 的长是( ).
A．2 B．3 C．5 D．6
6．（2023·丰南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
8．（2025·南湖二模）如图，线段AD，BC交于点，连接AB，CD。若，，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江二模）如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（ ）
A．4 B． C． D．
10．（2025·中山模拟）在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·深圳三模） 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为 cm（结果保留根号）.
12．（2025·定海模拟）当时，则 ．
13．（2025·乌当模拟）如图，在正方形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．
14．（2025·成都模拟）如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ．
15．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为 ．
16．（2024·绥化）在矩形 中， ， 点 在直线 上， 且 ， 则点 到矩形对角线所在直线的距离是 .
三、解答题（共8题，共72分）
17． 如图所示，BC，AD 相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.
（1）求CE 的长.
（2）求证：BC⊥AD.
18．（2025·义乌模拟）如图，在Rt中，已知，点在AC上.连结BD，过点作交BD于点，交BC于点.
（1）求证：.
（2）过点作交AC于点，若，求AG的长.
19．（2025·金华模拟）如图，在矩形中， ，点 分别在边 上，满足 ．
（1）求证∶ ．
（2）若 ，求的长．
20．（2024·平城模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）证明：；
（2）已知，求的长．
21．（2025·上海市）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB．
22．（2025·扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ °．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；
（3）【一般化探索】
利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．
23．在等腰中，，点是BC边上一点（不与点B，~C重合），连结AD．
（1）如图1，若，点关于直线AB的对称点为点，连结AE，DE，则
（2）若，将线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，且．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．
24．（2025·贵州）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
（1）【问题解决】
如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
（2）【问题探究】
如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的 4 倍，
则相似比为原来的2倍，即周长是原来的2倍，
故选：B.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
与的相似比为.
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 即可由，得到相似比；解答即可．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：解：∵AB//CD，
∴△COD∽△BOA
∴
∴
∴x=0.96，
故答案为：B.
【分析】由AB//CD，可得出△COD∽△BOA，进而得出，解出即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接EF交AC于点M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°， AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD.
在Rt△ABC中，
∵AB=8， BC =4，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC， ME = MF，
∴∠AME=∠CMF =90°.
在△AME和△CMF中，
∴△AME≌△CMF(AAS).
∵∠AME=90°， ∠B=90°，
∴∠AME =∠B.
又∵∠MAE=∠BAC，
∴△AME∽△ABC.
即
解得AE= 5.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出AC长，然后利用EGFH是菱形，证明△AME≌△CMF，即可得到AM=CM，然后推理得到△AME∽△ABC，根据对应边成比例解答即可.
6．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴△AEB∽△CED，
∴，即，
解得CE=
故答案为：C.
【分析】首先利用“两个三角形的两个角分别相等”得出△AEB∽△CED，然后利用“相似三角形对应边长成比例”列出关系式，最后代入计算即可求出CE的长度。
9．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∵E是AC的中点，
∴，
∵BC=DE，
∴，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：CB=AD：CD=2
∵CD=2，
∴AD=4.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB=AD：CD=2，即可求出AD的长.
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①、，，，
，
，
，故①正确；
②、由①可得：，
∴，
，，
，
，故②正确；
③、，
，
，，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，故③不正确；
④、，，
，
，，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】
根据已知条件利用AAS证明，由即可判断①；结合①根据全等三角形的性质得，即可由HL证明即可判断②；先根据已知条件利用HL证明，再利用全等三角形的性质证明，于是得到从而得可判断 ③ ；先根据面积公式计算出，再利用AA判定，利用相似中的面积之比求出和的面积，可判断④；逐一判断即可解答．
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将AB=56代入，
得AP=
故答案为： .
【分析】将AB=56代入求解即可.
