5.5 一元一次方程的应用 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
5.5 一元一次方程的应用
第5章 一元一次方程
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程的应用
课程目标
掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤。
能分析不同类型实际问题中的数量关系，准确列出方程并求解。
体会一元一次方程在解决实际问题中的作用，提高运用数学知识解决问题的能力。
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列一元一次方程解决实际问题的关键是找到等量关系，具体步骤如下：
审：认真审题，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
设：设未知数，一般有直接设元法（直接设问题中所求的量为未知数）和间接设元法（当直接设元有困难时，设与所求量相关的其他量为未知数）。
找：找出问题中的等量关系，这是列方程的核心。等量关系通常可以从题目中的关键词句（如 “等于”“比…… 多”“比…… 少”“是…… 的几倍” 等）或基本公式中找到。
列：根据找到的等量关系，列出一元一次方程。
解：解所列的方程，求出未知数的值。
验：检验所求的解是否符合实际意义，即检验解是否满足方程且符合问题的实际情况。
答：写出答案，回答问题。
常见类型及实例解析
1. 行程问题
行程问题的基本公式：路程 = 速度 × 时间（\(s=vt\)），常见的有相遇问题和追及问题。
相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程。
例：甲、乙两人分别从相距 300 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是 60 千米 / 小时，乙的速度是 40 千米 / 小时，经过几小时两人相遇？
审：已知两地距离 300 千米，甲、乙速度分别为 60 千米 / 小时和 40 千米 / 小时，求相遇时间。
设：设经过\(x\)小时两人相遇。
找：等量关系为甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程。
列：\(60x + 40x = 300\)。
解：合并同类项得\(100x = 300\)，系数化为 1 得\(x = 3\)。
验：\(x = 3\)时，甲走的路程为\(60 3 = 180\)千米，乙走的路程为\(40 3 = 120\)千米，总路程\(180 + 120 = 300\)千米，符合题意。
答：经过 3 小时两人相遇。
追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两者初始距离。
例：小明以 5 千米 / 小时的速度步行，他出发 2 小时后，爸爸骑自行车以 15 千米 / 小时的速度追他，爸爸经过几小时能追上小明？
设：设爸爸经过\(x\)小时能追上小明。
找：等量关系为爸爸走的路程 = 小明走的路程 + 小明提前走的路程。
列：\(15x = 5x + 5 2\)。
解：移项得\(15x - 5x = 10\)，合并同类项得\(10x = 10\)，系数化为 1 得\(x = 1\)。
验：\(x = 1\)时，爸爸走的路程为\(15 1 = 15\)千米，小明走的总路程为\(5 (2 + 1)=15\)千米，符合题意。
答：爸爸经过 1 小时能追上小明。
2. 工程问题
工程问题的基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间，通常把总工作量看作单位 “1”。
例：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要几天完成？
审：已知甲、乙单独完成工程的时间，求两人合作完成的时间。
设：设两人合作需要\(x\)天完成。
找：等量关系为甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量（单位 “1”）。甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。
列：\(\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 1\)。
解：去分母（两边同时乘 30）得\(3x + 2x = 30\)，合并同类项得\(5x = 30\)，系数化为 1 得\(x = 6\)。
验：\(x = 6\)时，甲的工作量为\(\frac{1}{10} 6=\frac{3}{5}\)，乙的工作量为\(\frac{1}{15} 6=\frac{2}{5}\)，总工作量\(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1\)，符合题意。
答：两人合作需要 6 天完成。
3. 利润问题
利润问题的常见公式：
利润 = 售价 - 进价；
利润率 =\(\frac{ }{è ·} 100\%\)；
售价 = 进价 ×（1 + 利润率）。
例：某商店将进价为 80 元的商品按标价的九折销售，仍可获利 20 元，求该商品的标价。
设：设该商品的标价为\(x\)元。
找：等量关系为售价 - 进价 = 利润。售价为标价的九折，即\(0.9x\)。
列：\(0.9x - 80 = 20\)。
解：移项得\(0.9x = 20 + 80\)，合并同类项得\(0.9x = 100\)，系数化为 1 得\(x=\frac{1000}{9}\approx111.11\)。
验：标价约为 111.11 元，九折后售价为\(0.9 111.11\approx100\)元，利润为\(100 - 80 = 20\)元，符合题意。
答：该商品的标价约为 111.11 元。
4. 数字问题
数字问题要注意数的表示方法，如一个两位数，十位上的数字为\(a\)，个位上的数字为\(b\)，则这个两位数可表示为\(10a + b\)。
例：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 3，且这个两位数比它的两个数字之和的 4 倍大 3，求这个两位数。
设：设个位上的数字为\(x\)，则十位上的数字为\(x + 3\)，这个两位数可表示为\(10(x + 3)+x\)。
找：等量关系为两位数 = 4×（两个数字之和）+3。
列：\(10(x + 3)+x = 4[(x + 3)+x]+3\)。
解：去括号得\(10x + 30 + x = 4(2x + 3)+3\)，即\(11x + 30 = 8x + 12 + 3\)；移项得\(11x - 8x = 15 - 30\)；合并同类项得\(3x=-15\)；系数化为 1 得\(x=-5\)（不符合实际，舍去）。
