【精品解析】第一章《三角形的初步知识》培优卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测

第一章《三角形的初步知识》培优卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022八上·潼南期中）下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，可根据“角边角”判断这个两个直角三角形全等，符合题意；
B选项，周长相等的两个三角形全等，不能确定三边的大小关系，原题不符合题意；
C选项，两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等，根据“两边及两边的夹角对应相等则两个三角形全等”可知，原题不符合题意；
D选项，全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等，其中“全等三角形的面积相等”成立，“面积相等的两个三角形全等”不成立，原题不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形可根据“角边角”判断这个两个直角三角形全等；
B、长相等的两个三角形不能确定三边对应相等；
C、根据“两边及两边的夹角对应相等则两个三角形全等”可知，两边及其中一边的对角分别相等不能判断两个三角形全等；
D、两个三角形全等是指两个三角形能够完全重合，所以面积相等的两个三角形不一定全等.
2．（2025八上·泸县期末）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
3．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
4．（2024八上·广汉期末）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（　　）
A．2.4 B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
5．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
6．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
7．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
8．（2023八上·郧西期末）如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解： 是的中线，
，
的面积=的面积，故正确；
，是的高，
∴，，
是的角平分线，
∴，
，
又，
，故正确；
∵，
，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，故正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故答案为：D．
【分析】三角形中线得性质得AE=EC，由等底同高三角形面积相等得S△ABE=S△BCE，据此可判断①；由角平分线的定义得∠ACG=∠DCG，由直角三角形的两锐角互余及等角的余角相等得∠AFG=∠DGC，结合对顶角相等得∠AFG=∠AGF，据此可判断②；根据同角的余角相等及角平分线的定义可推出∠FAG=2∠ACF，据此可判断③；由等面积法可得AB×AC=BC×AD，代值求解可判断④.
9．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
10．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．（2020八上·赣榆期中）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　 　
【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
13．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作交延长线于H，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，∴，
∵，∴，则，解得．
故答案为：4．
【分析】过C作，得到，，结合已知可得，则和，进而求得，有，即可证明，得到，利用三角形面积公式即可求得．
14．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
15．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是　 　秒．
【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
16．（2023八上·乐山期末）如图，且且，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积　 　．
【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF
∴∠AFE=90°，∠EAB=90°
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°
∴∠AEF=∠BAG
∴在△AEF和△BAG中
∴△AEF≌△BAG（AAS）
∴EF=AG=6，AF=BG=3
∴FG=FA+AG=9
同理：△BGC≌△CHD
∴BG=CH=3，GC=DA=4
∴GH=GC+CH=7
∴FH=GH+GF=16
∴ H=16=80
F69
C10
H46
∴S=
故答案为：50
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积和梯形的面积，由垂直的定义可知∠AFE=90°，∠EAB=90°，即∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，由同角的余角相等可知：∠AEF=∠BAG，由AAS可得出△AEF≌△BAG，由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知EF=AG=6，AF=BG=3，同理BG=CH=3，GC=DA=4，可得：FH=GH+GF=16，由此分别可求出，，，，即可得出S=即可得出答案.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2023八上·潮南期中）综合实践与探究
已知，如图．请按要求完成下列任务：
任务一：按要求画图：
（1）点、是射线上的任意两点（不重合），在射线上截取，；
（2）连结、，线段与交于点；
（3）作射线．
任务二：判断是否为的平分线 若是的平分线，请证明；若不是的平分线，请说明理由．
【答案】任务一：解：如图，即为所求；
任务二：是否为平分线．
证明：在和中，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】任务一：根据作图过程进行作图即可求解；
任务二：根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出，结合题意推得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△AEC≌△DEB，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，即可证明是平分线.
18．（2024八上·杭州月考）按要求画出图形.
（1） 如图 1， 已知 ， 按要求作图：
①作 的角平分线 ；
②作 边上的高线 .
