5.3 一元一次方程和它的解 课件（共28张PPT）

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5.3 一元一次方程和它的解
第5章 一元一次方程
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程和它的解
课程目标
理解一元一次方程的定义和特征，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。
掌握一元一次方程的解的概念，能检验一个数是否为一元一次方程的解。
了解解一元一次方程的基本思路，为后续求解打下基础。
一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
用字母表示为：\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)为常数，且\(a\neq0\)），这是一元一次方程的标准形式。
实例说明：
\(3x + 5 = 14\)：只含有一个未知数\(x\)，\(x\)的次数是 1，等号两边都是整式，是一元一次方程。
\(2y - 7 = 3y + 1\)：只含有一个未知数\(y\)，\(y\)的次数是 1，等号两边都是整式，是一元一次方程。
注意：以下方程不是一元一次方程：
\(x^2 + 2x = 5\)：未知数\(x\)的次数是 2，不是 1，所以不是。
\(2x + 3y = 7\)：含有两个未知数\(x\)和\(y\)，所以不是。
\(\frac{1}{x} + 5 = 3\)：等号左边含有分式\(\frac{1}{x}\)，不是整式，所以不是。
一元一次方程的特征
只含有一个未知数：方程中出现的未知数只有一个，如\(5x - 3 = 0\)中只有未知数\(x\)。
未知数的次数是 1：未知数的最高次数为 1，且系数不为 0，如\(4y + 2 = 0\)中\(y\)的次数是 1。
等号两边都是整式：方程的左右两边都必须是整式，不能含有分式或根号下的未知数等，如\(3x + 2 = \sqrt{x}\)不是一元一次方程，因为右边含有根号下的未知数。
一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解，也可以叫做一元一次方程的根。
实例说明：
对于方程\(2x + 3 = 7\)，当\(x = 2\)时，左边\(=2\times2 + 3 = 7\)，右边\(=7\)，左边等于右边，所以\(x = 2\)是该方程的解（根）。
对于方程\(5y - 10 = 0\)，当\(y = 2\)时，左边\(=5\times2 - 10 = 0\)，右边\(=0\)，所以\(y = 2\)是该方程的解。
检验一个数是否为一元一次方程的解
检验方法：将这个数代入方程的左右两边，分别计算出两边的结果，如果两边结果相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，就不是方程的解。
例 1：检验\(x = 3\)是不是方程\(4x - 5 = 7\)的解。
把\(x = 3\)代入左边：\(4\times3 - 5 = 12 - 5 = 7\)。
右边\(=7\)。
因为左边\(=\)右边，所以\(x = 3\)是该方程的解。
例 2：检验\(y = -1\)是不是方程\(3y + 4 = 1\)的解。
把\(y = -1\)代入左边：\(3\times(-1) + 4 = -3 + 4 = 1\)。
右边\(=1\)。
因为左边\(=\)右边，所以\(y = -1\)是该方程的解。
例 3：检验\(x = 5\)是不是方程\(2x - 6 = 5\)的解。
把\(x = 5\)代入左边：\(2\times5 - 6 = 10 - 6 = 4\)。
右边\(=5\)。
因为左边\(\neq\)右边，所以\(x = 5\)不是该方程的解。
解一元一次方程的基本思路
解一元一次方程的基本思路是通过一系列变形，把方程转化为\(x = a\)（\(a\)为常数）的形式。这些变形主要依据等式的基本性质，具体包括：
去分母（针对含有分母的方程）。
去括号。
移项：把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边（移项要变号）。
合并同类项：把方程化为\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
简单示例：解方程\(3x + 2 = 8\)
移项：\(3x = 8 - 2\)（依据等式基本性质 1，两边同时减去 2）。
合并同类项：\(3x = 6\)。
系数化为 1：\(x = 2\)（依据等式基本性质 2，两边同时除以 3）。
一元一次方程的应用场景
一元一次方程在实际生活中应用广泛，能解决多种类型的问题：
购物问题：如 “某商品原价\(x\)元，打八折后售价为 40 元，求原价”，可列方程\(0.8x = 40\)。
工程问题：如 “一项工程，甲单独做需要\(x\)天完成，每天完成工程的\(\frac{1}{x}\)，甲做 3 天后完成了工程的\(\frac{1}{4}\)”，可列方程\(3\times\frac{1}{x} = \frac{1}{4}\)。
比例问题：如 “某班男生人数是女生人数的 1.2 倍，男生比女生多 5 人，设女生人数为\(x\)”，可列方程\(1.2x - x = 5\)。
课堂练习
判断下列方程是否为一元一次方程：
\(5x + 7 = 2x - 1\)
\(x^2 - 3x = 1\)
\(\frac{1}{2}y + 3 = 0\)
\(3x + 2y = 5\)
检验下列各数是不是相应方程的解：
\(x = 4\)是不是方程\(3x - 5 = 7\)的解。
\(y = 3\)是不是方程\(2y + 1 = 8\)的解。
根据下列问题列出一元一次方程：
一个数的 3 倍与 5 的和是 14，设这个数为\(x\)。
小明今年\(x\)岁，爸爸今年 36 岁，爸爸的年龄是小明的 4 倍。
总结
一元一次方程的定义：只含一个未知数，未知数次数为 1，等号两边是整式的方程，标准形式为\(ax + b = 0\)（\(a\neq0\)）。
一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，检验时需代入计算两边结果是否相等。
解一元一次方程的基本思路是通过变形化为\(x = a\)的形式，依据是等式的基本性质。
一元一次方程在实际生活中应用广泛，是解决数量关系问题的重要工具。
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课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.通过观察、思考归纳出一元一次方程的概念，发展抽象能力。
2.理解一元一次方程的解的概念，能判断一个数是不是一元一次
方程的解。
3.会利用等式的性质解简单的一元一次方程。
1.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且
两边都是整式，
①未知数不出现在分母上，如 等不是整式；②未知数不出现在根
号内，如 等不是整式
