5.4 一元一次方程的解法 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
5.4 一元一次方程的解法
第5章 一元一次方程
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程的解法
课程目标
熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
能根据方程的特点灵活运用解题步骤，准确求出一元一次方程的解。
理解每一步变形的依据，明确解方程过程中的注意事项。
能运用一元一次方程的解法解决简单的实际问题。
解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的过程就是通过一系列变形，将方程转化为\(x = a\)（\(a\)为常数）的形式。具体步骤如下：
1. 去分母
适用情况：方程中含有分母。
方法：在方程两边同时乘各分母的最小公倍数，消除分母。
依据：等式的基本性质 2（两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍成立）。
注意事项：
不要漏乘不含分母的项。
分子是多项式时，去分母后要给分子加上括号。
示例：解方程\(\frac{x - 1}{2} + 1 = \frac{2x + 1}{3}\)
各分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，两边同时乘 6：\(
6\times\frac{x - 1}{2} + 6\times1 = 6\times\frac{2x + 1}{3}
\)
化简得：\(3(x - 1) + 6 = 2(2x + 1)\)
2. 去括号
适用情况：方程中含有括号。
方法：根据乘法分配律（\(a(b + c)=ab + ac\)）去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
依据：乘法分配律和去括号法则。
注意事项：
括号前是 “\(+\)” 号，去括号后括号内各项符号不变。
括号前是 “\(-\)” 号，去括号后括号内各项符号都要改变。
不要漏乘括号内的每一项。
示例：接上面的方程\(3(x - 1) + 6 = 2(2x + 1)\)
去括号：\(3x - 3 + 6 = 4x + 2\)
3. 移项
适用情况：需要将含有未知数的项和常数项分别放在等号两边。
方法：把方程中的某一项从等号一边移到另一边，同时改变该项的符号。
依据：等式的基本性质 1（两边同时加或减同一个数，等式仍成立）。
注意事项：
移项必须变号，不移项的项符号不变。
通常把含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。
示例：接上面的方程\(3x - 3 + 6 = 4x + 2\)
移项：\(3x - 4x = 2 + 3 - 6\)
4. 合并同类项
适用情况：方程中有同类项。
方法：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，将方程化为\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
依据：合并同类项法则。
注意事项：
合并同类项时要注意系数的符号。
确保合并后不再有同类项。
示例：接上面的方程\(3x - 4x = 2 + 3 - 6\)
合并同类项：\(-x = -1\)
5. 系数化为 1
适用情况：方程已化为\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
方法：在方程两边同时除以未知数的系数\(a\)，得到\(x = \frac{b}{a}\)。
依据：等式的基本性质 2（两边同时除以同一个不为 0 的数，等式仍成立）。
注意事项：
系数为负数时，除以系数后要注意符号的变化。
确保结果是最简形式。
示例：接上面的方程\(-x = -1\)
系数化为 1：两边同时除以\(-1\)，得\(x = 1\)
典型例题解析
例 1：解方程\(4x - 3(5 - x) = 6\)
去括号：\(4x - 15 + 3x = 6\)（括号前是 “\(-\)” 号，去括号后各项变号）
移项：\(4x + 3x = 6 + 15\)
合并同类项：\(7x = 21\)
系数化为 1：\(x = 3\)
例 2：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 1\)
去分母：两边同时乘 6，得\(2(2x - 1) - (x + 1) = 6\)（注意分子是多项式加括号，漏乘不含分母的项 1）
去括号：\(4x - 2 - x - 1 = 6\)（括号前是 “\(-\)” 号，去括号后各项变号）
移项：\(4x - x = 6 + 2 + 1\)
合并同类项：\(3x = 9\)
系数化为 1：\(x = 3\)
例 3：解方程\(3(x + 2) - 2(2x - 3) = 12\)
去括号：\(3x + 6 - 4x + 6 = 12\)
移项：\(3x - 4x = 12 - 6 - 6\)
合并同类项：\(-x = 0\)
系数化为 1：\(x = 0\)
解方程的技巧与注意事项
灵活选择步骤：不是所有方程都需要经过五个步骤，要根据方程的特点灵活取舍。例如，方程\(5x - 8 = 2x + 1\)没有分母和括号，可直接移项。
去分母的细节：
确定各分母的最小公倍数时要准确。
分子是多项式时，一定要加括号，避免符号错误。
