2.6 有理数的混合运算 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
2.6 有理数的混合运算
第2章 有理数的运算
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的混合运算
课程目标
掌握有理数混合运算的顺序，能正确进行包含加、减、乘、除、乘方的混合运算。
学会运用运算律简化有理数混合运算，提高运算的准确性和效率。
能够解决与有理数混合运算相关的实际问题，培养数学应用意识。
有理数混合运算的顺序
有理数混合运算的顺序是进行混合运算的核心依据，具体如下：
先算乘方：即先计算各个数的乘方运算，这是运算顺序的第一步。
再算乘除：在完成乘方运算后，按照从左到右的顺序依次进行乘法和除法运算。
最后算加减：乘除运算完成后，再按照从左到右的顺序进行加法和减法运算。
括号优先：如果式子中有括号，要先算括号里面的。括号分为小括号（）、中括号 []、大括号 {}，计算时要按照从小括号到中括号再到大括号的顺序依次进行。
实例说明
计算\(3 + 2^2\times( - 3)\)：
先算乘方：\(2^2=4\)。
再算乘法：\(4\times( - 3)=-12\)。
最后算加法：\(3+( - 12)=-9\)。
计算\(18\div(3 - 6)\times2\)：
先算小括号里的：\(3 - 6=-3\)。
再算除法：\(18\div( - 3)=-6\)。
最后算乘法：\(-6\times2=-12\)。
计算\([( - 2)^3 + 5]\div( - 3)\)：
先算小括号里的乘方：\(( - 2)^3=-8\)。
再算小括号里的加法：\(-8 + 5=-3\)。
最后算中括号外的除法：\(-3\div( - 3)=1\)。
运算律在混合运算中的应用
在有理数混合运算中，合理运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能有效简化运算过程。
加法运算律：在只有加减的运算中，可交换加数的位置或结合某些加数，使计算简便。例如，计算\(5+( - 3)+( - 5)+2\)，利用加法交换律和结合律可得\([5+( - 5)]+[( - 3)+2]=0+( - 1)=-1\)。
乘法运算律：在乘除混合运算中，可交换因数的位置或结合某些因数。例如，计算\(( - 8)\times5\times( - 0.125)\times( - 2)\)，利用乘法交换律和结合律可得\([( - 8)\times( - 0.125)]\times[5\times( - 2)]=1\times( - 10)=-10\)。
乘法分配律：当式子中出现一个数与多个数的和或差相乘时，使用分配律可简化运算。例如，计算\( - 24\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6})\)，利用分配律可得\(-24\times\frac{1}{3}+24\times\frac{1}{4}-24\times\frac{1}{6}=-8 + 6-4=-6\)。
混合运算的易错点
运算顺序错误：忽略乘方、乘除、加减的优先级，或不遵循括号优先原则。例如，计算\(2 + 3\times4\)时，错误地先算加法再算乘法，得到\(5\times4=20\)，而正确结果应为\(2 + 12=14\)。
符号错误：在涉及负数的运算中，容易弄错符号。例如，计算\(( - 2)^2\)时，错误地认为结果是\(-4\)，而正确结果是\(4\)；计算\(-2^2\)时，错误地认为结果是\(4\)，而正确结果是\(-4\)。
漏算或重复计算：在步骤较多的运算中，容易漏算某些项或重复计算。例如，计算\(3\times(2 + 5)-4\)时，漏算减法得到\(3\times7=21\)，而正确结果是\(21-4=17\)。
混合运算的简化技巧
观察式子结构：在动笔计算前，先观察式子的结构，判断是否能运用运算律简化运算。例如，式子\(100\times3.6 + 100\times6.4\)中，两项都有因数 100，可利用乘法分配律的逆运算简化为\(100\times(3.6 + 6.4)=100\times10=1000\)。
分步计算：对于复杂的混合运算，可分步进行计算，每一步只处理一种运算，减少错误。例如，计算\(10-( - 2)^3\div4\times( - 3)^2\)，可先算乘方得到\(10-( - 8)\div4\times9\)，再算除法得到\(10 - ( - 2)\times9\)，接着算乘法得到\(10 + 18\)，最后算加法得到\(28\)。
处理括号：当括号前是 “\(+\)” 号时，去掉括号后，括号内的各项符号不变；当括号前是 “\(-\)” 号时，去掉括号后，括号内的各项符号都要改变。例如，\(5-(3 - 2)=5 - 3 + 2=4\)。
实际应用举例
购物消费问题：小明去超市购物，买了 3 支单价为 5 元的钢笔，2 瓶单价为\(-3\)元的打折饮料（负号表示优惠），又买了一个价格为\(2^3\)元的笔记本，小明一共花了多少钱？
先分别计算各项费用：钢笔总价为\(3\times5 = 15\)元，饮料总价为\(2\times( - 3)=-6\)元，笔记本价格为\(2^3=8\)元。
再计算总花费：\(15+( - 6)+8=17\)元，即小明一共花了 17 元。
工程进度问题：一个工程队第一天完成了总工程的\(\frac{1}{4}\)，第二天完成了总工程的\(\frac{1}{3}\)，第三天比前两天的总和少完成总工程的\(\frac{1}{6}\)，第三天完成了总工程的几分之几？
先算前两天完成的总和：\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}\)。
再算第三天完成的量：\(\frac{7}{12}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\)，即第三天完成了总工程的\(\frac{5}{12}\)。
课堂练习
计算下列各题：
\(10-( - 2)^2\times3\)
\(18\div(3 - 6)\times( - 2)\)
\([( - 1)^5 + 2]\times( - 4)\)
运用运算律简化计算：
\(25\times(4 - 0.4)\)
\( - 12\times\frac{1}{3}+12\times\frac{1}{4}-12\times\frac{1}{6}\)
总结
有理数混合运算的顺序是 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的”，必须严格遵循。
合理运用运算律能简化运算，提高效率，但要注意运算符号的变化。
实际应用中，需将问题转化为数学式子，再按照混合运算顺序求解，同时要注意单位和实际意义。
运算时要细心，避免因运算顺序错误、符号错误等导致结果出错，可通过分步计算和检查减少错误。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.掌握有理数混合运算的法则，会进行简单的有理数的混合
运算。
2.能合理地运用运算律简化运算，发展运算能力。
3.会利用有理数的混合运算解决简单实际问题。
一般地，有理数混合运算的法则是：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里
的运算。
若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。
进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符
号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的
结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准
确、快捷。
知识过关
　　一般地，计算有理数混合运算时，先算 　乘方　，再
算 　乘除　，最后算 　加减　.如有括号，先进行 　括号　
里的运算.
