2.2 有理数的减法 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
2.2 有理数的减法
第2章 有理数的运算
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的减法
课程目标
深刻理解有理数减法的意义，熟练掌握有理数减法法则。
能够准确无误地运用有理数减法法则进行各类计算。
学会灵活运用运算技巧，简化有理数减法运算过程。
能够运用有理数减法知识，有效解决实际生活中的数学问题。
有理数减法的定义
有理数减法是已知两个有理数加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，它是加法的逆运算。例如，已知\(a + b = c\)，那么\(c - b = a\)，这里\(c - b\)就是有理数减法运算。
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用式子表示为：\(a - b = a + (-b)\) 。这其中有 “两变一不变”：
两变：
运算符号改变，减法运算变为加法运算。
减数改变，减数变成它的相反数。
一不变：被减数保持不变。
有理数减法运算步骤
将减法运算转化为加法运算，即把减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。
按照有理数加法法则进行计算。先确定和的符号，再计算和的绝对值。
实例演示
计算\(5 - 3\)：
依据法则，转化为加法：\(5 - 3 = 5 + (-3)\) 。
按照加法法则计算：因为\(5\)是正数，\(-3\)是负数，异号两数相加，\(5\)的绝对值大于\(-3\)的绝对值，所以取\(5\)的符号为正号，并用\(5\)的绝对值减去\(-3\)的绝对值，即\(5 - 3 = 5 + (-3) = +(5 - 3) = 2\) 。
计算\(3 - 5\)：
转化为加法：\(3 - 5 = 3 + (-5)\) 。
按加法法则计算：\(3\)是正数，\(-5\)是负数，异号两数相加，\(-5\)的绝对值大于\(3\)的绝对值，所以取\(-5\)的符号为负号，并用\(-5\)的绝对值减去\(3\)的绝对值，即\(3 - 5 = 3 + (-5) = -(5 - 3) = -2\) 。
有理数减法运算技巧
凑整法：若被减数和减数接近某个整数，可将减数凑整，简化计算。例如计算\(45 - 29.5\)，可将\(29.5\)看作\(30\)，先算\(45 - 30 = 15\)，因为多减了\(0.5\)，所以结果要加上\(0.5\)，即\(45 - 29.5 = 15 + 0.5 = 15.5\) 。
运用运算律：在多个有理数加减混合运算中，可利用加法交换律和结合律调整数的顺序或组合。例如计算\(15 + 23 - 10 - 13\)，可利用交换律和结合律变形为\((15 - 10) + (23 - 13) = 5 + 10 = 15\) 。
分数运算技巧：进行分数减法运算时，若分母不同，需先通分，化为同分母分数再相减。例如计算\(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\)，先通分，\(4\)和\(3\)的最小公倍数是\(12\)，则\(\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 3}{4 3} - \frac{1 4}{3 4} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{9 - 4}{12} = \frac{5}{12}\) 。
实际应用举例
温度问题：某天最高气温是\(8 \)，最低气温是\(-3 \)，这天的温差是多少？
温差 = 最高气温 - 最低气温，即\(8 - (-3)\) 。
根据减法法则，转化为加法：\(8 - (-3) = 8 + 3 = 11( )\) ，所以这天的温差是\(11 \) 。
海拔问题：A 地海拔高度为\(200\)米，B 地海拔高度为\(-50\)米，A 地比 B 地高多少米？
可列式为\(200 - (-50)\) 。
转化为加法：\(200 - (-50) = 200 + 50 = 250\)（米），即 A 地比 B 地高\(250\)米。
经济问题：某商店上周盈利\(300\)元，本周盈利\(-50\)元，上周比本周多盈利多少元？
多盈利的金额 = 上周盈利 - 本周盈利，即\(300 - (-50)\) 。
转化为加法计算：\(300 - (-50) = 300 + 50 = 350\)（元），所以上周比本周多盈利\(350\)元。
课堂练习
计算下列各题：
\(7 - 4\)
\((-7) - 4\)
\(7 - (-4)\)
\((-7) - (-4)\)
\(0 - 5\)