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，再代入代数式化简即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是边上靠近的三等分点，是的中点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
∴当有最小值时，点P与点重合，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用SAS证明，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
四边形的面积为：
故答案为：．
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得三角形ABC的面积，然后根据四边形BCED的面积的构成可求解．
15．【答案】-8
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，∴EB∥DC，AD=BC，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴OC=BC，∴，
∴∴，
∵k<0，∴；
故答案为：．
【分析】
先证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．
16．【答案】 或 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=4cm，AC=BD∴cm
∵∠BAD=∠EFD=90°，∠ADB=∠ADB
∴△DEF≈△DBA
∴
∴EF=
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
AE=AD-DE=8cm-2cm=6cm
同理：△ADC≈△AME
∴
解得：EM=
如图3，过点E作EN⊥AC于点N
同理：△ADB≈△NDE
∴
∴
解得：EN=
如图4，过点E作EH⊥AC于点H
同理：△ADC≈△AHE
∴
∴
解得：HE=
故答案为 或 或.
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先作出点E到矩形对角线所在直线的距离，根据四种情况分类讨论，再根据相似三角形的性质，对应边对应成比例，求出点到矩形对角线所在直线的距离即可.
17．【答案】（1）解：∵△ABC∽△DEC，
∴
又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3
∴EC=3.1
（2）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC⊥AD
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质解答即可；
(2)根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可.
18．【答案】（1）证明：
又
（2）解：
设，则
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用两角对应相等证明△AED∽△BAD；
(2)先证△AGF∽△AED∽△BAD，推出，再证△CGF∽△CAB，推出，设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，根据AC=AG+GC=22x=12求出x值，即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴．
（2）在中，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可以得到，然后利用两脚对应相等可得两三角形相似；
（2）根据勾股定理求出AF长，然后根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解题即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴．
（2）在中，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴．
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
答：CD的长为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平分得到，由得到，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）由可得比例式，，在Rt△ABC中，用勾股定理求得，由比例式可得关于CD的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
21．【答案】（1）证明：连接OC，OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CE=DF，
∴△OCE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OF，
∴EF//AB，
∴CD//AB；
（2）证明：∵△OCE≌△ODF，
∴∠COE=∠DOF，
∵AB=BD，
∴∠AOB=∠DOF，
∴∠AOB=∠DOF=∠COE，
连接AF，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE，
∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF，
∴△OEC∽△FEA，
∴∠COE=∠AFE，
∴∠AOB=∠FAB=∠AFE，
∴△BAF∽△BOA，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OC，OD，证明△OCE=△ODF(SAS)，得出OE=OF，得到CD//AB；
(2)证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2=BF·OB.
22．【答案】（1）45
（2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴四边形AEPG是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEPG是矩形，
同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，
∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，，
∴HT＝HF，
∴在△AHT和△AHF中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；
（3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：
延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，
∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，
∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，
∴HT＝BH+BT＝a+b，
∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，
整理得x2＝ab+ax+bx，
∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，
∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2
＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝（a+b）2，
∴HF＝a+b（舍负），
∴HF＝HT，
∴在△AHT和△AHF 中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，MN即为所求：
连接AH，AF与格线的交点记为M，N，
由网格可得，EM∥BH，
∴△AEM∽△ABH，
∴，
∵BH＝2，
∴EM＝1，
∴M为格点，同理N为格点，
∵，MN，，
∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN，
∴∠AMN＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠FAH＝45°
故答案为：45；
【分析】(1)连接AH，AF与格线的交点记为M，N，先确定点M，N为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明△AMN为等腰直角三角形，即可求解∠FAH的度数；
(2)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 先证明△ABT≌△ADF(SAS)，则AT= AF， ∠TAB=∠FAD， 那么∠FAD+∠BAH =90°-∠HAF=∠TAB+∠BAH=∠TAH，可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH，PGDF， PHCF为矩形， 求出TH=TB+BH =10， 由勾股定理得HF=10， 则HT= HF， 即可得到△AHT≌△AHF(SSS)，则∠TAH =∠HAF， 即可求解∠FAH =45°；
(3)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 同理△ABT≌△ADF(SAS)，同 (2) 可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH， PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x， AG=a，PG=b， 则CH = BC-BH =x-a，CF=CD-DF=x-b，HT=BH+BT =a+b， 由 得到 ，在Rt△CHF中，由勾股定理得 求出HF=a+b，则HF= HT， 再证明△AHT≌△AHF(SSS)即可.