（2） 有公路 同侧， 异侧的两个城镇 ， 如图 2. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求， 发射塔到两个城镇 的距离必须相等， 到两条公路 的距离也必须相等， 发射塔 应修建在什么位置 请用尺规作图找出所有符合条件的点， 注明点 的位置. (保留作图痕迹， 不要求写出画法)
【答案】（1）解： ①的角平分线BD如图1；
②如图1，线段AF即为所求.
（2）解：①作两条公路夹角的平分线OD或OE.
②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点 即为所求的位置.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】(1)①利用尺规根据角平分线的定义作出图形；
②用尺规作 交CB的延长线于点F；
(2)①作两条公路夹角的平分线OD或OE.②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点 即为所求的位置.
19．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
20．（2024八上·义乌月考）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）；
①在中，若，，，则是“准余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
（2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（3）如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
【答案】（1）①③
（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”.
（3）解：如图所示，按点P的位置分两种情况讨论：
①当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴
②当点在点左侧时：∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
综上所述：，，，时，是“准互余三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，，，
，
∴根据“准互余三角形”的定义可知，是“准互余三角形”．
故①正确；
②根据“准互余三角形”的定义可知，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
由已知∠C＞90°得∠A+2∠B=90°，
∵∠A=60°，∠B=20°，
∴∠A+2∠B=100°≠90°，
故②错误；
③由②可知，“准互余三角形”中，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
故③正确，
故答案为：①③．
【分析】（1）直接根据“准互余三角形”的定义进行判断即可；
（2）根据角平分线平分角得出∠ABC=2∠ABD，结合“准互余三角形”的定义推出，即可得出结论；
（3）直接根据“准互余三角形”的定义，按点P的位置分两种情况讨论即可解决问题．
（1）解：①，，
，
是“准互余三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，
故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
（2）在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准互余三角形”．
（3）当点在点左侧时：
∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴，
综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”．
21．（2023八上·海曙期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）解：分两种情况：
①如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
②如图，当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°.
综上所述， ∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：在△BPC中，∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°.
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.
∴∠ABC+∠ACB＝40°.
∴∠ABC+∠ACB＝120°.
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）解：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（3）分四种情况讨论：①如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
②如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
③如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC=m°+18°；
④如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∴∠BPC＝∠A-∠ABC=m°﹣18°.
综上所述，∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°．
【分析】 (1)分两种情况：①当BD是“邻AB三分线”时， ②当BD是“邻BC三分线”时，然后分别计算即可.
(2)根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线和三角形内角和定理即可求解，
(3)分四种情况：①当BP和CP分别是“邻AB三分线”时， ②当BP和CP分别是“邻BC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻BC三分线”，④当BP和CP分别是“邻AB三分线”，然后分别计算即可.
22．（2023八上·永福期中）（1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是
（2）如图②，在四边形中，分别是B上的点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由．
（3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3），理由如下：
图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定：
（1）延长到点G，使，连接，利用角的运算可推出， 再结合AB=AD，BE=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可推出EF=GF，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可角的运算可得，据此可得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，利用角的运算可得：， 再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出：，，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质和角的运算可推出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，利用角的运算可得：，再结合AB=AD，BE=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，， 再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再根据，推利用等量代换和角的运算可得：，再进行变形可证明结论.