\(5 - 0\)
运用运算技巧计算：
\(35 - 19.8\)
\(12 + 25 - 18 - 12\)
\(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\)
解决实际问题：
潜水员在水下\(30\)米处，记作\(-30\)米，上升\(15\)米后，他现在的位置是多少米？
总结
有理数减法法则是 “减去一个数，等于加上这个数的相反数”，计算时要遵循 “两变一不变” 原则。
运算时先将减法转化为加法，再按加法法则计算。
灵活运用凑整法、运算律和分数运算技巧等，可以使计算更简便。
有理数减法在温度、海拔、经济等实际生活场景中有广泛应用，要学会将实际问题转化为数学问题并解决。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.掌握有理数的减法法则，能熟练进行有理数的减法运算，提
高运算能力。
2.能把有理数的加减混合运算转化成加法运算，体会转化思想。
3.能将和式中的括号和加号省略，并利用加法运算律进行计算。
4.能运用有理数的加减法解决简单的实际问题，形成应用意识。
1.有理数的减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示： 。
2.将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：
“两变”是指运算符号“-”需要变成“ ”，减数变成它的
相反数；“一不变”是指被减数不变。
（1）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，得这个数的相反数。
（2）减法没有交换律，被减数与减数的位置不能改变。
教材延伸 两数相减，差的符号的确定
（1）较大的数-较小的数正数，即若，则 ；反之，若，则 。
（2）较小的数-较大的数负数，即若，则 ；反之，若，则 。
（3）相等的两个数的差为0，即若，则 ；反之，若，则 。
上述结论也常用于“作差法比较两个有理数的大小”。
典例1 计算：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5） ；
解： 。
一个数减一个正数，所得的差小于这个数；
一个数减一个负数，所得的差大于这个数。
（6） 。
解： 。
有理数减法运算“三步曲”
(1)把减号变为加号(改变运算符号);
(2)把减数变为它的相反数(改变性质符号);
(3)按照加法运算的步骤进行运算。
我们可以把算式 中各个加数的括号和括号
前面的加号省略，写成，这个算式仍可看作和式，
读作“正 、负 与正的和”（按式子表示的意义读），或
者读作“减加 ”（按运算的意义读）。这样给算法的选择
和书写带来方便。
典例2 把写成省略“ ”号和
括号的形式，并写出它的读法。
解：
。
读作“负6、正7、负9、正3的和”，或者读作“负6加7减9加3”。
省略的是运算符号，性质符号必须保留。
第1个数前面的符号是性质符号。
有理数加减混合运算的步骤：
（1）遇减化加：利用减法法则，将减法转化为加法；
（2）运用加法交换律和结合律，简化运算；
（3）求出结果。
（1） ；
解：
（把减法转化为加法）
（加法交换律）
（加法结合律）
。
交换加数的位置时,必须连同加数前面的符号一起交换。
典例3 计算：
（2） 。
解：
（将减法转化成加法）
（加法交换律）
（加法结合律）
。
知识过关
减去一个数，等于加上这个数的 　相反数　.
相反数
有理数的减法法则
1. [2024·天津]计算3－(－3)的结果是(　D　)
A. －6 B. 0 C. 3 D. 6
D
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2. [2024·石家庄期末]下列算式：①2－(－2)＝0；②(－3)－
(＋3)＝0；③(－3)－｜－3｜＝0；④0－(－1)＝1.其中正
确的有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A
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3. 下列说法：
①减去一个负数等于加上这个数的相反数；
②正数减负数，差为正数；
③零减去一个数，仍得这个数；
④两数相减，差一定小于被减数；
⑤两数相减，差不一定小于被减数；
⑥互为相反数的两数相减得零.
其中正确的有(　B　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
B
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4. [母题 教材P42作业题T2]计算：
(1)－2－(＋10)；
(2)0－(－3.6)；
【解】－2－(＋10)
＝－2＋(－10)
＝－12.