去括号的顺序：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每一步都要严格遵循去括号法则。
移项与项的区别：移项是指改变位置并变号，而在等号同一侧交换项的位置不需要变号。
检验解的正确性：解完方程后，可将解代入原方程检验，看左右两边是否相等，确保结果正确。
实际应用举例
问题：某商店将进价为 100 元的商品按标价的 8 折销售，仍可获利 20 元，求该商品的标价。
设该商品的标价为\(x\)元。
根据题意列方程：\(0.8x - 100 = 20\)
解方程：
移项：\(0.8x = 20 + 100\)
合并同类项：\(0.8x = 120\)
系数化为 1：\(x = 150\)
答：该商品的标价为 150 元。
课堂练习
解下列方程：
\(5(x - 1) = 1\)
\(\frac{2x + 1}{3} = x - 1\)
\(2(x - 2) - 3(4x - 1) = 9(1 - x)\)
当\(x\)为何值时，代数式\(2x - 1\)的值等于代数式\(x + 3\)的值？
某数的 3 倍减去 5 等于这个数的 2 倍加上 1，求这个数。
总结
解一元一次方程的一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，每一步都有其依据和注意事项。
解方程时要根据方程的具体特点灵活运用步骤，避免机械套用。
解完方程后可通过代入检验确保结果正确，一元一次方程的解法是解决实际问题的重要基础。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.会将方程中的项从方程的一边移到另一边。
2.会利用移项、去括号、去分母等解一元一次方程。
3.掌握解一元一次方程的基本程序，逐步提高运算能力，体会
化归思想。
移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一
边，这种变形叫作移项。移项时，通常把含有未知数的项移到等号
的左边，把常数项移到等号的右边。
移项与加法交换律的区别
移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动的项要变号；而加
法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号。
移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数
的项移到方程的左边，将常数项（不含未知数的项）移到方程的右
边，将方程化成 的形式。
典例1 解方程: 。
解：移项，得。（将含 的项移到方程的一边，常
数项移到方程的另一边）
合并同类项，得。将方程化为的形式
两边同除以2，得。将方程化为的形式
当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行
移项、合并同类项等变形求解。
知识点2 去括号解一元一次方程 重点
典例2 解方程： 。
解：去括号，得 。
移项，得 。
合并同类项，得 。
两边同除以，得 。
知识点2 去括号解一元一次方程 重点
括号前是“-”,去括号
时括号里的各项都要变号
去分母的步骤：
（1）不要漏乘不含分母的项（每项都乘）；（2）由于分
数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母后，要将分
子作为一个整体加上括号。
典例3 解方程： 。
解一元一次方程的基本程序如下表：
变形名称 变形依据 具体做法 易错点
去分母 等式的性 质2 在方程两边同 时乘各分母的 最小公倍数。 （1）不要漏乘不含分母
的项；（2）分子是多项
式时，去分母后应将分
子作为一个整体加上括
号。
变形名称 变形依据 具体做法 易错点
去括号 分配律、去 括号法则 先去小括号，再 去中括号，最后 去大括号 （也可以先去大 括号，再去中括 号，最后去小括 号）。 （1）不要漏乘括号
里的任何一项；
（2）若括号前是负
号，则去括号后，括
号内各项都要变号。
变形名称 变形依据 具体做法 易错点
移项 等式的性 质1 把含有未知数的项 移到方程的一边， 常数项移到方程的 另一边。 移项要改变项的符
号。
合并同类项 合并同类 项法则 系数相加，字母及
其指数均不变。
变形名称 变形依据 具体做法 易错点
两边同除以未 知数的系数 等式的性 质2 （1）切忌分
子、分母位置
颠倒；（2）不
要忘记未知数
系数的符号。
典例4 解方程： 。
解：将原方程化为 。
去分母，得 。
去括号，得 12。
易错：去分母时，不可漏乘不含分母的项
移项、合并同类项，得 ，
解得 。
知识过关
解一元一次方程的基本步骤是：
①去分母，依据是 　等式的性质2　；
②去括号，依据是 　去括号法则　；
③移项，依据是 　等式的性质1　；
④合并同类项，依据是 　合并同类项法则　；
⑤两边同除以未知数的系数，依据是 　等式的性质2　.
等式的性质2
去括号法则
等式的性质1
合并同类项法则
等式的性质2
解分母是整数的一元一次方程
1. 在解方程 － ＝2时，去分母正确的是(　D　)
A. 3(x－1)－2(2x＋1)＝2
B. 3x－1－2(2x＋1)＝12
C. 3(x－1)－4x＋1＝12
D. 3(x－1)－2(2x＋1)＝12
D
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2. 如果4x－1的值的一半比3x－2的值大1，那么x的值
是 .
3. [2024·金华月考]解方程： － ＝1.
【解】去分母，得2y－3(y－1)＝6.
