6.7 角的和差 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
6.7 角的和差
第6章 图形的初步知识
【2025-2026学年】浙教版 数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
角的和差
课程目标
深入理解角的和差的概念，能结合具体图形清晰表述角的和差关系。
熟练掌握角的和差的计算方法，能根据图形中角的位置关系准确进行和差运算。
能综合运用角的和差与角平分线等知识解决较复杂的角的计算问题，提升几何思维能力。
角的和差的概念
角的和差与线段的和差类似，是基于角的位置关系产生的数量关系。
角的和：当一个角的两边分别是另外两个角的一边，且这个角的内部包含了另外两个角的内部，那么这个角的度数等于另外两个角的度数之和。简单来说，就是一个角可以看作是由两个较小的角 “拼接” 而成的。
几何表示：如图 1，射线\(OB\)在\(\angle AOC\)的内部，那么\(\angle AOC\)是\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)的和，记作\(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\)。
角的差：当一个角是另一个较大的角的一部分时，这个角的度数等于较大角的度数减去剩余部分角的度数。即一个较大的角可以看作是由一个角 “减去” 另一个较小的角得到的。
几何表示：如图 1，因为\(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\)，所以\(\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC\)，\(\angle BOC=\angle AOC-\angle AOB\)，这里\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)分别是\(\angle AOC\)与另一个角的差。
角的和差的几何意义
从几何图形上看，角的和差体现了角与角之间的包含关系：
角的和对应的图形中，两个较小的角共同组成了一个较大的角，且它们有公共的顶点和一条公共边，另一条边分别在较大角的两边上。
角的差对应的图形中，较小的角是较大角的一部分，它们有公共的顶点和一条公共边，较小角的另一条边在较大角的内部。
角的和差的计算方法
直接计算
已知两个角的度数以及它们的位置关系（能构成和或差），直接根据和差关系进行计算。
例 1：已知\(\angle 1 = 35 °\)，\(\angle 2 = 45 °\)，且\(\angle 1\)和\(\angle 2\)可以组成\(\angle 3\)，求\(\angle 3\)的度数。
解：因为\(\angle 3\)是\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的和，所以\(\angle 3=\angle 1+\angle 2 = 35 °+45 °=80 °\)。
例 2：已知\(\angle \alpha = 120 °\)，\(\angle \beta = 50 °\)，且\(\angle \beta\)是\(\angle \alpha\)的一部分，求\(\angle \alpha\)与\(\angle \beta\)的差。
解：\(\angle \alpha-\angle \beta=120 ° - 50 °=70 °\)。
结合图形计算
根据图形中角的位置关系，找出已知角和未知角之间的和差关系，再代入数据计算。
例 3：如图 2，已知\(\angle AOD = 150 °\)，\(\angle AOB = \angle COD = 40 °\)，求\(\angle BOC\)的度数。
解：由图可知\(\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD\)，所以\(\angle BOC=\angle AOD-\angle AOB-\angle COD=150 ° - 40 °-40 °=70 °\)。
例 4：如图 3，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle COD = 90 °\)，\(\angle AOC = 20 °\)，求\(\angle BOD\)的度数。
解：因为\(\angle AOB = 90 °\)，所以\(\angle BOC=\angle AOB-\angle AOC=90 ° - 20 °=70 °\)。
又因为\(\angle COD = 90 °\)，所以\(\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=70 °+90 °=160 °\)。
角的和差与角平分线的综合计算
当题目中涉及角平分线时，可利用角平分线将角分成相等两部分的性质，结合角的和差进行计算。
例 5：如图 4，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOD = 110 °\)，\(\angle COD = 10 °\)，求\(\angle AOB\)的度数。
解：因为\(\angle AOD=\angle AOC+\angle COD\)，所以\(\angle AOC=\angle AOD-\angle COD=110 ° - 10 °=100 °\)。
又因为\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分线，所以\(\angle AOB = 2\angle AOC=2 100 °=200 °\)（注意：大于 180° 的角也是存在的）。
例 6：如图 5，\(\angle AOB = 160 °\)，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分线，\(OE\)是\(\angle BOC\)的平分线，求\(\angle DOE\)的度数。
解：因为\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle DOC=\frac{1}{2}\angle AOC\)；因为\(OE\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle COE=\frac{1}{2}\angle BOC\)。
而\(\angle DOE=\angle DOC+\angle COE=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOC)=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
代入\(\angle AOB = 160 °\)，得\(\angle DOE=\frac{1}{2} 160 °=80 °\)。
角的和差的实际应用
角度测量：在实际测量中，当遇到无法直接测量的角时，可通过测量与之相关的两个角的度数，利用和差关系求出该角的度数。例如，测量一个不规则多边形的内角时，可将其分割成几个已知角，再通过和差计算。
