浙教版（2024) 数学八年级上册1.5.2三角形全等的判定二(SAS) 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2024七下·贵阳期中）如图所示，BC交AD于点O，OA=OB，OC=OD，∠D=30°，∠A=90°，则∠B的度数为( )
A．30° B．90° C．120° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴∠B=∠A=90°，
故选：B.
【分析】根据已知条件易证全等进而利用全等性质即可得出答案.
2．（2024八上·浦江期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：，
，
∵，
∴，
又，
，
故答案为：D.
【分析】根据证明即可解题.
3．（2023八上·松滋期中）如图，要用“SAS”证，若已知，，则还需条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：还需条件，
，
在和中：
，
（SAS）．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
5．（2023八上·灞桥开学考）如图，的顶点在的边上，且，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．≌ B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，
∴（SAS），
∴A正确；
∵，
∴，
∴B正确；
，
∴∠ACB+∠CED=180°，
∴，
∴C正确；
没有条件能证出BE=CE，
∴D不正确.
故答案为：D.
【分析】根据边角边证明三角形全等，即可判断A和B的正确性，利用已知条件，根据同旁内角互补，两直线平行即可求出C的正确性，没有条件能证出BE=CE，从而可得D的不正确性.
6．（2024八上·斗门期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据中点的定义可得：，， 再结合∠FOC=∠GOD ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用线段的运算可得： 小明离地面的高度支点到地面的高度，代入数据进行计算可求出答案.
7．（2024八上·松原期末）如图所示，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为 ．
【答案】9
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：OA=OA'，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，
∴△AOB≌△A'OB'，
∴A'B'=AB=9cm，
故答案为：9.
【分析】利用SAS证明△AOB≌△A'OB'，再根据全等三角形的性质计算求解即可。
8．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可）
【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
9．（2024八上·秦淮期中）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
【答案】证明：∵点C是线段的中点，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的对应角相等，可由中点的概念先得到，再结合已知条件利用证明即可．
10．（2022八上·武汉期中）如图，点在上，点在上，，，求证：．
【答案】解：∵，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据，， 得到，证明（SAS），再利用全等三角形的性质即可得到结论．
二、能力提升：
11．（2024八上·播州期末）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为≌，所以”
小英用到的判定三角形全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△CBD和△ABD中，
∴△CBD≌△ABD(SAS)，
∴AB=BC.
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质定理即可求解.
12．（2023八上·义乌期中）如图，为测量池塘两端A、B的距离，小康在池塘外一块平地上选取了一点O，连接AO，BO，并分别延长AO，BO到点C，D，使得AO＝DO，BO＝CO，连接CD，测得CD的长为165米，则池塘两端A，B之间的距离为（ ）
A．160米 B．165米 C．170米 D．175米
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题可得在和中：，所以，则米.
故答案为：B.
【分析】本题考查了全等三角形的判断及性质，根据题意加上一组对顶角即可证得：，从而得到米.
13．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
14．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 .
【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
15．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
16．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知和交于点，若点、共线，时，则 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用SAS证明，可得，根据 ， ，得到，即得△ADE的面积．
17．（2023八上·东阿月考）八班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理写出已知、求证，并证明．
已知：如图，线段、相交于点， ▲ ，连结、．
求证：
证明：
【答案】解：已知：如图，线段、相交于点，点为和的中点或，，连结、．
求证：．
证明：点为和的中点
，，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
【分析】先补充完条件和结论，然后根据SAS证明，即可得到结论．
三、拓展创新：
18．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
1 / 1浙教版（2024) 数学八年级上册1.5.2三角形全等的判定二(SAS) 同步分层练习
一、夯实基础：
1．（2024七下·贵阳期中）如图所示，BC交AD于点O，OA=OB，OC=OD，∠D=30°，∠A=90°，则∠B的度数为( )
A．30° B．90° C．120° D．60°
2．（2024八上·浦江期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）
A． B． C． D．
3．（2023八上·松滋期中）如图，要用“SAS”证，若已知，，则还需条件（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
5．（2023八上·灞桥开学考）如图，的顶点在的边上，且，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．≌ B．
C． D．
6．（2024八上·斗门期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·松原期末）如图所示，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为 ．
8．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是 ．（只需填上一个即可）
9．（2024八上·秦淮期中）如图，点C是线段的中点，，．求证：．
10．（2022八上·武汉期中）如图，点在上，点在上，，，求证：．
二、能力提升：
11．（2024八上·播州期末）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为≌，所以”
小英用到的判定三角形全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023八上·义乌期中）如图，为测量池塘两端A、B的距离，小康在池塘外一块平地上选取了一点O，连接AO，BO，并分别延长AO，BO到点C，D，使得AO＝DO，BO＝CO，连接CD，测得CD的长为165米，则池塘两端A，B之间的距离为（ ）
A．160米 B．165米 C．170米 D．175米
13．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
14．（2022八上·成都期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 .