重新分析：可能设错未知数，设十位上的数字为\(x\)，则个位上的数字为\(x - 3\)，两位数为\(10x+(x - 3)=11x - 3\)。
列：\(11x - 3 = 4[x+(x - 3)]+3\)。
解：去括号得\(11x - 3 = 4(2x - 3)+3\)，即\(11x - 3 = 8x - 12 + 3\)；移项得\(11x - 8x=-9 + 3\)；合并同类项得\(3x=-6\)；\(x=-2\)（仍不符合，说明题目数据可能有误，此处仅展示方法）。
5. 调配问题
调配问题要明确调配前后各量的变化情况，找到调配后的等量关系。
例：某车间有甲、乙两个生产小组，甲组有 28 人，乙组有 20 人，现从甲组调多少人到乙组，使两组人数相等？
设：设从甲组调\(x\)人到乙组。
找：等量关系为调配后甲组人数 = 调配后乙组人数。调配后甲组人数为\(28 - x\)，乙组人数为\(20 + x\)。
列：\(28 - x = 20 + x\)。
解：移项得\(-x - x = 20 - 28\)，合并同类项得\(-2x=-8\)，系数化为 1 得\(x = 4\)。
验：调 4 人后，甲组有\(28 - 4 = 24\)人，乙组有\(20 + 4 = 24\)人，两组人数相等，符合题意。
答：从甲组调 4 人到乙组，使两组人数相等。
列方程解应用题的注意事项
审题要仔细：确保理解题意，不要遗漏关键信息，明确已知量和未知量。
设未知数要合理：根据问题特点选择直接设元或间接设元，设元时要带单位。
等量关系要准确：这是列方程的核心，可借助线段图、表格等辅助手段分析数量关系。
列方程要规范：方程两边的单位要统一，代数式的书写要符合规范。
求解过程要正确：严格按照一元一次方程的解法步骤求解，避免计算错误。
检验要全面：不仅要检验解是否满足方程，还要检验是否符合实际意义，对于不符合实际的解要舍去。
课堂练习
甲、乙两地相距 480 千米，一列慢车从甲地开出，每小时行 60 千米，一列快车从乙地开出，每小时行 80 千米。两车同时开出，相向而行，经过几小时相遇？
一件商品的进价为 200 元，按标价的八折销售时，利润率为 10%，求该商品的标价。
某工厂有工人 85 人，平均每人每天可加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套，问如何安排工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的齿轮刚好配套？
总结
列一元一次方程解决实际问题的步骤为审、设、找、列、解、验、答，其中找到等量关系是关键。
常见的实际问题类型有行程问题、工程问题、利润问题、数字问题、调配问题等，每种类型都有其特定的数量关系和解题思路。
解决实际问题时要注意检验解的合理性，确保答案符合实际情况，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.掌握列方程解应用题的一般过程,并能熟练地利用相等关系列
方程，解决实际问题，建立模型观念。
2.会列方程解决工程问题、等积变形问题、行程问题、销售问
题等。
3.能列表或画示意图分析题中的数量关系，发展几何直观。
（1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示。
（3）列方程：根据相等关系列出方程。
（4）解方程：求出未知数的值。
（5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。
（1）设未知数时，如果有单位，要加上单位；（2）列方
程时，等号两边量的单位要一致。
敲黑板
设未知数的常见方法
（1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数。
（2）特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另
一个相关的量为未知数，即设间接未知数。
（3）在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数，
设的辅助未知数一般在求解过程中会消掉，设而不求。
典例1 (广州中考)粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用
落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标。某公交集团拟在今明两年共投资
9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场。今年每辆无人驾驶出租车的改
装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降 。
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆。
设明年改装的无人驾驶出租车是 辆。
今年 明年 合计
改装出租车数量/辆 260
改装费用/万元 9 000
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是 辆，则今年改装的无人驾
驶出租车是 辆。
由题意，得 ，
解得 。
答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆。
解： （万元）。
答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元。
涉及公式 等量关系 注意事项
行程 问题 相遇 问题 注意始发时
间和地点。
追及 问题 涉及公式 等量关系 注意事项
行程 问题 航行、飞 行问题 注意题中
是顺水
（顺风）
还是逆水
（逆
风）。
涉及公式 等量关系 注意事项
和差倍分 问题 弄清“倍、分”关
系及“多、少”关
系。
涉及公式 等量关系 注意事项
等积变 形问题 分清是“形”变“积”不
变，还是“形”变“积”也
变，但质量不变。
涉及公式 等量关系 注意事项
调配 问题 注意调配的方向
和数量。
工程 问题 一般情况下把总
工作量设为“1”。
涉及公式 等量关系 注意事项
储蓄 问题 注意题中利率和存期要
对应。
销售 问题 打几折后的价格就是标
价乘十分之几或百分之
几十。
典例2 (杭州西湖区一模)今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前
父亲的年龄是儿子年龄的4倍。今年儿子的年龄是多少岁？
分析：等量关系为“父亲今年的年龄 父亲6年前的年龄”。
父亲今年的年龄儿子今年的年龄，6年前父亲的年龄
年前儿子的年龄。
解：设今年儿子的年龄是 岁。
由题意可得，
解这个方程，得 。
检验： 是方程的解，且符合题意。
答：今年儿子的年龄是18岁。
知识过关
①运用方程解决实际问题的一般过程是：(1)审题；(2)设元；
(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)作答.
