浙教版（2024) 数学八年级上册1.3 证明 同步分层练习
一、夯实基础：
1．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
【答案】D
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
2．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
3．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34° B．35° C．69° D．104°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，即可得到答案.
4．某班有20名同学参加围棋、象棋比赛.甲说：只参加一项的人数大于14人；乙说：两项都参加的人数小于5人.对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( ).
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
【答案】B
【知识点】推理与论证；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若甲说法正确，则只参加一项的人数大于14人，假设参加一项的人数为15人，那么两项都参加的人数为5人，
∴此时乙说法错误；
若乙说法正确，则两项都参加的人数小于5人，那么两项都参加的人数最多为4人，此时只参加一项的人数为16人，
∴甲说法正确；
故答案为：B.
【分析】先分别假设甲或者乙是正确的，然后再结合题意进行分析即可求解.
5．如图，CE是的外角的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACD，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°
又∠ACD=∠A+∠B
∴∠A+∠B=120°
∴∠A=120°-∠B=120°-25°=95°
故答案为：B.
【分析】先由角平分线定义求出∠ACD，再根据三角形外角的性质得出ACD=∠A+∠B， 进而求出∠A的度数.
6．（2025八上·温州期末）如图，在中，，，则等于 度．
【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，
∴，
故答案为：70．
【分析】根据三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，列式计算可得答案.
7．（2024八上·拱墅月考）中，，那么与相邻的一个外角等于
【答案】117°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：的外角=.
故答案为：117°
【分析】利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解.
8．证明命题“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角”按题意画出图形，请结合图形，写出“已知”和“求证”。
已知：如图， 是 的外角．
求证： ，
【答案】∠ABD；△ABC；∠ABD>∠A；∠ABD>∠C
【知识点】三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解： 已知：如图，∠ABD是△ABC的外角．
求证：∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
故答案为： ∠ABD，△ABC ， ∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
【分析】证明的解题步骤
1）按题意画出图形；
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
3）在“证明”中写出推理过程.
二、能力提升：
9．（2025八上·丽水期末）如图，点在的延长线上，交于点，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先由得到，由直角三角形两锐角互余得，再根据三角形的外角的性质得，最后由三角形的内角和为180°，即可算出的度数．
10．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意，
同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，
故选：D．
【分析】由题意知五名同学中成绩由高到低的顺序是E、D、C、B、A，再取前三名成绩即可．
11．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A、假设是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，故A不符合题意；
B、假设是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，B不符合题意；
C、假设是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人说了谎，故C不符合题意；
D、假设是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人说了谎，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据题意，利用假设法逐一判断即可．
12．图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是 .
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交AB于E，
故答案为：.
【分析】延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出. 再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
13．（2023八上·宁波月考）如图，的度数为 ．
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠A+∠B=∠1，∠1+∠C=∠2，∠2+∠D+∠E=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°.
【分析】根据外角的性质和三角形的内角和定理，即可求得.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为D，E，F.猜想PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】证明：BF=PD+PE.理由如下：
连结AP，如图：
∵
∴
∵AB=AC，
∴
∴BF=PD+PE.
【知识点】三角形的面积；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】连接AP，可得把面积分别表示出来，再根据AB=AC，即可得到结论.
15．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边.
（1）若∠ABC=25°，则∠1= ，∠2= .
（2）观察∠1，∠2与∠ABC的关系，并归纳出一个真命题.
【答案】（1）25°；155°
（2）解：真命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，
∴AB∥DE，BC∥EF，
∴∠ABC=∠BGE，∠BGE=∠1，
∵∠ABC=25°，
∴∠1=∠ABC=25°；
∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠ABC=∠BGE，∠BGE+∠2=180°，
∴∠ABC+∠2=180°，
∵∠ABC=25°，
∴∠2=180°-∠ABC=180°-25°=155°；
故答案为：25°，155°.
【分析】（1）根据题意得AB∥DE，BC∥EF，从而由平行线的性质得∠ABC=∠BGE，∠BGE=∠1，进而进行等量代换即可求出∠1的度数；由平行线的性质得∠ABC=∠BGE，∠BGE+∠2=180°，然后进行等量代换即可求出∠2的度数；
（2）由（1）中的求解过程即可概括出∠1、∠2、∠ABC之间的关系.
三、拓展创新：
16． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P= .
【答案】90°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案为：90°
【分析】根据角平分线的定义可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根据三角形外角的性质可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，则A+P=30°+60°=90°。
17．综合与探究：
（1）【情境引入】
如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+∠A．
（2）【深入探究】
①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ .
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD，CD分别是的内角，的平分线.
（2）①.
②，理由如下：
分别是的一个内角和一个外角的平分线，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：（1）∵BD，CD分别是的两个外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB)，∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC).
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-(∠EBC+∠FCB)
=180°-(180°+∠A)
=90°-∠A，
故答案为.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得出，再结合角分线的定义推导得出结论.
（2）①根据三角形外角的性质得出∠DBC和∠DCB，再根据内角和定理推导出∠D.
②∠DCE＝∠D+∠DBC，由此可推导出结论.
