4.4 合并同类项 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
4.4 合并同类项
第4章 代数式
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
合并同类项
课程目标
理解同类项的概念，能准确判断几个单项式是否为同类项。
掌握合并同类项的法则和步骤，能熟练进行同类项的合并。
了解合并同类项在化简代数式中的作用，会运用合并同类项解决相关问题。
同类项的定义
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
例如：\(3x\)与\(-5x\)，所含字母都是\(x\)，且\(x\)的指数都是\(1\)，是同类项；\(2xy^2\)与\(-7xy^2\)，所含字母都是\(x\)、\(y\)，\(x\)的指数都是\(1\)，\(y\)的指数都是\(2\)，是同类项；\(5\)与\(-3\)都是常数项，是同类项。
注意：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。例如，\(3a^2b\)与\(-5ba^2\)是同类项，因为它们所含字母相同，相同字母的指数也相同，只是字母的排列顺序不同。
同类项的特征
两相同：
所含字母相同。
相同字母的指数相同。
两无关：
与系数无关。
与字母的排列顺序无关。
合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的过程实际上是逆用乘法分配律，即\(ac + bc=(a + b)c\)。
例如：\(3x + 5x=(3 + 5)x=8x\)，这里就是把同类项\(3x\)和\(5x\)合并成了一项\(8x\)。
合并同类项的法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
例如：合并同类项\(2a^2b + 3a^2b\)，系数相加为\(2 + 3=5\)，字母和字母的指数不变，所以结果为\(5a^2b\)；合并同类项\(-4xy - 6xy\)，系数相加为\(-4+(-6)=-10\)，结果为\(-10xy\)。
合并同类项的步骤
找：找出多项式中的同类项，可以用不同的符号标出不同的同类项。
移：根据加法交换律和结合律，将同类项移到一起，注意移动时要连同项的符号一起移动。
合：按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
查：检查合并后的结果是否还有同类项，若有则继续合并，直到没有同类项为止。
实例演示
合并多项式\(3x^2 + 2xy - 5x^2 + 4xy\)的同类项：
找：同类项有\(3x^2\)与\(-5x^2\)，\(2xy\)与\(4xy\)。
移：将同类项移到一起，得到\(3x^2 - 5x^2 + 2xy + 4xy\)。
合：合并同类项，\((3 - 5)x^2+(2 + 4)xy=-2x^2 + 6xy\)。
查：检查结果\(-2x^2 + 6xy\)，没有同类项，合并完成。
再如，合并多项式\(5a - 3b - 2a + 4b + 1\)的同类项：
找：同类项有\(5a\)与\(-2a\)，\(-3b\)与\(4b\)。
移：移项后得到\(5a - 2a - 3b + 4b + 1\)。
合：合并同类项，\((5 - 2)a+(-3 + 4)b + 1=3a + b + 1\)。
查：结果中没有同类项，合并完成。
合并同类项的注意事项
合并同类项时，只能把同类项合并：不是同类项的不能合并。例如，\(2x + 3y\)不能合并，因为它们不是同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和：字母和字母的指数与合并前保持一致。
系数相加时要注意符号：尤其是系数为负数时，不能漏加负号。例如，合并\(-3x^2 + 5x^2\)时，系数相加为\(-3 + 5=2\)，结果为\(2x^2\)。
多项式中只有同类项才能合并：合并后的多项式的项数可能比原来的少，但次数不会高于原来多项式的次数。
合并同类项的应用
化简代数式：通过合并同类项可以将复杂的多项式化简，使代数式更加简洁。例如，化简多项式\(4x^2 + 3x - 2x^2 - 5x + 1\)，合并同类项后得到\((4x^2 - 2x^2)+(3x - 5x)+1=2x^2 - 2x + 1\)，化简后的式子更便于计算和分析。
求代数式的值：先合并同类项化简代数式，再代入数值计算，可简化计算过程。例如，求代数式\(3a^2 + 2ab - 5a^2 + ab\)当\(a = 2\)，\(b=-1\)时的值，先合并同类项得\((3a^2 - 5a^2)+(2ab + ab)=-2a^2 + 3ab\)，再代入得\(-2\times2^2 + 3\times2\times(-1)=-8-6=-14\)。
实际问题解决：在实际问题中，用多项式表示数量关系后，通过合并同类项可以简化式子，便于进一步分析和计算。例如，一个长方形的长为\(3x + 2\)，宽为\(x - 1\)，它的周长为\(2[(3x + 2)+(x - 1)]=2[3x + 2 + x - 1]=2[(3x + x)+(2 - 1)]=2[4x + 1]=8x + 2\)，通过合并同类项简化了周长的表达式。
课堂练习
指出下列多项式中的同类项：
\(3x - 2y + 1 + 3y - 2x - 5\)
\(5a^2b - 3ab^2 + 2a^2b - ab^2\)
合并下列多项式中的同类项：
\(4m^2 + 3m - m^2 - 5m\)
\(6x^2y + 2xy - 8x^2y - 5xy + 1\)
先合并同类项，再求值：
