6.6 角的大小比较 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
6.6 角的大小比较
第6章 图形的初步知识
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
角的大小比较
课程目标
掌握比较角的大小的两种方法：叠合法和度量法，能熟练运用这两种方法比较角的大小。
理解角的和差概念，能结合图形表示角的和差关系。
认识角平分线，能利用角平分线的性质进行角的计算，提高几何直观和推理能力。
角的大小比较方法
1. 叠合法
定义：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置关系来比较角的大小。
操作步骤：
设有两个角\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)。
将\(\angle AOB\)的顶点\(O\)与\(\angle COD\)的顶点\(O\)重合，使边\(OA\)与边\(OC\)重合，且边\(OB\)和边\(OD\)在重合边\(OA\)（或\(OC\)）的同侧。
结果判断：
如果边\(OB\)与边\(OD\)重合，那么\(\angle AOB = \angle COD\)（如图 1）。
如果边\(OB\)落在\(\angle COD\)的内部，那么\(\angle AOB < \angle COD\)（如图 2）。
如果边\(OB\)落在\(\angle COD\)的外部，那么\(\angle AOB > \angle COD\)（如图 3）。
实例：比较两个三角板上的角的大小，可将两个角的顶点和一条边重合，通过观察另一条边的位置来判断。
2. 度量法
定义：用量角器分别量出两个角的度数，根据度数的大小来比较角的大小。
操作步骤：
用量角器分别测量出两个角的度数（测量方法同 6.5 节角的度量）。
比较两个角的度数：度数大的角大，度数小的角小，度数相等的角大小相等。
实例：测量得\(\angle 1 = 30 °\)，\(\angle 2 = 45 °\)，因为\(30 ° < 45 °\)，所以\(\angle 1 < \angle 2\)。
两种方法的联系与区别
联系：两种方法都能准确比较出角的大小，且结果一致。
区别：叠合法是通过图形的重合直观比较，不需要测量工具；度量法是通过测量度数，用数值比较，需要量角器。
角的和差
定义
类似于线段的和差，角的和差是指一个角可以看作是由两个角通过一定的位置关系组合而成。
角的和：如果一个角的两边分别是另两个角的一边，且这个角的另一边是另两个角另一边的反向延长线组合，那么这个角就是另两个角的和。如图，\(\angle AOC\)是\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)的和，记作\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)。
角的差：如果一个角是另一个大角减去一个小角得到的，那么这个角就是这两个角的差。如图，\(\angle AOB\)是\(\angle AOC\)和\(\angle BOC\)的差，记作\(\angle AOB = \angle AOC - \angle BOC\)。
计算示例
例 1：已知\(\angle AOB = 30 °\)，\(\angle BOC = 50 °\)，且\(OB\)是\(\angle AOC\)的公共边，求\(\angle AOC\)的度数。
解：由图可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 30 ° + 50 ° = 80 °\)。
例 2：已知\(\angle AOC = 100 °\)，\(\angle AOB = 30 °\)，且\(OB\)在\(\angle AOC\)内部，求\(\angle BOC\)的度数。
解：因为\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，所以\(\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 100 ° - 30 ° = 70 °\)。
角平分线
定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图，射线\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，则\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)，也可表示为\(\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle BOC\)。
性质应用
例 1：已知\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOB = 80 °\)，求\(\angle AOC\)的度数。
解：因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 80 ° = 40 °\)。
例 2：已知\(OD\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOD = 35 °\)，求\(\angle AOB\)的度数。
解：因为\(OD\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOB = 2\angle AOD = 2 35 ° = 70 °\)。
例 3：\(\angle AOB = 120 °\)，\(OC\)是\(\angle AOB\)内的一条射线，\(\angle AOC = 40 °\)，判断\(OC\)是否是\(\angle AOB\)的平分线。
