第一章《三角形的初步知识》基础卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．（2025八上·西湖期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接交于点G，可得线段一定是的（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线
3．（2025八上·宁波期末）能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a=1，b=-2 B．a=2，b=-1 C．a=-2，b=1 D．a=-1，b=2
4．（2025八上·丽水期末）如图，点在的延长线上，交于点，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．21
9．（2024八上·西湖月考）如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
（3）作射线．
A．射线是的平分线 B．线段平分线段
C．点和点关于直线对称 D．
10．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 .
12．（2025八上·西湖期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 ．（请写出一个符合条件的值）
13．（2024八上·浙江期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
15．（2024八上·路桥期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”）
16．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·长兴期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上.
（1）画出△ABC的边BC上的高AD：
（2）△ABC的面积为 .
18．（2024八上·拱墅月考）作图题
（1）尺规作图画的角平分线．
（2）尺规作图画出边的中垂线．
19．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
20．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，．
（1）请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
21．（2023八上·诸暨月考）如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：
（1）的面积；
（2）的长度；
（3）与的周长的差．
22．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB-AC=2，求△ABC的面积。
23．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
24．（2024八上·瑞安期中）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案。
组别 方案
甲 组 ①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时（即点A、C、E在同一直线上），停止行走；④测得DE的长为10m.
乙 组 ①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，沿着与直线AB成50°角的BC方向前进到C处，在C处测得∠C=25°，③量出BC的长，它就是河宽（即点A，B之间的距离）
问题解决
⑴根据甲组的方案，①河的宽度是 ▲ m；②请说明他们做法的正确性（需写出说理过程）
⑵根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据题意得线段AG一定是△ABC的高线，
故答案选：B．
【分析】根据垂直的定义即可得到结论.
3．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、 当 时， 而说明命题“若 则 是假命题，符合题意；
B、 当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
C、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
D、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先由得到，由直角三角形两锐角互余得，再根据三角形的外角的性质得，最后由三角形的内角和为180°，即可算出的度数．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，已知，，
A. 添加，不能证明，故该选项符合题意；
B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
故选：A
【分析】
一般三角形全等的判定共有4种方法，即SSS、SAS、ASA及AAS，注意不存在SSA这种方法．
7．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
【分析】由垂直平分线的性质得到，然后进行等边转换即可求解．
9．【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图的步骤和图形可知：
尺规作图实际上是平分了，
∴射线是的平分线.
故答案为：A．
【分析】根据作图步骤并结合图形即可判断求解．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
11．【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行。
【分析】垂直于同一条直线的两条直线平行”可写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”。
12．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边是x，则4-2即2故第三边可以是3或4或5.
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和.
13．【答案】14或12.5
【知识点】三角形全等及其性质；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解∶两个三角形全等，
，或，，
解得∶，或，，
或12.5．
故答案为∶14或12.5．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案．
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：直线l是边的垂直平分线，
，.
，
，
，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线定义得，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
17．【答案】（1）解：如图AD即为所求的高，
（2）12
【知识点】三角形的面积；三角形的高
【解析】【分析】（1）按要求画高即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可，底为4，高为6，面积为4×6÷2=12.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，根据作图步骤，作图即可求解．
（1）作法：以C为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，则CD即为所求；
（2）作法：分别以为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点，则EF即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：两个条件任选一个均可证明，
选择条件①．
平分，
，
在和中
，
．
选择条件②．
平分，
，
在和中
，
；
（2）解：，平分，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择①，根据，运用得到；选择②，可得，根据得到即可解题；
（2）根据角平分线的定义得到，然后根据（1）中结论得到，然后再根据三角形外角的性质得到，最后根据解题即可．
（1）解：两个条件任选一个均可证明，
选择条件①．
平分，
，
在和中
，
．
选择条件②．
平分，
，
在和中
，
；
（2）解：，平分，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=9，AC=12，
∴，
∵AE是的中线，
∴，
∴的面积为27cm2；
（2）解：由（1）有，
∵AD是的高，BC=15，
∴，
∴，
∴AD的长度为cm；
（3）解：∵AE是的中线，
∴BE=CE，
的周长-的周长，
∵AC=12，AB=9，
∴与的周长的差为12-9=3cm.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出的面积，然后利用三角形中线的性质，得，即可求解；
（2）由（1）有，利用三角形面积公式得到，即可求出的长；
（3）根据三角形中线的定义，得BE=CE，从而得的周长-的周长=，代入AC、AB的值即可求解.
