4.5 整式的加减 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
4.5 整式的加减
第4章 代数式
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
整式的加减
课程目标
理解整式加减的本质是合并同类项，掌握整式加减的运算法则。
熟练掌握整式加减的运算步骤，能准确进行整式的加减运算。
学会运用整式的加减解决实际问题，明确运算中的注意事项。
整式加减的本质
整式的加减运算实质上就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。这是因为整式是单项式和多项式的统称，而多项式是由同类项和非同类项组成的，只有通过去括号消除括号的限制后，才能将同类项进行合并，从而完成整式的加减运算。
去括号法则
在进行整式加减时，若式子中含有括号，需要先去括号，去括号的法则如下：
括号前是 “\(+\)” 号，把括号和它前面的 “\(+\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
例如：\(+(3x + 2y)=3x + 2y\)；\(a + (b - c)=a + b - c\)。
括号前是 “\(-\)” 号，把括号和它前面的 “\(-\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
例如：\(-(2x - y)=-2x + y\)；\(m - (n + p)=m - n - p\)。
整式加减的运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
整式加减的运算步骤
去括号：根据去括号法则，去掉整式中的括号。如果括号前有系数，要先用乘法分配律将系数乘到括号里的每一项，再去括号。
例如：计算\(2(3x - 2y) + 4x\)，先运用乘法分配律得\(6x - 4y + 4x\)。
合并同类项：按照合并同类项的法则，将去括号后得到的式子中的同类项进行合并。
接上面的例子，合并同类项得\((6x + 4x) - 4y = 10x - 4y\)。
实例演示
计算\((3x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 3x + 5)\)
去括号：括号前都是 “\(+\)” 号，去括号后各项符号不变，得到\(3x^2 + 2x - 1 + 2x^2 - 3x + 5\)。
合并同类项：找同类项\(3x^2\)与\(2x^2\)、\(2x\)与\(-3x\)、\(-1\)与\(5\)，合并后得\((3x^2 + 2x^2) + (2x - 3x) + (-1 + 5) = 5x^2 - x + 4\)。
计算\((5a^2 - 3ab + b^2) - (2a^2 + ab - 3b^2)\)
去括号：括号前是 “\(-\)” 号，去括号后各项符号改变，得到\(5a^2 - 3ab + b^2 - 2a^2 - ab + 3b^2\)。
合并同类项：同类项\(5a^2\)与\(-2a^2\)、\(-3ab\)与\(-ab\)、\(b^2\)与\(3b^2\)，合并后得\((5a^2 - 2a^2) + (-3ab - ab) + (b^2 + 3b^2) = 3a^2 - 4ab + 4b^2\)。
计算\(3(x^2 - 2xy) - 2(3xy - x^2) + 5\)
去括号：运用乘法分配律去括号，得到\(3x^2 - 6xy - 6xy + 2x^2 + 5\)。
合并同类项：同类项\(3x^2\)与\(2x^2\)、\(-6xy\)与\(-6xy\)，合并后得\((3x^2 + 2x^2) + (-6xy - 6xy) + 5 = 5x^2 - 12xy + 5\)。
整式加减的应用
求代数式的值：先进行整式的加减化简，再代入数值计算，可简化过程。例如，求当\(x = 2\)，\(y = -1\)时，代数式\((3x^2y + 2xy) - (x^2y - xy)\)的值。
先化简：去括号得\(3x^2y + 2xy - x^2y + xy\)，合并同类项得\(2x^2y + 3xy\)。
代入计算：将\(x = 2\)，\(y = -1\)代入，得\(2\times2^2\times(-1) + 3\times2\times(-1) = 2\times4\times(-1) + (-6) = -8 - 6 = -14\)。
几何问题：用整式表示图形的边长、周长、面积等，再通过整式加减解决相关问题。例如，一个三角形的第一条边长为\(2a + b\)，第二条边长比第一条边长短\(a - b\)，第三条边长是第一条边长的 2 倍，求这个三角形的周长。
第二条边长：\((2a + b) - (a - b) = 2a + b - a + b = a + 2b\)。
第三条边长：\(2(2a + b) = 4a + 2b\)。
周长：三条边长相加，\((2a + b) + (a + 2b) + (4a + 2b) = 2a + b + a + 2b + 4a + 2b = 7a + 5b\)。
实际问题：用整式表示实际中的数量关系，再通过整式加减解决问题。例如，某商店原有商品\(a\)件，第一天卖出\(b\)件，第二天购进\(c\)件，第三天又卖出\(d\)件，此时商店还有多少件商品？
原有\(a\)件，第一天卖出后剩\(a - b\)件，第二天购进后有\(a - b + c\)件，第三天卖出后剩\((a - b + c) - d = a - b + c - d\)件。
整式加减的注意事项