解：若\(OC\)是平分线，则\(\angle AOC\)应等于\(\frac{1}{2}\angle AOB = 60 °\)，但实际\(\angle AOC = 40 ° 60 °\)，所以\(OC\)不是\(\angle AOB\)的平分线。
角的大小比较的应用
几何作图：在绘制几何图形时，需要比较角的大小来确定图形的形状和位置，如绘制三角形时，根据角的大小可判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
机械制造：在机械零件加工中，需要精确比较角的大小，确保零件的角度符合设计要求，如齿轮的齿形角度。
建筑设计：建筑物的倾斜角度、屋顶的坡度等都需要通过比较角的大小来确定，以保证建筑的稳定性和安全性。
课堂练习
用叠合法比较你手中两个三角板上\(30 °\)角和\(45 °\)角的大小。
已知\(\angle 1 = 55 °\)，\(\angle 2 = 55 °\)，\(\angle 3 = 120 °\)，比较这三个角的大小。
如图，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，求\(\angle AOC\)的度数。
\(OE\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOE = 25 °\)，求\(\angle BOB\)的度数（此处应为\(\angle AOB\)，可能为笔误）。
一个角的度数是\(60 °\)，它的平分线把它分成两个角，每个角是多少度？
总结
比较角的大小有叠合法和度量法，叠合法通过顶点和边的重合比较，度量法通过度数比较。
角的和差是角之间的数量关系，可结合图形表示和计算。
角平分线将角分成两个相等的角，利用其性质能进行角的相关计算。
角的大小比较在几何作图、机械制造等领域有重要应用，掌握相关方法有助于解决实际问题。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
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新知讲解
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典例讲解
1.类比线段长短比较，会用度量法、叠合法比较两个角的大小，
培养初步的类比思想。
2.会用量角器作一个角等于已知角。
3.会对角进行分类，体会分类思想。
条件
图形 _______________________________________________________________________
作法
1.度量法（数的比较）：用量角器量出角的度数，然后比较
它们的大小。
2.叠合法（形的比较）：将两个角的顶点及一条边重合,另一
条边放在重合边的同侧,就可以比较大小。如图，先让两个角
的顶点与 重合,再让一条边与重合,使另一条边和
落在（或 ）的同侧。
（1）比较与 的大小；
解：由叠合法可知 。
（2）借助量角器比较与 的大小。
解：用量角器测量，得 ， ，所以
。
典例1 据图，回答下列问题：
角的名称 定义 各种角之间的大小关系
直角
锐角 小于直角的角 钝角 大于直角而小于 平角的角 直角
典例2 把两个三角尺按如图所示的方式拼在一
起，指出其中的锐角、直角、钝角。
解：,，,是锐角，
，是直角，
和 是钝角。
知识过关
①如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角 　相等　；
如果两个角的度数不相等，那么我们就说度数较大的角 　较
大　.
②比较两个角的大小的方法有叠合法、度量法，若两个角的度
数的单位不同，一般先换算单位.
③等于 　90°　的角是直角；小于90°的角是 　锐角　；大于
直角而小于平角的角是 　钝角　.
相等
较
大
90°
锐角
钝角
角的大小比较
1. [2024·绍兴新昌一模]如图，在边长相等的正方形网格中，
∠1与∠2的大小关系为(　A　)
A. ∠1＞∠2
B. ∠1＝∠2
C. ∠1＜∠2
D. 无法确定
A
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2. [2024·杭州西湖区二模]如图，用同样大小的三角板比较
∠A和∠B的大小，下列判断正确的是(　A　)
A. ∠A＜∠B
B. ∠A＞∠B
C. ∠A＝∠B
D. 没有量角器，无法确定
A
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3. 若∠A＝20°19'，∠B＝20°15'30″，∠C＝20.25°，
则(　D　)
A. ∠C＞∠A＞∠B
B. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B
D. ∠A＞∠B＞∠C
D
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4. 比较两个角的大小关系：小明用度量法测得∠AOB＝
45°，∠COD＝50°；小丽用叠合法比较，将两个角的
顶点重合，边OB与OD重合，边OA和OC置于重合边的
同侧，则下列说法正确的是 (填序号).
①边OA在∠COD的内部；
②边OA在∠COD的外部；
③边OA与边OC重合.
①　
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用量角器作角
5. 如图，已知∠BAD，用量角器在射线AD的右侧作
∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD.
【解】如图.
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角的分类
6. 小于 度的角是锐角，大于 度的角是钝角，平
角是 度，周角是 度，1周角＝ 平角，
1平角 直角，1周角＝ 直角.