（1）解：是直角三角形，，，
，
是上的中线，
，
，
；
（2）解：，是上的高，
，
；
（3）解：是边上的中线，
，
的周长－的周长=，
即和的周长差是．
22．【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
23．【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
24．【答案】解：⑴① 10
②证明：∵AB BD ， DE BD
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC与△EDC中
∠ACB=∠DCE， BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=ED=10
⑵在同一个三角形中，等角对等边；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）①(1)由题意知∠ABC=∠EDC=90°，BC =CD=20，
又∵光沿直线传播
∴∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE=10.
【分析】(1)①根据全等三角形对应边相等可得AB=DE；
②利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答；
（2）根据在同一个三角形中，等角对等边；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解答即可.
1 / 1第一章《三角形的初步知识》基础卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·吴兴月考）已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和，结合已知求解即可.
2．（2025八上·西湖期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接交于点G，可得线段一定是的（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据题意得线段AG一定是△ABC的高线，
故答案选：B．
【分析】根据垂直的定义即可得到结论.
3．（2025八上·宁波期末）能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a=1，b=-2 B．a=2，b=-1 C．a=-2，b=1 D．a=-1，b=2
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、 当 时， 而说明命题“若 则 是假命题，符合题意；
B、 当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
C、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
D、当 时， 不能说明命题“若 则 是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据实数的大小比较、实数的平方判断即可.
4．（2025八上·丽水期末）如图，点在的延长线上，交于点，交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先由得到，由直角三角形两锐角互余得，再根据三角形的外角的性质得，最后由三角形的内角和为180°，即可算出的度数．
5．（2025八上·淳安期末）如图，已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得：边b所对的角度为：，
∵图中的两个三角形全等，
∴a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形对应角相等和三角形的内角和定理解题即可．
6．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，已知，，
A. 添加，不能证明，故该选项符合题意；
B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；
故选：A
【分析】
一般三角形全等的判定共有4种方法，即SSS、SAS、ASA及AAS，注意不存在SSA这种方法．
7．（2025八上·温州期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳．若求的长，只需测量下列线段中的（ ）
A． B． C． D．OA
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵为，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴若求的长，只需测量下列线段中的．
故答案为：A．
【分析】由中点定义得AO=A'O，BO=B'O，再结合对顶角相等，可用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，进而根据全等三角形对应边相等得AB=A'B'，从而即可得出答案.
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．21
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
【分析】由垂直平分线的性质得到，然后进行等边转换即可求解．
9．（2024八上·西湖月考）如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
（3）作射线．
A．射线是的平分线 B．线段平分线段
C．点和点关于直线对称 D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图的步骤和图形可知：
尺规作图实际上是平分了，
∴射线是的平分线.
故答案为：A．
【分析】根据作图步骤并结合图形即可判断求解．
10．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 .
【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行。
【分析】垂直于同一条直线的两条直线平行”可写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”。
12．（2025八上·西湖期末）已知三角形的三边均为正整数，其中两边为2，4，则第三边可以是 ．（请写出一个符合条件的值）
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边是x，则4-2即2故第三边可以是3或4或5.
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和.
13．（2024八上·浙江期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
【答案】14或12.5
【知识点】三角形全等及其性质；代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解∶两个三角形全等，
，或，，
解得∶，或，，
或12.5．
故答案为∶14或12.5．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案．
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
【分析】延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
15．（2024八上·路桥期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：直线l是边的垂直平分线，
，.