去括号，得2y－3y＋3＝6.
移项，合并同类项，得－y＝3.
系数化为1，得y＝－3.
　
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4. [新考法·过程性学习]以下是圆圆解方程 － ＝1的解
答过程.
解：去分母，得2(x＋1)－3(x－3)＝1.
去括号，得2x＋2－3x－9＝1.
移项，合并同类项，得－x＝8.
系数化为1，得x＝－8.
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圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解
答过程.
【解】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得2(x＋1)－3(x－3)＝6，
去括号，得2x＋2－3x＋9＝6，
移项，合并同类项，得－x＝－5，
系数化为1，得x＝5.
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解分母中含有小数的一元一次方程
5. [母题 教材P140例4]将方程 ＝1＋ 中的分母化为
整数，正确的是(　C　)
C
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6. [2024·绍兴上虞区期中]解方程：
(1) － ＝3；　
【解】方程可化为 － ＝3，
即5(x－3)－2(x＋2)＝3，
去括号，得5x－15－2x－4＝3，
移项，得5x－2x＝3＋15＋4，
合并同类项，得3x＝22，系数化为1，得x＝ .
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方程可化为x－ ＝ ，
去分母，得3x－(x－20)＝10＋15x，
去括号，得3x－x＋20＝10＋15x，
移项，得3x－x－15x＝10－20，
合并同类项，得－13x＝－10，
系数化为1，得x＝ .
(2)x－ ＝ .
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[易错题]去分母时漏乘常数项
7. 下列方程中，去分母正确的是(　D　)
D
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8. 解方程 ＝7，下列变形较简便的是(　C　)
A. 方程两边都乘20，得4(5x－120)＝140
C. 去括号，得x－24＝7
C
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9. [2024·石家庄期末]若单项式－ amb3与2a2bn的和仍是单
项式，则关于x的方程 － ＝1的解为(　C　)
A. x＝－2 B. x＝2
C. x＝－7 D. x＝7
C
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10. [新考法·将错就错法]小军同学在解关于x的方程 ＝
－1去分母时，方程右边的－1没有乘2，因而求出
的解为x＝3，则方程的正确解为 .
x＝2　
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【解】方法一：去分母，得3(12x－1)－2(18x＋1)＝4x，
去括号，得36x－3－36x－2＝4x，
移项，得36x－36x－4x＝3＋2，
合并同类项，得－4x＝5，
系数化为1，得x＝－ ；
11. 用不同方法解方程 － ＝ ，你认为哪一种方
法更简便？
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方法二：原方程化为3x－ － ＝ ，
－ － ＝ ， ＝－ ，
方程两边都乘3，得x＝－ .
方法二更简便.
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12. [新考向·新定义问题][2024·丽水期末]给出定义如下：
若有理数a，b满足等式a＋b＝ab－1，则我们称a，
b为一对“伴生有理数”，记为(a，b).例如：2＋3＝
2×3－1，则称2，3是一对“伴生有理数”，记为(2，3).
(1)分别判断 ，－3和7， 是不是“伴生有理数”，请
说明理由；
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【解】因为 －3＝－ ， ×(－3)－1＝－ ，
所以 －3＝ ×(－3)－1，
所以 ，－3是“伴生有理数”.
因为7＋ ＝ ，7× －1＝ ，
所以7＋ ≠7× －1，
所以7， 不是“伴生有理数”.
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(2)若(4，m)为“伴生有理数”，求m的值.
【解】由题意得4＋m＝4m－1，解得m＝ .
故m的值为 .
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13. [2024·杭州期末]已知关于x的一元一次方程 －
＝2，其中a，b，k为常数.
(1)当k＝3，a＝－1，b＝1时，求该方程的解；
【解】当k＝3，a＝－1，b＝1时，原方程为 －
＝2.
所以3x－1－2x＋6＝12.所以x＝7.
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(2)当k＝2时，若原方程有无数多个解，求此时a＋4b
的值；
【解】当k＝2时，原方程为 － ＝2.
所以2x＋a－2x＋4b＝12.
所以0·x＝12－a－4b.
因为方程有无数多个解，所以12－a－4b＝0.
所以a＋4b＝12.
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(3)若无论k为何值时，该方程的解总是x＝－3，求ab
的值.
【解】该方程可化为kx＋a－2x＋2bk＝12，
把x＝－3代入方程，得－3k＋a＋6＋2bk＝12.
所以(2b－3)k＝6－a.
因为无论k为何值，等式恒成立，
所以2b－3＝0，6－a＝0.
所以a＝6，b＝ .所以ab＝6× ＝9.
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谢谢观看！