15．（2025八上·温州期中）如图，AE=AC，BC=DE，若添加一个条件可得△ABC≌△ADE，则添加的条件可以是 .（写出一个满足条件的答案）
16．（2024八上·重庆市开学考）如图，已知和交于点，若点、共线，时，则 ．
17．（2023八上·东阿月考）八班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点自由旋转测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理写出已知、求证，并证明．
已知：如图，线段、相交于点， ▲ ，连结、．
求证：
证明：
三、拓展创新：
18．（2024八上·天河期末）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴∠B=∠A=90°，
故选：B.
【分析】根据已知条件易证全等进而利用全等性质即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：，
，
∵，
∴，
又，
，
故答案为：D.
【分析】根据证明即可解题.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：还需条件，
，
在和中：
，
（SAS）．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，
∴（SAS），
∴A正确；
∵，
∴，
∴B正确；
，
∴∠ACB+∠CED=180°，
∴，
∴C正确；
没有条件能证出BE=CE，
∴D不正确.
故答案为：D.
【分析】根据边角边证明三角形全等，即可判断A和B的正确性，利用已知条件，根据同旁内角互补，两直线平行即可求出C的正确性，没有条件能证出BE=CE，从而可得D的不正确性.
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据中点的定义可得：，， 再结合∠FOC=∠GOD ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用线段的运算可得： 小明离地面的高度支点到地面的高度，代入数据进行计算可求出答案.
7．【答案】9
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：OA=OA'，OB=OB'，∠AOB=∠A'OB'，
∴△AOB≌△A'OB'，
∴A'B'=AB=9cm，
故答案为：9.
【分析】利用SAS证明△AOB≌△A'OB'，再根据全等三角形的性质计算求解即可。
8．【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
9．【答案】证明：∵点C是线段的中点，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的对应角相等，可由中点的概念先得到，再结合已知条件利用证明即可．
10．【答案】解：∵，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据，， 得到，证明（SAS），再利用全等三角形的性质即可得到结论．
11．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△CBD和△ABD中，
∴△CBD≌△ABD(SAS)，
∴AB=BC.
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质定理即可求解.
12．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题可得在和中：，所以，则米.
故答案为：B.
【分析】本题考查了全等三角形的判断及性质，根据题意加上一组对顶角即可证得：，从而得到米.
13．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
14．【答案】7
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案为：7.
【分析】由作图可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS证明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，则可将△AHG的周长转化为AH+AB，据此解答.
15．【答案】AB=AD（或∠C=∠E）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ AE=AC，BC=DE，
要使 △ABC≌△ADE，可以根据SSS增加条件AB=AD，
或者根据SAS增加条件∠C=∠E，
故答案为：AB=AD（或∠C=∠E）.
【分析】结合三角形全等的判定SAS，SSS增加条件即可.
16．【答案】5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用SAS证明，可得，根据 ， ，得到，即得△ADE的面积．
17．【答案】解：已知：如图，线段、相交于点，点为和的中点或，，连结、．
求证：．
证明：点为和的中点
，，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】已知：，O分别为的中点（或，，）．
求证：
证明：∵O分别为的中点，
∴，（线段中点定义）
∵（已知）
∴，（等量代换）
在和中
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
【分析】先补充完条件和结论，然后根据SAS证明，即可得到结论．
18．【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
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