这样的方程叫作一元一次方程。
2.一元一次方程必备的三个要素：①只含有一个未知数；②未知数
的次数都是一次；③两边都是整式。三者缺一不可。
典例1 已知下列方程：；； ；
；； 。其中，是一元一次方程
的有________。（填序号）
②③⑤
解析：
序号 一元一次方程成立的条件 是否为一
元一次方
程
等号两边都 是整式 只含有一个未 知数 未知数的次数 都是1 ① 否
② √ √ √ 是
序号 一元一次方程成立的条件 是否为一
元一次方
程
等号两边都 是整式 只含有一个未 知数 未知数的次数 都是1 ③ √ √ √ 是
④ √ √ 否
⑤ √ √ √ 是
⑥ √ 否
1.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值
叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。
含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根
2.解方程：求方程的解的过程称为解方程。
方程的解与解方程的区别与联系
方程的解 解方程
区别 是一个具体的数。 求方程的解的过程。
联系 方程的解是通过解方程求得的。 典例2 判断下列的值是不是方程 的解。
（1） ;
解：（1）当时，左边，右边
，左边右边，所以不是方程 的解。
（2） 。
（2）当时，左边，右边 ，
左边右边，所以是方程 的解。
等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程
一步一步变形，最后变形成“（ 为已知数）”的形式，就求出
了一元一次方程的解。
（1） ；
解：（1）方程的两边都减去，得 。
合并同类项，得 。
两边都除以，得 。
典例3 利用等式的性质求下列方程的解。
（2） 。
（2）方程的两边都加上 ，得
。
合并同类项，得 。
两边都加上，得 。
两边都除以，得 。
（1） ；
典例3 利用等式的性质求下列方程的解。
（2） 。
知识过关
①只含有 　一　个未知数，未知数的次数都是 　一次　，且两
边都是 　整式　，这样的方程叫作一元一次方程.
②能使一元一次方程两边相等的 　未知数的值　叫作一元一次
方程的解，也叫作方程的根.
一
一次
整式
未知数的值
一元一次方程的定义
1. [2024·宁波镇海区期末]下列四个方程中，属于一元一次方
程的是(　D　)
A. 2x2－1＝0 B. x－y＝12
D. 6x＝0
D
1
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2. 若2xa－2－3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值
为 .
3　
1
2
3
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6
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8
9
10
一元一次方程的解
3. 下列方程中，解为x＝3的是(　B　)
A. －2x＋5＝1
B
1
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3
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5
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10
4. 若x＝2是关于x的一元一次方程2x＋3m－1＝0的解，
则m的值等于 .
－1　
1
2
3
4
5
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8
9
10
(1)x＝2；　(2)x＝3.
【解】(1)将x＝2代入，左边＝8，右边＝11，左边≠右
边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；
(2)将x＝3代入，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，
故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解.
5. 检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检
验过程.
1
2
3
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5
6
7
8
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解一元一次方程
6. [2024·杭州期末]若代数式3x－1的值为5，则x等于
(　A　)
A. 2 B. －2
C. 3 D. －3
A
1
2
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10
7. 利用等式的性质，解下列一元一次方程：
(1)x－6＝2x－1；　 (2)x－3＝3x＋5.
【解】x＝－5；　　　　　
8. 观察下列按一定规律排列的n个数：1，3，5，7，
9，…，2n－1，若最后三个数之和是99，要求这列数中
最大的数，可列关于n的方程为
，这列数中最大的数为 .
9. 已知方程(m－1)x｜m｜＋3＝0是关于x的一元一次方程.
(1)m的值为 ；
2n－5＋2n－3＋2n－
1＝99　
35　
－1　
【解】x＝－4.
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(2)判断x＝ ，x＝ 是不是方程的解.
【解】原方程为－2x＋3＝0，
当x＝ 时，左边＝－2× ＋3＝ ，左边≠右边，故x
＝ 不是方程的解；
当x＝ 时，左边＝－2× ＋3＝0＝右边，故x＝ 是
方程的解.
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10. [新视角·新定义题]我们定义：如果两个一元一次方程的
解相加之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”.
如：方程2x＝4和x＋1＝0为“和一方程”.
(1)已知关于x的方程ax＋b＝0(a≠0)的解是最小的正
整数，这个方程和以下的 是“和一方
程”；(填序号)
③　
①2x＋2＝4；②3x＝2x－1；③1－ x＝2x＋1
1
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(2)若关于x的方程 x－ ＝2与方程4x＋2＝x－10是
“和一方程”，则m的值为 ；
± 　
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(3)若关于x的一元一次方程 x＋3＝2x＋k和 x
＋1＝0是“和一方程”，则关于y的一元一次方程
(y＋1)＋3＝2y＋k＋2的解为 .
y＝2 024　
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10
谢谢观看！