23．（2023八上·临海期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【答案】（1）解：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如图2，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）证明：如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依据AAS判定△ABD≌△CEA，结论即可求得；
（2）根据已知条件得∠DBA=∠CAE，依据AAS判定△ADB≌△CEA，结论即可求得；
（3）通过辅助线构建全等三角形，由（1）和（2）结论得EM=AH=GN，再依据AAS判定△GNI≌△EMI，结论即可求得。
24．（2024八上·新丰期中）我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在中，若，则或叫做 “三等分线”．
【基础运用】
（1）已知，、分别是的外角、的角平分线，、分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，若，则、所在直线的夹角的度数为______．（用含的代数式表示）
【概念提升】
（2）在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，则的度数为______．
【问题解决】
是四边形的外角，设、．
（3）如图②，和的三等分线、相交于点（，），求证：；
（4）如图③，和的等分线分别相交于点、、、…、，则________（用含、、的代数式表示）
【答案】（1）；（2）或或或；
（3）
证明：如下图所示，
，
，
，，
，
，
，
（4）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如下图所示，设，，直线与直线相交于点，
由题意可得，，
、分别是的外角、的角平分线，
，，
、分别是、的角平分线，
，，
，
故答案为：；
（2）如下图所示，的三等分线与的外角的三等分线的交点为、、和，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：或或或；
（3）证明：如下图所示，
，
，
，，
，
，
，
（4），
，
同理可得，，，……，
故答案为：．
【分析】
（1）设，，直线与直线相交于点，由于BP，CP，BM，CN为角平分线，根据角平分线的性质可得出角的关系，再通过三角形外角的性质用含的代数式即可表示出BM，CN所在直线的夹角的度数；
（2）画出图形，∠ABC的三等分线与∠ACB的交点有四个，分别求出对应的度数即可；
（3）∠P1，∠P2，∠P3，…∠Pn根据角平分线的性质和三角形外角的性质分别用、、n，表示出后，再加在一起计算即可.
1 / 1第一章《三角形的初步知识》培优卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2022八上·潼南期中）下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
2．（2025八上·泸县期末）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024八上·广汉期末）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（　　）
A．2.4 B．3 C．4 D．
5．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·金华月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，妈妈在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A． B． C． D．
7．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　).
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
8．（2023八上·郧西期末）如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
9．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·沅江开学考）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
12．（2020八上·赣榆期中）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是　 　
13．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为　 　．
14．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
15．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是　 　秒．
16．（2023八上·乐山期末）如图，且且，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积　 　．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2023八上·潮南期中）综合实践与探究
已知，如图．请按要求完成下列任务：
任务一：按要求画图：
（1）点、是射线上的任意两点（不重合），在射线上截取，；
（2）连结、，线段与交于点；
（3）作射线．
任务二：判断是否为的平分线 若是的平分线，请证明；若不是的平分线，请说明理由．
18．（2024八上·杭州月考）按要求画出图形.
（1） 如图 1， 已知 ， 按要求作图：
①作 的角平分线 ；
②作 边上的高线 .
（2） 有公路 同侧， 异侧的两个城镇 ， 如图 2. 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求， 发射塔到两个城镇 的距离必须相等， 到两条公路 的距离也必须相等， 发射塔 应修建在什么位置 请用尺规作图找出所有符合条件的点， 注明点 的位置. (保留作图痕迹， 不要求写出画法)
19．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2024八上·义乌月考）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）；
①在中，若，，，则是“准余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
（2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（3）如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
21．（2023八上·海曙期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”.
（1）【问题解决】
如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；
（3）【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
22．（2023八上·永福期中）（1）如图①，在四边形中，．E、F分别是上的点， 且，探究图中之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接． 先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是
（2）如图②，在四边形中，分别是B上的点，且，上述结论是否仍然成立？ 请说明理由．
（3）如图③，在四边形中，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
23．（2023八上·临海期中）
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
24．（2024八上·新丰期中）我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在中，若，则或叫做 “三等分线”．
【基础运用】
（1）已知，、分别是的外角、的角平分线，、分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，若，则、所在直线的夹角的度数为______．（用含的代数式表示）
【概念提升】
（2）在中，，，若的三等分线与的外角的三等分线交于点，则的度数为______．
【问题解决】
是四边形的外角，设、．
（3）如图②，和的三等分线、相交于点（，），求证：；
（4）如图③，和的等分线分别相交于点、、、…、，则________（用含、、的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，可根据“角边角”判断这个两个直角三角形全等，符合题意；
B选项，周长相等的两个三角形全等，不能确定三边的大小关系，原题不符合题意；
C选项，两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等，根据“两边及两边的夹角对应相等则两个三角形全等”可知，原题不符合题意；
D选项，全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等，其中“全等三角形的面积相等”成立，“面积相等的两个三角形全等”不成立，原题不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形可根据“角边角”判断这个两个直角三角形全等；
B、长相等的两个三角形不能确定三边对应相等；
C、根据“两边及两边的夹角对应相等则两个三角形全等”可知，两边及其中一边的对角分别相等不能判断两个三角形全等；
D、两个三角形全等是指两个三角形能够完全重合，所以面积相等的两个三角形不一定全等.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
4．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故答案为：D．
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可得到，然后根据三角形的面积求出CE长，即可得到最小值．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△COE和△OBD中，，∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE=OD，OE=DB，∵BD=1.2m，CE=1.6m，∴DE=OD-OE=CE-OE=0.4m，∵AE=1.5m，∴AD=AE-DE=1.1m，即妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度是，
故答案为：B.