代数式\(3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 + x - 1\)，其中\(x = -2\)。
总结
同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，与系数和字母排列顺序无关。
合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，步骤为找、移、合、查。
合并同类项能化简代数式，方便求值和解决实际问题，是整式运算的重要基础。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
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复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.理解同类项的概念。
2.掌握合并同类项的方法,能正确地合并同类项。
3.会利用合并同类项法则进行整式化简。
同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的
项，叫作同类项。所有常数项也看作同类项。
敲黑板
判断同类项时的“两相同，两无关”
典例1 给出各组单项式:与;与; 与
； 与0。其中是同类项的有( )
B
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
解析：
所含字母是 否相同 相同字母的指数 是否相同 结论
相同 不同 不是同类项
相同 相同 是同类项
相同 相同 是同类项
④中 与0是同类项。
1.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。
2.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，
字母和字母的指数不变。
3.合并同类项的一般步骤：
典例2 合并同类项：
（1） ；
（2） 。
典例2 合并同类项：
（1） ；
（2） 。
知识过关
①多项式中，所含 　字母　相同，并且相同字母的 　指数　也
相同的项，叫作同类项.
②所有常数项也看作 　同类项　.把多项式中的同类项合并成
一项，叫作 　合并同类项　.
③合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为 　系
数　，字母和字母的 　指数　不变.
字母
指数
同类项
合并同类项
系
数
指数
同类项的概念
1. [2024·内江]下列单项式中，ab3的同类项是(　A　)
A. 3ab3 B. 2a2b3
C. －a2b2 D. a3b
2. 下列各组整式中，不是同类项的是(　D　)
A. mn与2mn B. 23与32
D. ab2与a2b
A
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3. [新视角·结论开放题][2024·河南]请写出2m的一个同类
项： .
4. [2024·湖州期末]若单项式3xym与－xny3是同类项，则n－
m的值是 .
m(答案不唯一)　
－2　
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(1)－x2y与 x2y；
【解】－x2y与 x2y是同类项，因为－x2y与 x2y
都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1.
23与－34是同类项，因为23与－34都不含字母，为常
数项.常数项都是同类项.
5. [母题 教材P114做一做T1]下列各题中的两项是不是同类项？为什么？
(2)23与－34；
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【解】2a3b2与3a2b3不是同类项，因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别是2和3，所以不是同类项.
【解】 xyz与3xy不是同类项，因为 xyz与3xy中所含字母不同， xyz含有字母x，y，z，而3xy中含有字母x，y，所以不是同类项.
(3)2a3b2与3a2b3；
(4) xyz与3xy.
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合并同类项法则
6. [2023·丽水]计算a2＋2a2的正确结果是(　C　)
A. 2a2 B. 2a4
C. 3a2 D. 3a4
C
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7. [2024·嘉兴期末]下列计算正确的是(　C　)
A. 3a＋2b＝5ab
B. 5xy－4xy＝1
C. 3x2－(－x2)＝4x2
D. －6ab2＋3ab2＝－9ab2
C
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8. [立德树人·教育政策]为了推进“双减”政策，某校开展了
丰富多彩的拓展课程，每名学生可以选择一门课程.已知
选择烘焙课程的有m人，选择小小工匠课程的人数比烘
焙课程人数少10人，选择田园达人课程的人数比小小工匠
课程人数的2倍多3人，则选择这三门拓展课程的总人数为
(　A　)
A
A. (4m－27)人 B. (4m＋27)人
C. (3m＋7)人 D. (3m－7)人
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9. 合并同类项：
(1)3x－2y＋5x－y；
【解】原式＝(3x＋5x)＋(－2y－y)
＝8x－3y.