去括号时的符号问题：严格按照去括号法则进行，括号前是 “\(-\)” 号时，括号内各项的符号都要改变，不能漏改某一项的符号。例如，\(-(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1\)，不能写成\(-x^2 - 2x + 1\)。
括号前有系数的处理：要用系数乘以括号内的每一项，不能只乘第一项。例如，\(2(3x - y) = 6x - 2y\)，不能写成\(6x - y\)。
合并同类项要彻底：确保合并后不再有同类项，否则结果不正确。例如，\(3x + 2x^2 + 5x\)合并后应为\(2x^2 + 8x\)，不能保留\(3x + 5x\)未合并的形式。
运算顺序：有多层括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。例如，计算\([2x - (3x + 1)] + 4\)，先去小括号得\([2x - 3x - 1] + 4\)，再去中括号得\(2x - 3x - 1 + 4\)，最后合并同类项得\(-x + 3\)。
课堂练习
计算下列各题：
\((2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 5)\)
\((5m^2 - 2n^2) - (3m^2 + n^2)\)
\(3(a^2 - 2ab) - 2(ab - b^2) + 5\)
先化简，再求值：
代数式\((4x^2y - 5xy^2) - (3x^2y - 4xy^2)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)。
一个多项式与\(x^2 - 2x + 1\)的和是\(3x^2 - x + 2\)，求这个多项式。
总结
整式的加减本质是合并同类项，运算时先去括号，再合并同类项。
去括号是整式加减的关键步骤，要注意符号变化和系数的分配；合并同类项要彻底，确保结果正确。
整式的加减在求代数式的值、几何问题和实际生活中都有广泛应用，是代数运算的重要基础。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.掌握去括号法则，能准确去括号，感悟去括号的本质是乘法的
分配律。
2.理解整式的加减运算是建立在数的运算基础上的，数的运算律
及运算法则在整式加减运算中仍然成立，体会“数式通性”，感
悟数学结论的一般性。
3.能熟练进行整式的加减运算、化简求值，提升运算能力。
4.会运用整式的加减解决简单的实际问题。
1.去括号法则：
括号前的符号 方法
括号前是“-”号 把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改
变符号。
去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉。
教材延伸
添括号法则
（1）当所添括号前面是“ ”号时，括到括号里的各项都不改变
符号。
（2）当所添括号前面是“-”号时，括到括号里的各项都改变符号。
2.去多重括号的方法：
去多重括号时，一般由内向外,即先去小括号，再去中括号，最后
去大括号;也可由外向内，即先去大括号,再去中括号,最后去小括号,
且去大括号时,要将中括号看成一个整体,去中括号时,要将小括号看
成一个整体。
典例1 化简：
（1） ;
解：（1）
（去括号）
。（合并同类项得到最简结果）
（2） ；
（3） 。
（2）
。
（3）
。
解题通法
括号前有数字因数时,去括号的方法
若括号前面的系数不是或 ，则应先按照乘法对加法的分配
律，将括号内各项都乘系数的绝对值，再按照法则去括号，或者
将系数直接与原括号里的各项分别相乘。
整式加减的应用类型：
应用类型 方法
直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再
合并同类项。
间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起
来，再用加减运算符号连接。
化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值
代入化简后的式子求值。
整式加减的结果仍是整式，一般按某个字母的降幂（或升幂）排列。结果中不能含有同类项。
典例2 已知多项式 与另一个多项式的和是
,求另一个多项式。
解：由题意，得
。
所以另一个多项式为 。
知识过关
整式的加减可以归结为 　去括号　与 　合并同类项　.
去括号
合并同类项
整式的加减
1. 化简(2a＋b)－(2a－b)的结果是(　B　)
A. 4a B. 2b
C. 0 D. 4a＋2b
2. 多项式3a2＋2a与a2－2a＋1的和是(　A　)
A. 4a2＋1 B. 4a2－4a＋1
C. 4a2＋4a＋1 D. －2a2＋4a＋1
B
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3. [2024·德阳]若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋
2y2－5，则这个多项式为 .
4. 已知关于x，y的多项式2x＋my－12与多项式nx－3y＋
6的差中不含有关于x，y的一次项，则m＋n＋mn
＝ .
y2－1　
－7　
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(1)M＋N；　　
【解】M＋N＝－a＋3b＋(3a＋b)
＝－a＋3b＋3a＋b＝2a＋4b.
【解】2M－N＝2(－a＋3b)－(3a＋b)
＝－2a＋6b－3a－b＝－5a＋5b.
5. [2024·湖州吴兴区期末]设M＝－a＋3b，N＝3a＋b，
化简下列各式：
(2)2M－N.
