第一章《特殊三角形》基础卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·义乌月考）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·宁波期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．无理数是无限小数
C．全等三角形的对应角相等 D．若，则
6．（2022八上·海曙期中）如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A．：：：4：5 B．，
C．，， D．，，
7．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019八上·郑州期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm
C．cm D．2cm
10．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知等边三角形的边长是2，则这个等边三角形的面积是 .
12．（2024八上·上城期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
13．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D.若要根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是 .(写一种即可)
14．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
15．（2023八上·瓯海期中）如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是 ．
16．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
18．（2025八上·温州期中）如图， 已知 ， 点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 ， 求证： . 请补全证明过程， 并在括号里写上理由.
证明： ，
∴∠FED= ▲ =90°
∵AE=DB，
∵AE+ ▲ = ▲ +BD，
即AB=DE.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ）
∴∠A= ▲
∴GA=GD（ ▲ ）
19．（2024八上·路桥期中）如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形．
20．（2023八上·温州期中）已知：如图，．求证：平分．
21．（2024八上·路桥期中）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画及边上的中线，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
22．（2025八上·拱墅期末）综合与实践
如图，在中，.以点为圆心，AB为半径画弧，交AC于点，连接BD.过点作BD的垂线，交BC于点.
观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法.
（1）圆圆说：“.”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由.
（2）方方说：“若，则.”请你证明结论.
（3）小明说：“给出条件，就可以确定的度数.”请你直接写出的度数.
23．（2024八上·武义期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁请利用你所学的数学知识解决下列问题．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）设，交于点，求的长．
24．（2025八上·慈溪期末）如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案．
方案1 方案2
根据上述材料，回答下列问题：
（1）分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________；
（2）请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：最短路径如图，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称性质和两点之间线段最短即可得出最短路径.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；无理数的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题是真命题；
B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，错误，故逆命题是假命题；
C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，故逆命题是假命题；
D．若，则的逆命题是若，则，错误，故逆命题是假命题．
故答案为：A．
【分析】先写出各命题的逆命题，在判断真假解题即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵ ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、 ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理算出△ABC中最大内角的度数，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形可判断A、B；根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=
==13（Cm）．故选：A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD=BC=×2=1，
在Rt△ABD中，AD= =
所以，三角形的面积=×2×=
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得等边三角形的高，再由三角形的面积公式即可解答.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题可知，与关于AC所在直线的对称，
，，
又，
，
.
故答案为：90°.
【分析】根据轴对称图形的对应的角相等得，，由， 可得.
13．【答案】AC=BD或BC=AD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：若添加 AC=BD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
若添加 BC=AD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
故答案为：AC=BD或BC=AD.
【分析】两个直角三角形全等可以通过斜边和一条直角边对应相等得到.
14．【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
15．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由勾股定理得：
．
故答案为：．
【分析】根据方格，由勾股定理求出，由，计算求解即可．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
17．【答案】（1）解：如图，
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为(-3，0).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）先找到 关于y轴对称的三个点，即每个点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，然后连接三个点即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点C2，连接BC2，与x轴交于点P，点P即为所求.
18．【答案】证明：∵FE⊥AD， CB⊥AD，
∴∠FED= ∠CBA =90°．
∵AE=DB，
∴AE+BE =BE +BD，
即AB=DE．
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF ( HL)，
∴∠A=∠D ，
∴ GA=GD (在同一个三角形中，等角对等边 )．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】利用HL证△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，结合等角对等边即可得到结论.
19．【答案】证明：
在和中
为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰三角形的性质得，再利用SAS证明，利用全等三角形的性质得，即可得出结论．
20．【答案】解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】得到，，然后根据垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据三线合一得到结论即可．
21．【答案】（1）解：作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，在圆周上取一点C，连接，，则即为所求；
（2）解：已知：如图，中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可；
（3）利用（1）中写出已知，利用等腰三角形性质及内角和定理，即可求解．
（1）解：作线段的垂直平分线，以点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）解：已知：中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
22．【答案】（1）圆圆的说法正确.证明如下
由题意，得：，
因为，所以，
因为，
所以.
