2.4 有理数的除法 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
2.4 有理数的除法
第2章 有理数的运算
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的除法
课程目标
理解有理数除法的意义，掌握有理数除法的法则。
能够熟练运用有理数除法法则进行计算，明确除法与乘法的关系。
学会运用有理数除法解决实际问题，掌握相关运算技巧。
有理数除法的定义
有理数的除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，它是乘法的逆运算。例如，已知两个数的积是 12，其中一个因数是 3，求另一个因数，就可以用除法表示为 12÷3。
有理数除法法则
同号两数相除：取正号，并把绝对值相除。
例如：（+15）÷（+3）= +（15÷3）= +5；（-15）÷（-3）= +（15÷3）= +5 。
异号两数相除：取负号，并把绝对值相除。
例如：（+15）÷（-3）= -（15÷3）= -5；（-15）÷（+3）= -（15÷3）= -5 。
0 除以任何一个不等于 0 的数：都得 0。
例如：0÷（+5）= 0；0÷（-5）= 0 。
注意：0 不能作除数，因为没有一个数与 0 相乘能得到非 0 的数。
除法与乘法的关系
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。用式子表示为：\(a\div b = a\times\frac{1}{b}\)（\(b\neq0\)）。
例如：（-12）÷（-4）=（-12）×（-\(\frac{1}{4}\)）= 3；（+8）÷（-2）=（+8）×（-\(\frac{1}{2}\)）= -4 。
有理数除法运算步骤
确定商的符号：根据被除数和除数的符号，按照除法法则确定商的符号。
计算商的绝对值：将被除数和除数的绝对值相除，或转化为乘法后计算绝对值的积。
写出结果：将确定的符号和计算出的绝对值组合起来，得到除法的结果。
实例演示
计算（-24）÷（-6）：
确定符号：被除数和除数都是负数，同号相除取正号。
计算绝对值：24÷6 = 4。
写出结果：（-24）÷（-6）= +4 = 4 。
计算（-18）÷3：
确定符号：被除数是负数，除数是正数，异号相除取负号。
计算绝对值：18÷3 = 6。
写出结果：（-18）÷3 = -6 。
计算 0÷（-7）：
根据法则，0 除以任何不等于 0 的数都得 0，所以 0÷（-7）= 0 。
多个有理数相除的运算
多个有理数相除时，先确定商的符号，商的符号由负因数的个数决定：
当负因数的个数为偶数时，商为正；
当负因数的个数为奇数时，商为负。
然后将绝对值相除，或转化为乘法后计算。
例如：（-16）÷（-2）÷（-4），负因数的个数是 2 个（偶数），先确定商为正，再计算绝对值 16÷2÷4 = 2，所以（-16）÷（-2）÷（-4）= -2 ；（-24）÷（-3）÷2，负因数的个数是 2 个（偶数），商为正，24÷3÷2 = 4，所以（-24）÷（-3）÷2 = 4 。
有理数除法运算技巧
分数除法转化：除以一个分数等于乘这个分数的倒数，能简化计算。例如：\(\frac{3}{4}\div\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\times\frac{6}{5}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}\) 。
小数除法转化：将小数化为分数再进行除法运算，有时更简便。例如：0.5÷（-\(\frac{1}{4}\)）= \(\frac{1}{2}\)÷（-\(\frac{1}{4}\)）= \(\frac{1}{2}\)×（-4）= -2 。
利用运算律：在乘除混合运算中，可利用乘法交换律和结合律调整运算顺序。例如：（-8）÷2×（-\(\frac{1}{2}\)）=（-8）×（-\(\frac{1}{2}\)）÷2 = 4÷2 = 2 。
实际应用举例
平均分配问题：把 - 12 个苹果平均分给 3 个小朋友，每个小朋友得到几个苹果？
可列式为：（-12）÷3 = -4（个），即每个小朋友得到 - 4 个苹果，表示每个小朋友拿出 4 个苹果（或理解为亏欠 4 个）。
速度计算问题：一辆汽车 5 小时行驶了 - 200 千米（负号表示向西行驶），它的平均速度是多少？
平均速度 = 路程 ÷ 时间，列式为：（-200）÷5 = -40（千米 / 小时），即汽车平均每小时向西行驶 40 千米。
浓度问题：把 20 克盐溶解在 - 100 克水中（此处负号仅为举例表示相反量），盐与盐水的质量比的倒数用除法计算是多少？
盐水质量为 20 +（-100）= -80 克，盐与盐水的质量比为 20:（-80）= -\(\frac{1}{4}\)，其倒数的除法计算为 1÷（-\(\frac{1}{4}\)）= -4 。