②工程问题：工作量＝工作效率× 　工作时间　.
工作时间
和差倍分问题
1. [情境题·体育赛事]2023年杭州亚运会上，我国获得奖牌
383枚，其中银牌111枚，金牌数比铜牌数的3倍少12枚.若
设金牌数是x枚，则可列出方程为(　C　)
C
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A. (3x－12)＋x＝383－111
B. 3(x＋12)＋x＝383－111
2. [新考向·传统文化]中国古代数学著作《算法统宗》中有这
样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日
脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某
关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于
脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才
到达目的地，则此人第三天走的路程为(　B　)
A. 96里 B. 48里
C. 24里 D. 12里
B
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3. [2024·仙台月考]一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，
求这个数.
(1)设这个数为x，列出关于x的方程；
【解】依题意得，2x＋30＝6x－14；
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(2)请在x＝9，x＝10，x＝ ，x＝11中，找出所列的方
程的解.
【解】解方程2x＋30＝6x－14得：x＝11.
所以所列方程的解为x＝11.
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工程问题
4. 有一项工程，甲单独做需6天完成，乙单独做需12天完
成，两人合作x天可完成，根据题意可列方程为(　B　)
A. 6x＋12x＝1
B
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5. [2024·台州模拟]学校要制作一块广告牌，请来甲、乙两名
工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由
乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若
按各人的工作量计算报酬，则分配方案为(　B　)
B
A. 甲360元，乙540元
B. 甲450元，乙450元
C. 甲300元，乙600元
D. 甲540元，乙360元
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6. [立德树人·传统文化]随着中国传统文化的复兴，汉服拍照
打卡逐渐成为年轻人最喜爱的活动之一，各个汉服店的汉
服供不应求.某制衣厂接到一批汉服的生产任务，要求6天
内完成.若工厂安排12位工人缝制，则6天后剩余80套汉服
未缝制；若安排16位工人缝制，则恰好提前一天完成任
务.假设工人们每天缝制的汉服数量相同，问每位工人每
天可以缝制多少套汉服？
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【解】设每位工人每天可以缝制x套汉服，
则12×6x＋80＝16×(6－1)x，解得x＝10.
答：每位工人每天可以缝制10套汉服.
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7. [2024·丽水期末]一个两位数，个位数字与十位数字的和是
9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数
大9，则原来的两位数为(　D　)
A. 54 B. 27
C. 72 D. 45
D
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8. 一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12
天完成，…，求还需几天完成任务.根据标准答案，老师
在黑板上画出线段示意图(如图)，设甲、乙两队合作还需
x天完成任务，并列方程为 ×2＋ x＝1.根据上
面信息，下面结论不正确的是(　D　)
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A. 乙队单独做需要8天完成
C. A处代表的实际意义为甲队先做2天的工作量
D. 甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整项工程
答案：D
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9. [新考向·数学文化][2024·金华期中]在明代的《算法统宗》
一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，
如图①，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右
行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将
结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到2 788.
如图②，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a
＝ ，b＝ .
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10. 甲、乙两工程队共同承包了一项长4 600米的排污管
道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工.
已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲
队多完成115米.
(1)若甲、乙两队同时施工，共同完成全部任务需要
几天？
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【解】设甲、乙两队同时施工，共同完成全部任务
需要x天.
根据题意得(230＋230＋115)x＝4 600，
解得x＝8.
答：甲、乙两队同时施工，共同完成全部任务需要
8天.
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(2)若甲、乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其
他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施
工多少天才能完成任务？
【解】设乙队需再施工y天才能完成任务.
根据题意得5(230＋230＋115)＋(230＋115)y＝4 600，
解得y＝5.
答：乙队需再施工5天才能完成任务.
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谢谢观看！