乘方
乘除
加减
括号
有理数的混合运算
1. 下列四个式子中，计算结果最小的是(　D　)
A. (－3－2)2 B. (－3)×(－2)2
C. －32÷(－2)2 D. －23－32
D
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2. 下列各式计算正确的是(　C　)
C. 3×22－2×32＝2×3×(2－3)＝－6
D. (－42×32)＝(－4×3)2＝144
C
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3. [2024·温州鹿城区期中]如图是一个计算程序，若输入a的
值为－1，则输出的结果b为 .
－5　
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4. 计算：
(1) × － ＋35÷7；
【解】 × － ＋35÷7
＝－ ＋ ＋5＝4 .
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(2)(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)；
【解】(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)
＝－1＋4×3－8÷(－2)
＝－1＋12＋4＝15.
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(3) ×(－2)2－ ＋(－1)2 024.
【解】 ×(－2)2－ ＋(－1)2 024
＝ ×4－ ＋1
＝1－5 ＋1＝－3 .
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有理数混合运算的应用
5. 某地区高度每增加100米，气温降低0.9 ℃，昊恩和美琪
两名同学想出一个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，昊
恩跑到山顶，他们在同一时刻测得山脚的温度是3.8 ℃，
山顶的温度是－1.6 ℃，求山峰的高度.
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【解】[3.8－(－1.6)]÷0.9×100
＝(3.8＋1.6)÷0.9×100
＝5.4÷0.9×100
＝600(米).
所以山峰的高度为600米.
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6. 已知一个棱长为8 cm的立方体铁块.
(1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中(杯子的底面
直径和高度均为20 cm)，则溢出水的体积
为 cm3(溢出水的体积＝铁块的体积)；
512　
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(2)将铁块恰好分割成16个棱长为2 cm的立方体与6个棱长
为a cm的立方体，求a的值.
【解】棱长为a cm的立方体的体积为(512－16×23)÷6
＝64(cm3).
因为43＝64，所以a＝4.
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7. [新考向·传统文化]我国古代《易经》一书中记载，远古时
期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打
结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可
知，孩子自出生后的天数是(　C　)
C
A. 84
B. 336
C. 167
D. 326
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8. [2024·温州鹿城区月考]若计算式子(2□7)△ 的结果
为最大，则应分别在□，△中填入下列选项中的(　D　)
A. ＋，－ B. ×，－
C. ÷，－ D. －，÷
D
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9. [2024·杭州西湖区期中]小明编制了一个计算机计算程序如
图所示，如果输入的数是5，则输出的数是 .
6　
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10. [新视角·新定义题]规定一种新的运算：a★b＝ab－a
－b2＋1.例如：3★(－4)＝3×(－4)－3－(－4)2＋1＝
－30，请用上述规定计算下面各式：
(1)2★8；
【解】2★8＝2×8－2－82＋1＝16－2－64＋1＝－49.
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(2)(－7)★[5★(－2)].
【解】因为5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★[5★(－2)]＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
【解】因为5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★
＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
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11. [母题 教材P66作业题T6]有一种“24”点游戏，其游戏
规则是：任取一副扑克牌，去掉大小王，我们约定A为
1，J，Q，K分别为11，12，13，并规定方块、红桃牌
为正，黑桃、梅花牌为负.任取4张牌将这4张牌的牌面所
表示的数进行加、减、乘、除、乘方运算(可使用括号).
每个数用且只用一次，使其结果等于24.
如：抽出4张牌分别为黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可
做运算：(－4)÷(－2)×4×3＝24.
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(1)若抽出黑桃3、梅花1、方块5、红桃3，请写出1种算
式，并写出计算过程，验证结果为24；
【解】答案不唯一，如
(－3)×(－1)×(5＋3)
＝(－3)×(－1)×8
＝24.
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种
不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
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【解】答案不唯一，如
①(－3)×8×(－13＋12)
＝(－3)×8×(－1)
＝24；
②12×[(－3)－(－13)－8]
＝12×2
＝24.
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(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含
“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证
结果为24.
【解】答案不唯一，如
[(－4)－(－7)]×23
＝3×8
＝24.
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12. [新视角·新定义题]类比乘方运算，我们规定：求n个相
同有理数(均不为0)的商的运算叫作除方.例如
2÷2÷2÷2，记作2“4”，读作“2的引4次商”；一般
地，把 (a≠0，n≥2，且为整数)记
作a“n”，读作“a的引n次商”.
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(1)直接写出计算结果： ＝ ，(－3)“5”
＝ ；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是 数，负数的引正
偶数次商是 数(填“正”或“负”)；
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－ 　
负　
正　
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(3)计算：(－16)÷2“3”＋12× .
【解】(－16)÷2“3”＋12×
＝(－16)÷ ＋12×9
＝(－32)＋108
＝76.
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谢谢观看！