23．【答案】（1）30°
（2）解：①补全图形如下：
②，证明如下：
是等边三角形，
，
线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE，
，
，
，即，
在和中，
（3）解： ，证明如下：连接AE，如图：
即
在和中，
∴EAB Δ Δ DAC(SAS)，
∴ CD=BE，
∴BC=BD+CD=BD+BE
而
∴
即AC=k(BD+BE)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），
是等边三角形，
点关于直线AB的对称点为点，
故答案为：；
【分析】分析：（1）由，可得，点关于直线AB的对称点为点，可得，即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；
②由已知得，从而可得，，即可得；（3）连接AE，根据已知可证，从而可得，又，即可得到．
24．【答案】（1）30；
（2）解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
故答案为：30；.
【分析】（1）利用菱形性质（邻边相等 ）和等边三角形判定（ ），结合中线性质得角度和垂直关系.
（2）通过旋转构造等边三角形和全等关系，结合角度计算推导直角三角形，利用角性质得线段倍数关系.
（3）分在线段、两种情况，利用相似三角形（， ），结合线段比例和已知条件计算.
1 / 1浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章 《相似三角形》B卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的 4 倍，则放大后的( )
A．∠A，∠B、∠C是原来的4倍 B．周长是原来的2倍
C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的 4 倍，
则相似比为原来的2倍，即周长是原来的2倍，
故选：B.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答即可.
2．（2025·金华二模）如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（ ）
A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴ △ABO∽△DEO，
∴，
即 OA：AD =2：1
故答案为：C.
【分析】本题主要考查位似以及相似比的相关知识。
首先根据“ 以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3 ”，可以推出AB∥DE， △ABC∽△DEF，且相似比为2：3，然后得出△ABO∽△DEO，进而得出相似比，最后即可计算出结果。
3．（2025·东莞模拟）如图，，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
与的相似比为.
故答案为：B．
【分析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 即可由，得到相似比；解答即可．
4．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架图，图②是它的侧面示意图，AD 与CB 相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x 的值为( )
A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：解：∵AB//CD，
∴△COD∽△BOA
∴
∴
∴x=0.96，
故答案为：B.
【分析】由AB//CD，可得出△COD∽△BOA，进而得出，解出即可得出结论.
5． 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点 F 在CD上，点G，H 在对角线AC.上，若四边形 EGFH 是菱形，则AE 的长是( ).
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接EF交AC于点M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°， AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD.
在Rt△ABC中，
∵AB=8， BC =4，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC， ME = MF，
∴∠AME=∠CMF =90°.
在△AME和△CMF中，
∴△AME≌△CMF(AAS).
∵∠AME=90°， ∠B=90°，
∴∠AME =∠B.
又∵∠MAE=∠BAC，
∴△AME∽△ABC.
即
解得AE= 5.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出AC长，然后利用EGFH是菱形，证明△AME≌△CMF，即可得到AM=CM，然后推理得到△AME∽△ABC，根据对应边成比例解答即可.
6．（2023·丰南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
7．（2025·浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD
C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD
【答案】C
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△AOD与△COB中，
∵OA·OB=OC·OD，即，且∠AOD=∠COB
∴△AOD∽△COB
∴∠OAD=∠OCB
∴BC//AD，C正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据两组边对应成比例，且两边的夹角相等，可以推得△AOD∽△COB，由相似三角形的性质定理可得，相似三角形对应角相等，得到一组内错角∠OAD与∠OCB相等，因此可以推出AD//BC.
8．（2025·南湖二模）如图，线段AD，BC交于点，连接AB，CD。若，，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，
∴△AEB∽△CED，
∴，即，
解得CE=
故答案为：C.
【分析】首先利用“两个三角形的两个角分别相等”得出△AEB∽△CED，然后利用“相似三角形对应边长成比例”列出关系式，最后代入计算即可求出CE的长度。
9．（2025·浙江二模）如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∵E是AC的中点，
∴，
∵BC=DE，
∴，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：CB=AD：CD=2
∵CD=2，
∴AD=4.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB=AD：CD=2，即可求出AD的长.