所以圆圆的说法正确
（2）过点作，垂足为点，
因为，
所以，又因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，所以，
所以
（3）.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】(3)如图，取BE中点F，连接AF、DF
∵BD⊥DE
∴BF=DF=EF
∵AB=AD， AF=AF
∴△ABF≌△ADF（SSS）
∴∠ADF=∠ABC=90°
∵BE=2CD
∴CD=DF
∴∠C=45°
∴∠BAC=45°
故答案为：45°.
【分析】（1）根据题意可知AB=AD，利用等腰三角形“等边对等角”的性质及直角、平角的定义即可导角说明；
（2）过点作，垂足为点，根据等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定即可证明；
（3）取BE中点F，连接AF、DF，先证明△ABF≌△ADF，再由全等的性质得出∠CDF=90°，由BE=2CD进一步得出CD=DF，即可解答.
23．【答案】（1）解：，理由如下，
连接，由图可得，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
（2）解：由得，故
，
，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等面积法的运用，属于中档题型.
（1）根据题意结合勾股定理可得：BC与AE的关系进而可证得，可得到：，再运用等量代换的方法即可求解；
（2）由（1）结合勾股定理可得BC的长度，再根据进行求解即可.
24．【答案】（1）4.5；4
（2）解：
如图所示：方案如下：
设，
∵
∴，
∴在长方形中，，，
由得，，
解得，
∴，
∴长方形的面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）解：方案1：如左图，由题意可知，
∴，
∴；
方案2：如右图，由题意可知，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴；
【分析】（1）由方案1知，，由方案2知，；
（2）为使裁剪出的矩形面积最大，可裁剪出两个最大的直角梯形，并使上、下底边之和恰好是高的2倍，此时设裁剪出的上底长为a，则，解得，则矩形面积＝.
（1）方案1：如图，由题意可知，
∴，
∴；
方案2：如图，由题意可知，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）方案如下：
设，
∵
∴，
∴在长方形中，，，
由得，，
解得，
∴，
∴长方形的面积为．
1 / 1第一章《特殊三角形》基础卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意；
、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可．
2．（2024八上·义乌月考）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：最短路径如图，
故答案为：D.
【分析】根据轴对称性质和两点之间线段最短即可得出最短路径.
3．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
4．（2025八上·西湖期末）如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，
∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
故答案选：B．
【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论.
5．（2024八上·宁波期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．无理数是无限小数
C．全等三角形的对应角相等 D．若，则
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；无理数的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题是真命题；
B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，错误，故逆命题是假命题；
C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误，故逆命题是假命题；
D．若，则的逆命题是若，则，错误，故逆命题是假命题．
故答案为：A．
【分析】先写出各命题的逆命题，在判断真假解题即可．
6．（2022八上·海曙期中）如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ）
A．：：：4：5 B．，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵ ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、 ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、 ， ， ，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理算出△ABC中最大内角的度数，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形可判断A、B；根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D.
7．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
8．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
9．（2019八上·郑州期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm
C．cm D．2cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=
==13（Cm）．故选：A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
10．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知等边三角形的边长是2，则这个等边三角形的面积是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD=BC=×2=1，
在Rt△ABD中，AD= =
所以，三角形的面积=×2×=
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得等边三角形的高，再由三角形的面积公式即可解答.
12．（2024八上·上城期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题可知，与关于AC所在直线的对称，
，，
又，
，
.
故答案为：90°.
【分析】根据轴对称图形的对应的角相等得，，由， 可得.
13．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D.若要根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则应添加的条件是 .(写一种即可)
【答案】AC=BD或BC=AD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：若添加 AC=BD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
若添加 BC=AD，在Rt △ ABC和Rt △ BAD中，，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（ HL）
故答案为：AC=BD或BC=AD.
【分析】两个直角三角形全等可以通过斜边和一条直角边对应相等得到.