天文观测：在观测天体的角度位置时，常常需要计算两个天体与观测点形成的角的和差，以确定它们之间的相对位置关系。
游戏设计：在一些涉及角度操作的游戏中，如射击游戏，需要计算枪口角度与目标角度的和差，以实现精准瞄准。
易错点提醒
计算角的和差时，要先确认角的位置关系是否满足和差条件，不能盲目相加或相减。
当角的度数涉及度、分、秒时，要注意单位统一，遵循 “满 60 进 1” 或 “借 1 当 60” 的原则进行换算。例如，计算\(30 °45 +25 °30 =55 °75 =56 °15 \)；计算\(50 °10 -20 °30 =49 °70 -20 °30 =29 °40 \)。
利用角平分线解题时，要明确角平分线所分的是哪一个角，避免混淆。
课堂练习
已知\(\angle A = 50 °\)，\(\angle B = 30 °\)，求\(\angle A+\angle B\)和\(\angle A-\angle B\)的度数。
如图，\(\angle AOC = 130 °\)，\(\angle BOC = 60 °\)，求\(\angle AOB\)的度数。
\(OM\)是\(\angle AOB\)的平分线，\(\angle AOM = 35 °\)，\(\angle BOC = 20 °\)，求\(\angle AOC\)的度数（考虑\(OC\)在\(\angle AOB\)内部和外部两种情况）。
计算：
\(45 °20 +30 °50 \)
\(90 °-35 °40 \)
总结
角的和是指一个角由两个较小的角拼接而成，其度数为两个角的度数之和；角的差是指一个角为较大角减去一个较小角，其度数为两个角的度数之差。
计算角的和差时，要结合图形确定角的位置关系，明确和差关系后再代入计算，涉及角平分线时可利用其性质简化计算。
角的和差在实际测量、天文观测等领域有重要应用，计算时要注意单位换算和位置关系的判断，避免出错。
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课堂检测
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新知讲解
6
变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
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典例讲解
1.会表示两个角的和差，会用量角器作两个角的和差。
2.理解角平分线的定义，能用角平分线解决有关问题。
3.会进行有关角的和、差、倍、分的简单计算。
概念 表示 图示
两个角 的和 如果一个角的度数是另 两个角的度数的和，那 么这个角就叫作另两个 角的和。 ________________________________
概念 表示 图示
两个角 的差 如果一个角的度数是另 两个角的度数的差，那 么这个角就叫作另两个 角的差。 ________________________________
典例1 据图回答下列问题：
（1）是哪两个角的和？ 是哪两个角的和？
解：是与 的和，即
。
是与 的和，即
。
（2） 是哪两个角的差？
解：是与的差，
也是与 的差，
即 。
典例1 据图回答下列问题：
条件
图形 ________________
作法
角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成
两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
如图,射线是 的平分线。这时,
（或
）。
角的平分线是以这个角的顶点为端点的一
条射线。
教材延伸
角的三等分线
如图,射线,在的内部,如果
,那么射线,是 的三
等分线。类似地,从一个角的顶点出发，把这
个角分成个相等的角的射线，叫作这个角的 等分线，
如四等分线、五等分线等。
典例2 （易错题）已知三条不同的射线，， ，有下列条
件：； ；
； ；
。其中，能确定平分 的有
( )
C
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
解析：
序号 能否确定 理由 图示
① 不能 ______________________________________
② 不能 ______________________________________
序号 能否确定 理由 图示
③ 不能 ______________________________________
④ 不能 ___________________________________
序号 能否确定 理由 图示
⑤ 能 _____________________________
知识过关
①如果一个角的度数是另两个角的度数的 　和　，那么这个角
就叫作另两个角的和.
②如果一个角的度数是另两个角的度数的 　差　，那么这个角
就叫作另两个角的差.
③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成 　两个相等
的角　，这条射线叫作这个角的平分线.
和
差
两个相等
的角
角的和差
1. 如图所示，∠AOD－∠AOC＝(　D　)
A. ∠AOC B. ∠BOC
C. ∠BOD D. ∠COD
(第1题)
D
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2. 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，
则∠AOD的度数为(　B　)
A. 100° B. 110°
C. 130° D. 140°
(第2题)
B
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3. [2024·扬州一模]将两块三角板如图叠放，若∠AOC＝
∠BOD＝90°，∠AOD＝132°，则∠BOC
＝ .
(第3题)
48°　
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4. [2024·杭州期末]如图，直线AB，CD交于点O，
∠AOC∶∠COE＝1∶2，若∠BOE＝96°，则∠AOD
＝ °.
(第4题)
152　
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【点拨】
因为∠AOC∶∠COE＝1∶2，
所以设∠AOC＝x°，∠COE＝2x°.
因为∠AOC＋∠COE＋∠BOE＝180°，
∠BOE＝96°，
所以x°＋2x°＋96°＝180°，
所以x＝28，即∠AOC＝28°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝152°.
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5. 如图所示，已知∠α，∠β，且∠α，∠β均为锐角，求作
一个角，使它等于∠α与∠β的和.(尺规作图，不写作法，
保留痕迹)
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【解】如答图所示，∠AOC即为所求.