10．（2025·中山模拟）在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①、，，，
，
，
，故①正确；
②、由①可得：，
∴，
，，
，
，故②正确；
③、，
，
，，，
，
，
，
，
，
∴，
，
，故③不正确；
④、，，
，
，，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】
根据已知条件利用AAS证明，由即可判断①；结合①根据全等三角形的性质得，即可由HL证明即可判断②；先根据已知条件利用HL证明，再利用全等三角形的性质证明，于是得到从而得可判断 ③ ；先根据面积公式计算出，再利用AA判定，利用相似中的面积之比求出和的面积，可判断④；逐一判断即可解答．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·深圳三模） 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为 cm（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将AB=56代入，
得AP=
故答案为： .
【分析】将AB=56代入求解即可.
12．（2025·定海模拟）当时，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为： ．
【分析】设，再代入代数式化简即可求出答案.
13．（2025·乌当模拟）如图，在正方形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是 ．
【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，在上截取，过点H作交于G，连接，连接交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是边上靠近的三等分点，是的中点，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
∴当有最小值时，点P与点重合，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质求出，，再利用SAS证明，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可.
14．（2025·成都模拟）如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
四边形的面积为：
故答案为：．
【分析】根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得三角形ABC的面积，然后根据四边形BCED的面积的构成可求解．
15．（2025·台山模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为 ．
【答案】-8
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，∴EB∥DC，AD=BC，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴OC=BC，∴，
∴∴，
∵k<0，∴；
故答案为：．
【分析】
先证明，求出的面积，进而得到的值，根据值的几何意义，即可得出结果．
16．（2024·绥化）在矩形 中， ， 点 在直线 上， 且 ， 则点 到矩形对角线所在直线的距离是 .
【答案】 或 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=4cm，AC=BD∴cm
∵∠BAD=∠EFD=90°，∠ADB=∠ADB
∴△DEF≈△DBA
∴
∴EF=
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
AE=AD-DE=8cm-2cm=6cm
同理：△ADC≈△AME
∴
解得：EM=
如图3，过点E作EN⊥AC于点N
同理：△ADB≈△NDE
∴
∴
解得：EN=
如图4，过点E作EH⊥AC于点H
同理：△ADC≈△AHE
∴
∴
解得：HE=
故答案为 或 或.
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先作出点E到矩形对角线所在直线的距离，根据四种情况分类讨论，再根据相似三角形的性质，对应边对应成比例，求出点到矩形对角线所在直线的距离即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17． 如图所示，BC，AD 相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3.
（1）求CE 的长.
（2）求证：BC⊥AD.
【答案】（1）解：∵△ABC∽△DEC，
∴
又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3
∴EC=3.1
（2）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC⊥AD
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质解答即可；
(2)根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可.
18．（2025·义乌模拟）如图，在Rt中，已知，点在AC上.连结BD，过点作交BD于点，交BC于点.
（1）求证：.
（2）过点作交AC于点，若，求AG的长.
【答案】（1）证明：
又
（2）解：
设，则
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用两角对应相等证明△AED∽△BAD；
(2)先证△AGF∽△AED∽△BAD，推出，再证△CGF∽△CAB，推出，设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，根据AC=AG+GC=22x=12求出x值，即可求解.
19．（2025·金华模拟）如图，在矩形中， ，点 分别在边 上，满足 ．
（1）求证∶ ．
（2）若 ，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴．
（2）在中，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴．
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可以得到，然后利用两脚对应相等可得两三角形相似；
（2）根据勾股定理求出AF长，然后根据两角对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解题即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴
∵
∴．
（2）在中，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴．
∴，
∴，
∴．
20．（2024·平城模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）证明：；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
答：CD的长为.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由平分得到，由得到，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”即可求解；
（2）由可得比例式，，在Rt△ABC中，用勾股定理求得，由比例式可得关于CD的方程，解方程即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴，，
∴，
∵，即，
解得：．
21．（2025·上海市）如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF．
（1）求证：AB//CD；
（2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB．
【答案】（1）证明：连接OC，OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CE=DF，
∴△OCE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OF，
∴EF//AB，
∴CD//AB；
（2）证明：∵△OCE≌△ODF，
∴∠COE=∠DOF，
∵AB=BD，
∴∠AOB=∠DOF，
∴∠AOB=∠DOF=∠COE，
连接AF，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOF(SAS)，
∴∠OAF=∠ODF=∠OCE，
∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF，
∴△OEC∽△FEA，
∴∠COE=∠AFE，
∴∠AOB=∠FAB=∠AFE，
∴△BAF∽△BOA，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OC，OD，证明△OCE=△ODF(SAS)，得出OE=OF，得到CD//AB；
(2)证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2=BF·OB.