7. 下列各角中，一定属于锐角的是(　A　)
D. 两个锐角的和
90　
90　
180　
360　
2　
2　
4　
A
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8. 从一个钝角的顶点出发画一条射线，把这个钝角分成∠1
和∠2两个角，下列说法不正确的是(　C　)
A. ∠1和∠2中可能有一个是钝角
B. ∠1和∠2中可能有一个是直角
C. ∠1和∠2可能都是钝角
D. ∠1和∠2中可能有一个是锐角
C
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9. [母题 教材P182例2]如图，A，O，E三点在同一条直线
上，∠AOC＝90°，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，
∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
【解】∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，其中锐角是∠AOB，直角是∠AOC，钝角是∠AOD，平角是∠AOE.
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10. 如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH
＝β，∠DGE＝γ，则(　B　)
A. β＜α＜γ B. β＜γ＜α
C. α＜γ＜β D. α＜β＜γ
B
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11. [2024·杭州拱墅区期末]在综合与实践课上，将∠A与
∠B两个角的关系记为∠A＝n∠B(n＞0)，探索n的大
小与两个角的类型之间的关系是(　A　)
A. 当n＝2时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
B. 当n＝2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
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因为∠A＝n∠B(n＞0)，所以当n＝2时，有∠A
＝2∠B. 又因为∠A为锐角，所以0°＜∠A＜90°，
所以0°＜2∠B＜90°，所以0°＜∠B＜45°，所以
∠B为锐角，故选项A正确；因为∠A为钝角，所以
90°＜∠A＜180°，所以90°＜2∠B＜180°，所以
45°＜∠B＜90°，所以∠B为锐角，故选项B不正
确；当n＝ 时，有∠A＝ ∠B.
【点拨】
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又因为∠A为锐角，所以0°＜∠A＜90°，所以0°＜
∠B＜90°，所以0°＜∠B＜180°，所以∠B可能是锐角
也可能是钝角，还可能是直角，故选项C，选项D均不正确.
故选A.
【答案】
A
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12. 如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动
点，当点A从左向右运动时，观察∠α和∠β是如何变化
的，∠α和∠β之间有关系吗？
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【解】因为∠α是钝角，∠β是锐角，
所以当点A从左向右运动时，∠α越来越小，∠β越来
越大.
又因为∠α和∠β组成了一个平角，
所以∠α和∠β之间有关系，且∠α＋∠β＝180°.
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13. 把一副三角板按如图所示的方式拼在一起.
(1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D的度数；
【解】∠A＝30°，∠B＝90°，
∠BCD＝150°，∠D＝45°；
(2)用“＜”将上述各角连接起来；
【解】∠A＜∠D＜∠B＜
∠BCD；　
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(3)指出∠A，∠B，∠BCD，∠D中的锐角、钝角和
直角.
【解】∠A，∠D是锐角；∠B是
直角；∠BCD是钝角.
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14. 如图，小华在街心花园的步道AB上观看宣传画廊MN，
他发现在点C处观看效果最佳.
(1)请测量∠BCN，∠MCA，∠CMN，∠MNC的度
数，发现哪两个角近似相等？
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【解】测量发现：∠BCN，∠MCA，∠CMN，∠MNC的度数分别约为67°，42°，67°，42°，所以∠BCN与∠CMN近似相等，∠MCA与∠MNC近似相等.
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(2)请在步道AB上点C的两边分别任意取一点D，E，
画出∠MDN，∠MEN，测量∠MDN∠MCN，
∠MEN的度数，并指出它们中的最大角.
【解】如图所示.
测量∠MDN，∠MCN，∠MEN
的度数约为54°，71°，64°，所
以最大角是∠MCN.
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15. [新视角·规律探究题]如图，点P是直线l外一点，过点P
画直线PA，PB，PC，…，分别交l于点A，B，
C，…，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并用刻
度尺量线段PA，PB，PC的长度.那么你发现的规律
是：
.
过直线l外一点P，画直线PA，PB，PC，…，
与l相交所得的角度越大，线段的长度越短　
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谢谢观看！