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册1.3 证明 同步分层练习
一、夯实基础：
1．在证明过程中，作为逻辑推理依据最全的是（ ）
A．基本事实、定理
B．定义、基本事实、定理
C．基本事实、定理、题设(已知条件)
D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件)
2．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
3．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34° B．35° C．69° D．104°
4．某班有20名同学参加围棋、象棋比赛.甲说：只参加一项的人数大于14人；乙说：两项都参加的人数小于5人.对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( ).
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
5．如图，CE是的外角的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·温州期末）如图，在中，，，则等于 度．
7．（2024八上·拱墅月考）中，，那么与相邻的一个外角等于
8．证明命题“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的角”按题意画出图形，请结合图形，写出“已知”和“求证”。
已知：如图， 是 的外角．
求证： ，
二、能力提升：
9．（2025八上·丽水期末）如图，点在的延长线上，交于点，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
11．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是 .
13．（2023八上·宁波月考）如图，的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为D，E，F.猜想PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想.
15．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边.
（1）若∠ABC=25°，则∠1= ，∠2= .
（2）观察∠1，∠2与∠ABC的关系，并归纳出一个真命题.
三、拓展创新：
16． 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P= .
17．综合与探究：
（1）【情境引入】
如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+∠A．
（2）【深入探究】
①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ .
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：在证明过程中，定义、基本事实、定理、题设（已知条件）都可以作为逻辑推理的依据.
故答案为：D.
【分析】 定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。
2．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
3．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】推理与论证；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若甲说法正确，则只参加一项的人数大于14人，假设参加一项的人数为15人，那么两项都参加的人数为5人，
∴此时乙说法错误；
若乙说法正确，则两项都参加的人数小于5人，那么两项都参加的人数最多为4人，此时只参加一项的人数为16人，
∴甲说法正确；
故答案为：B.
【分析】先分别假设甲或者乙是正确的，然后再结合题意进行分析即可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACD，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°
又∠ACD=∠A+∠B
∴∠A+∠B=120°
∴∠A=120°-∠B=120°-25°=95°
故答案为：B.
【分析】先由角平分线定义求出∠ACD，再根据三角形外角的性质得出ACD=∠A+∠B， 进而求出∠A的度数.
6．【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，
∴，
故答案为：70．
【分析】根据三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，列式计算可得答案.
7．【答案】117°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：的外角=.
故答案为：117°
【分析】利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解.
8．【答案】∠ABD；△ABC；∠ABD>∠A；∠ABD>∠C
【知识点】三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解： 已知：如图，∠ABD是△ABC的外角．
求证：∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
故答案为： ∠ABD，△ABC ， ∠ABD>∠A ， ∠ABD>∠C .
【分析】证明的解题步骤
1）按题意画出图形；
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
3）在“证明”中写出推理过程.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先由得到，由直角三角形两锐角互余得，再根据三角形的外角的性质得，最后由三角形的内角和为180°，即可算出的度数．
10．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意，
同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，
故选：D．
【分析】由题意知五名同学中成绩由高到低的顺序是E、D、C、B、A，再取前三名成绩即可．
11．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：A、假设是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，故A不符合题意；
B、假设是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，B不符合题意；
C、假设是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人说了谎，故C不符合题意；
D、假设是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人说了谎，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据题意，利用假设法逐一判断即可．
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交AB于E，
故答案为：.
【分析】延长CD交AB于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出. 再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
13．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：
∵ ∠A+∠B=∠1，∠1+∠C=∠2，∠2+∠D+∠E=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°.
【分析】根据外角的性质和三角形的内角和定理，即可求得.
14．【答案】证明：BF=PD+PE.理由如下：
连结AP，如图：
∵
∴
∵AB=AC，
∴
∴BF=PD+PE.
【知识点】三角形的面积；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】连接AP，可得把面积分别表示出来，再根据AB=AC，即可得到结论.
15．【答案】（1）25°；155°
（2）解：真命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
【知识点】真命题与假命题；证明的含义与一般步骤；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，
∴AB∥DE，BC∥EF，
∴∠ABC=∠BGE，∠BGE=∠1，
∵∠ABC=25°，
∴∠1=∠ABC=25°；
∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠ABC=∠BGE，∠BGE+∠2=180°，
∴∠ABC+∠2=180°，
∵∠ABC=25°，
∴∠2=180°-∠ABC=180°-25°=155°；
故答案为：25°，155°.
【分析】（1）根据题意得AB∥DE，BC∥EF，从而由平行线的性质得∠ABC=∠BGE，∠BGE=∠1，进而进行等量代换即可求出∠1的度数；由平行线的性质得∠ABC=∠BGE，∠BGE+∠2=180°，然后进行等量代换即可求出∠2的度数；
（2）由（1）中的求解过程即可概括出∠1、∠2、∠ABC之间的关系.
16．【答案】90°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案为：90°
【分析】根据角平分线的定义可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根据三角形外角的性质可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，则A+P=30°+60°=90°。
17．【答案】（1）证明：∵BD，CD分别是的内角，的平分线.
（2）①.
②，理由如下：
分别是的一个内角和一个外角的平分线，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：（1）∵BD，CD分别是的两个外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB)，∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC).
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-(∠EBC+∠FCB)
=180°-(180°+∠A)
=90°-∠A，
故答案为.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得出，再结合角分线的定义推导得出结论.
（2）①根据三角形外角的性质得出∠DBC和∠DCB，再根据内角和定理推导出∠D.
②∠DCE＝∠D+∠DBC，由此可推导出结论.
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