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6. [2024·杭州西湖区期中]老师在黑板上写了一个正确的演算
过程，随后用手捂住了一个多项式，形式如下：
＋2(a2－4ab＋4b2)＝5a2＋2b2.
(1)求手捂住的多项式；
【解】根据题意，得手捂住的多项式为(5a2＋2b2)－
2(a2－4ab＋4b2)＝5a2＋2b2－2a2＋8ab－8b2＝3a2＋
8ab－6b2.
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【解】因为(a＋1)2＋ ＝0，
所以a＋1＝0，b－ ＝0，
所以a＝－1，b＝ ，
所以3a2＋8ab－6b2＝3－4－ ＝－2.5.
(2)若a，b满足(a＋1)2＋ ＝0，请求出手捂住的多
项式的值.
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整式加减的应用
7. 一根铁丝正好可以围成一个长是2a＋b、宽是a＋3b的
长方形，现把它剪去一段，若剪去的铁丝正好可以围成一
个长是a、宽是2b的长方形(均不计接缝)，则剩下的铁丝
长是(　A　)
A. 4a＋4b B. 2a＋2b
C. 4a＋2b D. 5a＋6b
A
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8. 某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，
若每只羊每天需要4千克草，设牛有x只，该牧民每天需
准备 千克草.
(12x＋480)　
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【解】由题意可得第二天销售了(2x＋5)件，
所以第三天销售了3(2x＋5)－8＝(6x＋7)件，
所以三天的销售总量为x＋(2x＋5)＋(6x＋7)＝(9x＋
12)件.
9. 某服装店新开张，第一天销售服装x件，第二天的销
售量比第一天的2倍还多5件，第三天的销售量比第二
天的3倍少8件，请用含x的代数式表示这三天一共销售
的服装件数.
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10. 如果M和N都是三次多项式，那么M＋N一定是
(　D　)
A. 三次多项式
B. 六次多项式
C. 次数不低于3的多项式或单项式
D. 次数不高于3的多项式或单项式
D
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11. 若P＝ (x2－y2＋3)，Q＝ (x2－2y2＋2)，则P，Q的
大小关系是(　A　)
A. P＞Q B. P＜Q
C. P＝Q D. P≤Q
A
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12. 一块菜地共占地(6m＋2n)亩，其中(3m＋6n)亩种植白
菜，种植黄瓜的地是种植白菜的地的 ，剩下的地种植
时令蔬菜，则种植时令蔬菜的地有(　A　)
A. (2m－6n)亩 B. (2m＋6n)亩
C. (m＋6n)亩 D. (m－6n)亩
A
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13. [2024·杭州拱墅区期中]小明粗心大意，在求一个多项式
减去2x2－3x＋7的值时，把“减去2x2－3x＋7”看成了
“加上2x2－3x＋7”，得到答案是5x2－2x＋4，你能帮
小明求出正确的答案吗？请写出求解过程.
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【解】原多项式为5x2－2x＋4－(2x2－3x＋7)
＝5x2－2x＋4－2x2＋3x－7
＝3x2＋x－3，
故可得正确结果＝(3x2＋x－3)－(2x2－3x＋7)
＝3x2＋x－3－2x2＋3x－7
＝x2＋4x－10.
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14. [新考向·知识情境化]如图，公园有一块长为(2a－1)米、
宽为a米的长方形土地(一边靠着墙)，现将三面留出宽都
是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆
把花圃不靠墙的三边围起来.
(1)花圃的宽AB为 米，花圃的长BC为
米(用含a，b的式子表示)；
(a－b)　
(2a
－2b－1)　
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(2)求篱笆的总长度(用含a，b的式子表示)；
【解】篱笆的总长度为(2a－2b－1)＋2(a－b)＝2a
－2b－1＋2a－2b＝(4a－4b－1)米.
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(3)若a＝30，b＝5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆
的总价.
【解】当a＝30，b＝5时，篱笆的总价为(4a－4b－1)×60＝(4×30－4×5－1)×60＝5 940(元).
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15. [新考法·阅读类比法]阅读：证明命题“一个三位数各位
数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”.设
表示一个三位数.
则 ＝100a＋10b＋c＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c)＝
9(11a＋b)＋(a＋b＋c).
因为9(11a＋b)能被3整除，a＋b＋c也能被3整除，所
以 能被3整除.
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运用：
(1)一个四位数 ，如果a＋b＋c＋d能被9整除.请
说明 能被9整除；
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【解】因为 是一个四位数，
所以 ＝1 000a＋100b＋10c＋d
＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)
＝9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d).
因为9(111a＋11b＋c)能被9整除，a＋b＋c＋d能
被9整除，
所以四位数 能被9整除.
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(2)若一个三位数 的各位数字是任意三个连续的正整
数，则 的最小正因数一定是 (数字“1”除
外).
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谢谢观看！