课堂练习
计算下列各题：
（+24）÷（+6）
（-36）÷（-9）
（+42）÷（-7）
（-54）÷（+6）
0÷（-12）
运用除法与乘法的关系计算：
（-18）÷（-\(\frac{2}{3}\)）
（+\(\frac{3}{4}\)）÷（-\(\frac{5}{8}\)）
总结
有理数除法法则是进行除法运算的依据，要注意 0 不能作除数。
除法与乘法互为逆运算，除以一个数（非 0）等于乘这个数的倒数，可利用此关系将除法转化为乘法计算。
运算时先确定符号，再计算绝对值，多个数相除要关注负因数的个数。
有理数除法在平均分配、速度、浓度等实际场景中有应用，要能将实际问题转化为数学运算解决。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.掌握有理数的除法法则，能熟练地进行有理数的除法运算。
2.能熟练地进行简单的有理数的加减乘除混合运算，提高运算
能力。
3.能运用有理数的除法解决简单的实际问题，形成应用意识。
有理数的除法法则（一） 两数相除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
（1）0不能作为除数。（2）两个有理数相除，若商为
1，则这两个数相等；若商为 ，则这两个数互为相反数。
（2） ；
解：
（3） 。
解： 。
典例1 计算：
（1） ；
解： 。
有理数的除法法则（二） 除以一个数（不等于零），等于乘
这个数的倒数。
用字母表示： 。
敲黑板
（1）有理数的除法没有交换律、结合律及分配律。
（2）三个或三个以上的有理数相除，通常把除法运算统一转
化为乘法运算。
典例2 计算：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） 。
解： 。
1.有理数的乘除混合运算：
（1）计算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的，先计
算括号里面的。
（2）计算方法：先把除法转化为乘法，然后按照有理数的乘
法法则求出结果。
将乘除运算统一为乘法运算后，可以运用乘法交换律、
结合律或分配律简化运算。
2.有理数的加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，
有括号的先算括号里面的，同级运算中，按照从左往右的顺
序计算。
典例3 计算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解：
。（先算乘除后算加减）
知识过关
①两数相除，同号得 　正　，异号得 　负　，并把 　绝对值　
相除；零除以任何一个 　不等于0　的数都得 　0　.
②乘法与除法之间的关系：除以一个数(不等于零)，等于 　乘
以　这个数的 　倒数　.
正
负
绝对值
不等于0
0
乘
以
倒数
有理数的除法法则
1. 计算15÷(－5)的结果是(　B　)
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
B
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2. [2024·宁波鄞州区调研]－1÷(－5)÷ 的计算结果是
(　A　)
A. －1
D. 1
A
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3. 已知算式“5■(－5)”的值为－1，“■”部分是因被污
染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是(　D　)
A. ＋ B. －
C. × D. ÷
D
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4. 列式计算：
(1)一个数与－ 的积为 ，求这个数；
【解】 ÷ ＝ × ＝－ .
(2)－2 除以一个数的商为－9，求这个数.
【解】－2 ÷(－9)＝ × ＝ .
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有理数的乘除混合运算
5. [2024·温州鹿城区月考]计算2÷3× 的结果是(　C　)
A. －2 B. 2
C
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6. 计算：
(1) × ÷0.25；
【解】原式＝ × ×4
＝ .
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(2) ÷(－5)× ；
【解】原式＝ × ×
＝－ .
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(3) × × ÷ .
【解】原式＝ × × ×
＝－ .