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角的平分线
6. 如图，点A，B，C在同一条直线上，BD平分∠ABE，
∠EBC＝40°，则∠ABD的度数为(　C　)
A. 50° B. 65°
C. 70° D. 75°
(第6题)
C
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7. 如图，∠AOB＝60°，∠DOE＝50°，OD，OE分别
平分∠AOB，∠AOC，则∠AOC＝ °.
(第7题)
40　
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因为OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，∠AOB
＝60°，
所以∠AOE＝ ∠AOC，∠AOD＝ ∠AOB＝
30°，
所以∠DOE＝∠AOE＋∠AOD＝ ∠AOC＋30°.
因为∠DOE＝50°，所以30°＋ ∠AOC＝50°，
所以∠AOC＝40°.
【点拨】
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8. 已知：如图，∠AOB＝40°，在∠AOB的外部引射线
OC，使∠BOC＝20°，再画出∠AOC的平分线OD.
(1)请借助直尺和量角器补全图形；
【解】如图.
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(2)求∠BOD的度数.
【解】因为∠AOB＝40°，∠BOC＝20°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°.
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝ ∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝10°.
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[易错题]角的位置未分类讨论而出错
9. 如图，∠AOB＝50°，以O为端点画射线OC，使
∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为(　D　)
A. 30°
B. 70°
C. 50°
D. 30°或70°
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【点拨】
如图①所示，此时∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝50°
－20°＝30°；
D
如图②所示，此时∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°
＋20°＝70°.
综上，∠AOC的度数为30°或70°.
【答案】
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10. [新考法·折叠法][2024·丽水期末] 如图，长方形ABCD
中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF. 将
∠C沿DF折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，
点B恰好落在FG的延长线上点H处.若∠BFE＝
19°59'，则∠CFD的度数是(　A　)
A. 70°1' B. 70°41'
C. 71°1' D. 71°41'
(第10题)
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【点拨】
由折叠得到：∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝
∠GFD. 　
又因为∠BFE＋∠HFE＋∠CFD＋∠GFD＝
180°，
所以∠BFE＋∠CFD＝90°.
因为∠BFE＝19°59'，
所以∠CFD＝90°－19°59'＝70°1'.
故选：A.
【答案】
A
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11. [2024·绍兴越城区期末]如图，将两块三角尺的直角
∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三
角尺AOB，使两块三角尺仍有部分重叠，且∠AOD＝
3∠BOD，则∠AOC的度数为(　B　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
(第11题)
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【点拨】
根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOC＋
∠COD＝∠AOB＋∠COD＝180°，∠AOB－∠BOC
＝∠COD－∠BOC，
所以∠AOC＝∠BOD.
因为∠AOD＝3∠BOD，
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所以∠AOD＝3∠AOC，
所以3∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以2∠AOC＋∠AOB＝180°，
所以2∠AOC＋90°＝180°，
解得∠AOC＝45°.
故选：B.
B
【答案】
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12. 以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使
∠AOP∶∠BOP＝3∶2，若∠AOB＝20°，则∠AOP的
度数为 .
12°或60°　
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【点拨】
如图①，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP
＝3x，则∠BOP＝2x，
所以∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝5x＝20°，
解得x＝4°，所以∠AOP＝12°；
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如图②，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP
＝3y，则∠BOP＝2y，
因为∠AOP＝∠AOB＋∠BOP，∠AOB＝20°，
所以3y＝20°＋2y，解得y＝20°，
所以∠AOP＝60°.
故∠AOP的度数为12°或60°.
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13. [2023·湖州质检]如图所示，OB是∠AOC的平分线，
∠COD＝ ∠BOD，若∠COD＝17°，则∠AOD的度
数是 .
(第13题)
85°　
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14. [新趋势·跨学科]如图，一束光沿CD方向，先后经过平
面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝
120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝ .
(第14题)
40°　
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因为一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA
反射后，沿EF方向射出，所以∠EDO＝∠CDB＝
20°，∠AEF＝∠OED. 在△ODE中，∠OED＝
180°－∠AOB－∠EDO＝180°－120°－20°＝
40°，所以∠AEF＝∠OED＝40°.故答案为：40°.
【点拨】
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15. 如图，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线.
(1)如图①，若∠COE为直角，且∠AOD＝70°，则
∠BOE的度数是 ；
55°　
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因为∠AOD＝70°，OC是∠AOD的平分线，
所以∠AOC＝ ∠AOD＝35°.
因为∠COE为直角，
所以∠COE＝90°，
所以∠BOE＝∠AOB－∠AOC－∠COE＝
180°－35°－90°＝55°；
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(2)如图②，若∠DOE∶∠BOD＝2∶5，且∠COE＝
80°，求∠BOE的度数.
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【解】因为∠DOE∶∠BOD＝2∶5，所以设∠DOE＝
2x，则∠BOD＝5x，所以∠BOE＝3x.
因为OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，
所以∠AOC＝∠COD＝80°－2x，
所以2(80°－2x)＋5x＝180°，解得x＝20°，
所以∠BOE＝3x＝60°.
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谢谢观看！