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE=OD，OE=DB，求出DE的长即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
故答案为：D .
【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解： 是的中线，
，
的面积=的面积，故正确；
，是的高，
∴，，
是的角平分线，
∴，
，
又，
，故正确；
∵，
，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，故正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故答案为：D．
【分析】三角形中线得性质得AE=EC，由等底同高三角形面积相等得S△ABE=S△BCE，据此可判断①；由角平分线的定义得∠ACG=∠DCG，由直角三角形的两锐角互余及等角的余角相等得∠AFG=∠DGC，结合对顶角相等得∠AFG=∠AGF，据此可判断②；根据同角的余角相等及角平分线的定义可推出∠FAG=2∠ACF，据此可判断③；由等面积法可得AB×AC=BC×AD，代值求解可判断④.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，所以①错误；
②，
，
平分，平分，
，，
，
，所以②正确；
③平分
当时，
而原不确定，所以③错误；
④，的平分线分别交、于点，，、相交于点，
为三角形的内心，
点到三边的距离相等正确．所以④正确；
⑤如图，在上截取，
平分，
，
，
．
由②知，
，
，
又平分，
，
．
，
，
，所以⑤正确．
故答案为：B．
【分析】①当是等边三角形时才成立；
②利用三角形的内角和，角平分线的性质以及三角形的外角求出即可；
③当时，，所以③错误；
④根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；
⑤作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论．
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【分析】由全等三角形的判定证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法（角平分线上的点到角的两边的距离相等）得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
11．【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
13．【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作交延长线于H，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
即，
∴，
则，
∵，
∴，∴，
∵，∴，则，解得．
故答案为：4．
【分析】过C作，得到，，结合已知可得，则和，进而求得，有，即可证明，得到，利用三角形面积公式即可求得．
14．【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
15．【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
16．【答案】50
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF
∴∠AFE=90°，∠EAB=90°
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°
∴∠AEF=∠BAG
∴在△AEF和△BAG中
∴△AEF≌△BAG（AAS）
∴EF=AG=6，AF=BG=3
∴FG=FA+AG=9
同理：△BGC≌△CHD
∴BG=CH=3，GC=DA=4
∴GH=GC+CH=7
∴FH=GH+GF=16
∴ H=16=80
F69
C10
H46
∴S=
故答案为：50
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积和梯形的面积，由垂直的定义可知∠AFE=90°，∠EAB=90°，即∠AEF+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，由同角的余角相等可知：∠AEF=∠BAG，由AAS可得出△AEF≌△BAG，由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知EF=AG=6，AF=BG=3，同理BG=CH=3，GC=DA=4，可得：FH=GH+GF=16，由此分别可求出，，，，即可得出S=即可得出答案.
17．【答案】任务一：解：如图，即为所求；
任务二：是否为平分线．
证明：在和中，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】任务一：根据作图过程进行作图即可求解；
任务二：根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出，结合题意推得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△AEC≌△DEB，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，即可证明是平分线.
18．【答案】（1）解： ①的角平分线BD如图1；
②如图1，线段AF即为所求.
（2）解：①作两条公路夹角的平分线OD或OE.
②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点 即为所求的位置.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】(1)①利用尺规根据角平分线的定义作出图形；
②用尺规作 交CB的延长线于点F；
(2)①作两条公路夹角的平分线OD或OE.②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点 即为所求的位置.
19．【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
20．【答案】（1）①③
（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”.