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有理数除法的实际应用
7. 张强和李倩分别用电脑录入同一份稿件，张强录入了这份
稿件的 后，还剩下3 500字，李倩录入的字数占这份稿件
的 ，则李倩录入的字数为(　C　)
A. 3 500 B. 2 800
C. 3 000 D. 3 200
C
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8. [新视角·动态探究题][2024·上海青浦区期末] 如图，机器
人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路ABCD的
顶点D，B处，他们同时出发，分别以1米每秒和1.5米每
秒的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走，当淘淘和
巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？
(　B　)
A. 30秒 B. 60秒
C. 90秒 D. 120秒
B
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9. 下列说法不正确的是(　A　)
A. 如果两个数的和为0，那么这两个数的商一定为－1
B. 如果两个数的商为－1，那么这两个数的和一定为0
C. 如果两个数的符号相同，那么这两个数的商一定为正数
D. 如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同
A
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10. [2023·无锡滨湖区一模]某同学在计算－16÷a时，误将
“÷”看成“＋”，结果是－12，则－16÷a的正确结
果是(　D　)
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
D
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11. 下列说法：①若m满足｜m｜＋m＝0，则m＜0；②
若｜a－b｜＝b－a，则b＞a；③若a＋b＝0，则
＝－1；④若三个有理数a，b，c满足 ＋ ＋
＝1，则 ＝－1.其中正确的有(　A　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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【点拨】
①因为｜m｜＋m＝0，所以｜m｜＝－m，
所以m≤0，故①错误；
②因为｜a－b｜＝b－a，所以b－a≥0.所以
b≥a，故②错误；
③当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但不满足 ＝－
1，故③错误；
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④当a，b，c都是正数时， ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝1＋1＋1＝3，不符合题意；
当a，b，c中有两个正数、一个负数时，不妨设
a，b为正数，则 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
1＋1－1＝1，所以 ＝ ＝－1；
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当a，b，c中有两个负数、一个正数时，不妨设
a，b为负数，则 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝－1－1＋1＝－1，不符合题意；
当a，b，c都是负数时， ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝－1－1－1＝－3，不符合题意.
所以若三个有理数a，b，c满足 ＋ ＋
＝1，则 ＝－1，故④正确.
A
【答案】
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12. 计算6÷ 时，小刚同学的计算过程如下：
解：原式＝6÷ ＋6÷ ＝－12＋18＝6.
(1)请你判断小刚同学的计算过程是否正确，若不正确，
请你写出正确的计算过程；
【解】不正确.
正确的计算过程为：原式＝6÷ ＝－36.
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【解】因为 ÷ ＝( － ＋ )×(－
18)＝－9＋3－2＝－8，18÷ ＝18÷ ＝
18× ＝ ，
所以原式＝－8＋ ＝ .
(2)用适当的方法计算 ÷ ＋18÷ 的值.
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13. 小丽有5张写着不同数的卡片(如图)，请你按要求抽取卡
片，完成下列各题：
从中抽取2张卡片，将卡片上的数相乘，再抽取1张卡
片，用前面两数之积除以第3张卡片上的数得到商.
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(1)如何抽取，可使商最大？最大是多少？
【解】抽取的卡片上的数分别为－3，－5，＋ ，可
使商最大.最大是(－3)×(－5)÷ ＝15×4＝60.
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(2)如何抽取，可使商最小？最小是多少？
【解】抽取的卡片上的数分别为＋3，－5，＋ ，可
使商最小，最小是(＋3)×(－5)÷ ＝－15×4＝
－60.
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14. [新视角·条件开放题]对于四个数“－8，－2，1，3”及
四种运算“＋，－，×，÷”，列算式解答：
(1)求这四个数的和；
【解】(－8)＋(－2)＋1＋3＝－6.
(2)在这四个数中选出两个数，按要求进行下列计
算，使得：
①两数差的结果最小；
②两数积的结果最大；
【解】①(－8)－3＝－11.②(－8)×(－2)＝16.
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(3)在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，
组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数.
【解】答案不唯一，符合要求即可.
如：(－8)÷(－2)－3＝1或(－8)÷(－2)－1＝3.
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谢谢观看！