，
，
，
故答案为：．
【分析】由线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线定义得，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可．
16．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·长兴期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上.
（1）画出△ABC的边BC上的高AD：
（2）△ABC的面积为 .
【答案】（1）解：如图AD即为所求的高，
（2）12
【知识点】三角形的面积；三角形的高
【解析】【分析】（1）按要求画高即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可，底为4，高为6，面积为4×6÷2=12.
18．（2024八上·拱墅月考）作图题
（1）尺规作图画的角平分线．
（2）尺规作图画出边的中垂线．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，根据作图步骤，作图即可求解．
（1）作法：以C为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接，则CD即为所求；
（2）作法：分别以为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点，则EF即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
19．（2025八上·诸暨期末）如图，已知，点在同一直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，点是的中点，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形内角和定理解题即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，然后根据中点的定义得到，再根据解题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
20．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，．
（1）请从①，②中任选一个作为条件，使得结论“”成立，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】（1）解：两个条件任选一个均可证明，
选择条件①．
平分，
，
在和中
，
．
选择条件②．
平分，
，
在和中
，
；
（2）解：，平分，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择①，根据，运用得到；选择②，可得，根据得到即可解题；
（2）根据角平分线的定义得到，然后根据（1）中结论得到，然后再根据三角形外角的性质得到，最后根据解题即可．
（1）解：两个条件任选一个均可证明，
选择条件①．
平分，
，
在和中
，
．
选择条件②．
平分，
，
在和中
，
；
（2）解：，平分，
，
，
，
，
．
21．（2023八上·诸暨月考）如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：
（1）的面积；
（2）的长度；
（3）与的周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=9，AC=12，
∴，
∵AE是的中线，
∴，
∴的面积为27cm2；
（2）解：由（1）有，
∵AD是的高，BC=15，
∴，
∴，
∴AD的长度为cm；
（3）解：∵AE是的中线，
∴BE=CE，
的周长-的周长，
∵AC=12，AB=9，
∴与的周长的差为12-9=3cm.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出的面积，然后利用三角形中线的性质，得，即可求解；
（2）由（1）有，利用三角形面积公式得到，即可求出的长；
（3）根据三角形中线的定义，得BE=CE，从而得的周长-的周长=，代入AC、AB的值即可求解.
（1）解：是直角三角形，，，
，
是上的中线，
，
，
；
（2）解：，是上的高，
，
；
（3）解：是边上的中线，
，
的周长－的周长=，
即和的周长差是．
22．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB-AC=2，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
23．（2024八上·柯桥月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题.
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°．
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1）
∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，．
…
（1）任务一：上述解答过程中的依据1是 ，依据2是 .
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整.
（3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长．
【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等
（2）解：如图2，剩余部分如下：
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20；
（3）解：延长CE、BA交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝6，
∴CF＝EF+EC＝12，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF＝12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形面积即可求出答案.
（3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案.
24．（2024八上·瑞安期中）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案。
组别 方案
甲 组 ①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时（即点A、C、E在同一直线上），停止行走；④测得DE的长为10m.
乙 组 ①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，沿着与直线AB成50°角的BC方向前进到C处，在C处测得∠C=25°，③量出BC的长，它就是河宽（即点A，B之间的距离）
问题解决
⑴根据甲组的方案，①河的宽度是 ▲ m；②请说明他们做法的正确性（需写出说理过程）
⑵根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？
【答案】解：⑴① 10
②证明：∵AB BD ， DE BD
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC与△EDC中
∠ACB=∠DCE， BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=ED=10
⑵在同一个三角形中，等角对等边；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）①(1)由题意知∠ABC=∠EDC=90°，BC =CD=20，
又∵光沿直线传播
∴∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE=10.
【分析】(1)①根据全等三角形对应边相等可得AB=DE；
②利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答；
（2）根据在同一个三角形中，等角对等边；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解答即可.
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