（3）解：如图所示，按点P的位置分两种情况讨论：
①当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴
②当点在点左侧时：∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
综上所述：，，，时，是“准互余三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，，，
，
∴根据“准互余三角形”的定义可知，是“准互余三角形”．
故①正确；
②根据“准互余三角形”的定义可知，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
由已知∠C＞90°得∠A+2∠B=90°，
∵∠A=60°，∠B=20°，
∴∠A+2∠B=100°≠90°，
故②错误；
③由②可知，“准互余三角形”中，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
故③正确，
故答案为：①③．
【分析】（1）直接根据“准互余三角形”的定义进行判断即可；
（2）根据角平分线平分角得出∠ABC=2∠ABD，结合“准互余三角形”的定义推出，即可得出结论；
（3）直接根据“准互余三角形”的定义，按点P的位置分两种情况讨论即可解决问题．
（1）解：①，，
，
是“准互余三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，
故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
（2）在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准互余三角形”．
（3）当点在点左侧时：
∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴，
综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”．
21．【答案】（1）解：分两种情况：
①如图，当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
②如图，当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°.
综上所述， ∠BDC的度数为95°或110°.
（2）解：在△BPC中，∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°.
∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.
∴∠ABC+∠ACB＝40°.
∴∠ABC+∠ACB＝120°.
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）解：∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（3）分四种情况讨论：①如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
②如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
③如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC=m°+18°；
④如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”，
∴∠BPC＝∠A-∠ABC=m°﹣18°.
综上所述，∠BPC的度数为m°或m°或m°+18°或m°-18°．
【分析】 (1)分两种情况：①当BD是“邻AB三分线”时， ②当BD是“邻BC三分线”时，然后分别计算即可.
(2)根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线和三角形内角和定理即可求解，
(3)分四种情况：①当BP和CP分别是“邻AB三分线”时， ②当BP和CP分别是“邻BC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻BC三分线”，④当BP和CP分别是“邻AB三分线”，然后分别计算即可.
22．【答案】（1）；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（3），理由如下：
图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
故答案为：；
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定：
（1）延长到点G，使，连接，利用角的运算可推出， 再结合AB=AD，BE=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可推出EF=GF，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可角的运算可得，据此可得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，利用角的运算可得：， 再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出：，，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质和角的运算可推出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，利用角的运算可得：，再结合AB=AD，BE=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，， 再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再根据，推利用等量代换和角的运算可得：，再进行变形可证明结论.

23．【答案】（1）解：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（2）解：DE=BD＋CE.
如图2，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA＋∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE＋AD=BD＋CE；
（3）证明：如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N..'
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△GNI和△EMI中，，
∴△GNI≌△EMI(AAS)，
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠CAE=∠ABD，依据AAS判定△ABD≌△CEA，结论即可求得；
（2）根据已知条件得∠DBA=∠CAE，依据AAS判定△ADB≌△CEA，结论即可求得；
（3）通过辅助线构建全等三角形，由（1）和（2）结论得EM=AH=GN，再依据AAS判定△GNI≌△EMI，结论即可求得。
24．【答案】（1）；（2）或或或；
（3）
证明：如下图所示，
，
，
，，
，
，
，
（4）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如下图所示，设，，直线与直线相交于点，
由题意可得，，
、分别是的外角、的角平分线，
，，
、分别是、的角平分线，
，，
，
故答案为：；
（2）如下图所示，的三等分线与的外角的三等分线的交点为、、和，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：或或或；
（3）证明：如下图所示，
，
，
，，
，
，
，
（4），
，
同理可得，，，……，
故答案为：．
【分析】
（1）设，，直线与直线相交于点，由于BP，CP，BM，CN为角平分线，根据角平分线的性质可得出角的关系，再通过三角形外角的性质用含的代数式即可表示出BM，CN所在直线的夹角的度数；
（2）画出图形，∠ABC的三等分线与∠ACB的交点有四个，分别求出对应的度数即可；
（3）∠P1，∠P2，∠P3，…∠Pn根据角平分线的性质和三角形外角的性质分别用、、n，表示出后，再加在一起计算即可.
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