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(2)0.8a2b－6ab－3.2a2b＋5ab＋a2b；
【解】原式＝(0.8a2b－3.2a2b＋a2b)＋(－6ab＋
5ab)
＝－1.4a2b－ab.
(3)5x3－3x2＋2x－x3＋6x2.
【解】原式＝(5x3－x3)＋(－3x2＋6x2)＋2x
＝4x3＋3x2＋2x.
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10. [母题 教材P114例]当x＝－ ，y＝0.25时，求代数式2x
－7y－5x＋11y－1的值.
【解】原式＝(2x－5x)＋(－7y＋11y)－1
＝－3x＋4y－1.
当x＝－ ，y＝0.25时，原式＝－3× ＋4×0.25
－1＝ ＋1－1＝ .
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11. 要使多项式3x2－10－2x－4x2＋mx2化简后不含x的二
次项，则m的值为(　B　)
A. 0 B. 1
C. －1 D. －7
12. [2024·金华月考]如果单项式x2ym＋2与xny的和仍然是一
个单项式，则5x2ym＋2－3xny＝ (结果不含m和
n).
B
2x2y　
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13. [情境题·生活应用]如图是一个长方形场地，它的长是6a
米，宽是3b米.其中除半圆形休息区和长方形游泳区以
外的地方都是绿地.已知半圆形休息区的直径为2a米，
长方形游泳区的长是3a米，宽是b米.(π取3)
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(1)用代数式表示绿地的面积；
【解】绿地的面积为
6a×3b－3a×b－ π ≈ 平方米.
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(2)当a＝3，b＝2时，求绿地的面积.
【解】当a＝3，b＝2时，
15ab－ a2＝15×3×2－ ×32＝ .
所以绿地的面积是 平方米.
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14. [新考法·阅读类比法]阅读材料：我们知道，4x－2x＋x
＝(4－2＋1)x＝3x，类似地，我们把(a＋b)看成一个整
体，则4(a＋b)－2(a＋b)＋(a＋b)＝(4－2＋1)(a＋b)＝
3(a＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的
思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
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(1)把(a－b)2看成一个整体，化简3(a－b)2＋6(a－b)2－
2(a－b)2；
【解】3(a－b)2＋6(a－b)2－2(a－b)2＝(3＋6－2)(a
－b)2＝7(a－b)2.
(2)已知a＝3，b＝4，求3(a－b)2＋6(a－b)2－2(a－b)2
的值.
【解】当a＝3，b＝4时，
原式＝7(a－b)2＝7×(3－4)2＝7×1＝7.
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15. [新视角·新定义题][2024·嘉兴期中]类比同类项的概念，
我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的
绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：－x3y4与
2x4y3是“强同类项”.
(1)给出下列四个单项式：①5x2y5；②－x5y5；③
4x4y4；④－2x3y6.其中与x4y5是“强同类项”的
是 (填写序号)；
②③④　
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(2)若x3y4zm－2与－2x2y3z6是“强同类项”，求m的值；
【解】因为x3y4zm－2与－2x2y3z6是“强同类项”，
所以m－2＝5或6或7，
所以m＝7或8或9.
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(3)已知2a2bs，3atb4均为关于a，b的单项式，其中s
＝｜x－1｜＋k，t＝2k，如果2a2bs，3atb4是“强
同类项”，那么x的最大值是 ，最小值是
.
　
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因为2a2bs，3atb4是“强同类项”，所以s＝3或4
或5，t＝1或2或3.
因为t＝2k，所以k＝ 或1或 .
因为s＝｜x－1｜＋k，所以｜x－1｜＝s－k.
当s取最大值，k取最小值时，｜x－1｜取得最
大值，此时x有最大值和最小值，
【点拨】
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即当s＝5，k＝ 时，｜x－1｜取得最大值 ，
此时x＝ 或－ ，
所以x的最大值是 ，最小值是－ .
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谢谢观看！