【解】0－(－3.6)
＝0＋3.6
＝3.6.
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(3)(－30)－(－6)；
(4)(＋13)－(＋16).
【解】(－30)－(－6)
＝(－30)＋6
＝－24.
【解】(＋13)－(＋16)
＝＋13＋(－16)
＝－3.
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有理数减法法则的应用
5. [新考向·知识情境化]圆圆想了解某地某天的天气情况，在
某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气
温为2 ℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)
为(　D　)
A. －8 ℃ B. －4 ℃
C. 4 ℃ D. 8 ℃
D
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6. [情境题·生活应用]某商店出售三种不同品牌的大米，米袋
上分别标有质量如表.现从中任意拿出两袋不同品牌的大
米，这两袋大米的质量最多相差(　A　)
大米种类 A品牌大米 B品牌大米 C品牌大米
质量标示 (10±0.5) kg (10±0.3) kg (10±0.2) kg
A. 0.8 kg B. 0.6 kg
C. 0.4 kg D. 0.5 kg
A
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7. 列式并计算：
(1)和是－2，一个加数是6，求另一个加数；
(2)差是－5，被减数是－7，求减数；
(3)一个数是16，另一个数比16的相反数小－2，求这两个
数的差.
【解】－2－6＝－2＋(－6)＝－8.
【解】－7－(－5)＝－7＋5＝－2.
(3)16 [－16－(－2)]＝16－(－14)＝16＋14＝30.
【解】 16－
＝16－(－14)＝16＋14＝30.
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8. [新考向·知识情境化]如图是某一矿井的示意图，以地面为
基准，A点的高度是＋4.2 m，B点的高度为－15.6 m，
C点的高度为－30.5 m.请问：A点比B点高多少米？B
点比C点高多少米？
【解】＋4.2－(－15.6)＝4.2＋15.6＝19.8(m).
－15.6－(－30.5)＝－15.6＋30.5＝14.9(m).
答：A点比B点高19.8 m，B点比C点高14.9 m.
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9. 两数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正
确的是(　B　)
A. a＋b＞0 B. a＋b＜0
C. a－b＜0 D. ｜a｜－｜b｜＞0
B
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10. 如图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”，按照这个算法，如果输入a，b的
值分别为3，8，那么输出a的值为 .
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11. 在计算两个数的减法－3 －■时，由于不小心，减数被
墨水污染.
(1)嘉淇误将－3 后面的“－”看成了“＋”，从而算得
结果为5 ，请求出被墨水污染的减数；
【解】由题意得，被墨水污染的减数为5 －
＝5 ＋3 ＝9 .
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(2)请你正确计算此题.
【解】－3 －9 ＝－13 .
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12. 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序，输入数
a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：a*b＝(a－b)
－｜b－a｜.
(1)求(－3)*2的值；
(2)求(3*4)*(－5)的值.
【解】(－3)*2＝(－3－2)－｜2－(－3)｜＝－5－5
＝－10.
(2)3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
[(－2)－(－5)]－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
【解】3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
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13. [新考法·阅读类比法]阅读材料：点A，B在数轴上分别
表示有理数a，b.在数轴上A，B两点之间的距离＝｜
a－b｜.所以式子｜x－3｜的几何意义是数轴上表示有
理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理｜x－
4｜也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的
距离.
试探索：
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(1)若｜x－2｜＝5，则x的值是 ；
(2)同理｜x－5｜＋｜x＋3｜＝8表示数轴上有理数x所
对应的点到5和－3所对应的两点的距离之和为8，则
所有符合条件的整数x的和为 ；
－3或7　
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(3)由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数
轴上的什么位置时，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－
5｜有最小值？如果有，直接写出最小值.
【解】由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示－
1，3，5的点的距离之和，可得当点P在数轴上表示3
的点处时，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－5｜有最小
值，最小值为6.
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谢谢观看！