22．（2025·扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ °．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数；
（3）【一般化探索】
利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．
【答案】（1）45
（2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴四边形AEPG是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEPG是矩形，
同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°，
∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，，
∴HT＝HF，
∴在△AHT和△AHF中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°；
（3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下：
延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°，
∴△ABT≌△ADF（SAS），
∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD，
∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH，
同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形，
设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b，
∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b，
∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b，
∴HT＝BH+BT＝a+b，
∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab，
整理得x2＝ab+ax+bx，
∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2，
∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2
＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2
＝（a+b）2，
∴HF＝a+b（舍负），
∴HF＝HT，
∴在△AHT和△AHF 中，
，
∴△AHT≌△AHF（SSS），
∴∠TAH＝∠HAF，
∵∠TAH＝90°﹣∠HAF，
∴90°﹣∠HAF＝∠HAF，
∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，MN即为所求：
连接AH，AF与格线的交点记为M，N，
由网格可得，EM∥BH，
∴△AEM∽△ABH，
∴，
∵BH＝2，
∴EM＝1，
∴M为格点，同理N为格点，
∵，MN，，
∴AM2+MN2＝AN2，AM＝MN，
∴∠AMN＝90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴∠FAH＝45°
故答案为：45；
【分析】(1)连接AH，AF与格线的交点记为M，N，先确定点M，N为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明△AMN为等腰直角三角形，即可求解∠FAH的度数；
(2)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 先证明△ABT≌△ADF(SAS)，则AT= AF， ∠TAB=∠FAD， 那么∠FAD+∠BAH =90°-∠HAF=∠TAB+∠BAH=∠TAH，可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH，PGDF， PHCF为矩形， 求出TH=TB+BH =10， 由勾股定理得HF=10， 则HT= HF， 即可得到△AHT≌△AHF(SSS)，则∠TAH =∠HAF， 即可求解∠FAH =45°；
(3)延长CB至点T， 使得BT = DF， 连接AT，FH， 同理△ABT≌△ADF(SAS)，同 (2) 可得四边形AEPG是矩形， 四边形PEBH， PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x， AG=a，PG=b， 则CH = BC-BH =x-a，CF=CD-DF=x-b，HT=BH+BT =a+b， 由 得到 ，在Rt△CHF中，由勾股定理得 求出HF=a+b，则HF= HT， 再证明△AHT≌△AHF(SSS)即可.
23．在等腰中，，点是BC边上一点（不与点B，~C重合），连结AD．
（1）如图1，若，点关于直线AB的对称点为点，连结AE，DE，则
（2）若，将线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，且．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．
【答案】（1）30°
（2）解：①补全图形如下：
②，证明如下：
是等边三角形，
，
线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE，
，
，
，即，
在和中，
（3）解： ，证明如下：连接AE，如图：
即
在和中，
∴EAB Δ Δ DAC(SAS)，
∴ CD=BE，
∴BC=BD+CD=BD+BE
而
∴
即AC=k(BD+BE)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），
是等边三角形，
点关于直线AB的对称点为点，
故答案为：；
【分析】分析：（1）由，可得，点关于直线AB的对称点为点，可得，即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；
②由已知得，从而可得，，即可得；（3）连接AE，根据已知可证，从而可得，又，即可得到．
24．（2025·贵州）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
（1）【问题解决】
如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
（2）【问题探究】
如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
【答案】（1）30；
（2）解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
故答案为：30；.
【分析】（1）利用菱形性质（邻边相等 ）和等边三角形判定（ ），结合中线性质得角度和垂直关系.
（2）通过旋转构造等边三角形和全等关系，结合角度计算推导直角三角形，利用角性质得线段倍数关系.
（3）分在线段、两种情况，利用相似三角形（， ），结合线段比例和已知条件计算.
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