14．（2024八上·路桥期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ．
【答案】垂直平分
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：垂直平分，理由如下：
，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
垂直平分，
故答案为：垂直平分．
【分析】根据，，可得点D和E都在线段AC的垂直平分线上，继而可得垂直平分．
15．（2023八上·瓯海期中）如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由勾股定理得：
．
故答案为：．
【分析】根据方格，由勾股定理求出，由，计算求解即可．
16．（2024八上·路桥期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴∠DEC=90°，
∴，
故答案为：．
【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为(-3，0).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）先找到 关于y轴对称的三个点，即每个点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，然后连接三个点即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点C2，连接BC2，与x轴交于点P，点P即为所求.
18．（2025八上·温州期中）如图， 已知 ， 点 A， E， B， D 在同一直线上， A C 与 F D 相交于点 ， 求证： . 请补全证明过程， 并在括号里写上理由.
证明： ，
∴∠FED= ▲ =90°
∵AE=DB，
∵AE+ ▲ = ▲ +BD，
即AB=DE.
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（ ▲ ）
∴∠A= ▲
∴GA=GD（ ▲ ）
【答案】证明：∵FE⊥AD， CB⊥AD，
∴∠FED= ∠CBA =90°．
∵AE=DB，
∴AE+BE =BE +BD，
即AB=DE．
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF ( HL)，
∴∠A=∠D ，
∴ GA=GD (在同一个三角形中，等角对等边 )．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】利用HL证△ABC≌△DEF，得到∠A=∠D，结合等角对等边即可得到结论.
19．（2024八上·路桥期中）如图，在中，，点，在上，且．求证：是等腰三角形．
【答案】证明：
在和中
为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由等腰三角形的性质得，再利用SAS证明，利用全等三角形的性质得，即可得出结论．
20．（2023八上·温州期中）已知：如图，．求证：平分．
【答案】解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】得到，，然后根据垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据三线合一得到结论即可．
21．（2024八上·路桥期中）已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明．
（1）根据题意，画出图形：画及边上的中线，且满足；（画图工具不限）
（2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证；
（3）证明：写出证明过程．
【答案】（1）解：作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，在圆周上取一点C，连接，，则即为所求；
（2）解：已知：如图，中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可；
（3）利用（1）中写出已知，利用等腰三角形性质及内角和定理，即可求解．
（1）解：作线段的垂直平分线，以点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求；
（2）解：已知：中，是边的中线，且；
求证：是直角三角形；
（3）证明：∵是边上的中线，
∴．
又，
∴，
∴，，
∴．
∵，
即，
∴，
即，
∴是直角三角形．
22．（2025八上·拱墅期末）综合与实践
如图，在中，.以点为圆心，AB为半径画弧，交AC于点，连接BD.过点作BD的垂线，交BC于点.
观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法.
（1）圆圆说：“.”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由.
（2）方方说：“若，则.”请你证明结论.
（3）小明说：“给出条件，就可以确定的度数.”请你直接写出的度数.
【答案】（1）圆圆的说法正确.证明如下
由题意，得：，
因为，所以，
因为，
所以.
所以圆圆的说法正确
（2）过点作，垂足为点，
因为，
所以，又因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，所以，
所以
（3）.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】(3)如图，取BE中点F，连接AF、DF
∵BD⊥DE
∴BF=DF=EF
∵AB=AD， AF=AF
∴△ABF≌△ADF（SSS）
∴∠ADF=∠ABC=90°
∵BE=2CD
∴CD=DF
∴∠C=45°
∴∠BAC=45°
故答案为：45°.
【分析】（1）根据题意可知AB=AD，利用等腰三角形“等边对等角”的性质及直角、平角的定义即可导角说明；
（2）过点作，垂足为点，根据等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定即可证明；
（3）取BE中点F，连接AF、DF，先证明△ABF≌△ADF，再由全等的性质得出∠CDF=90°，由BE=2CD进一步得出CD=DF，即可解答.
23．（2024八上·武义期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁请利用你所学的数学知识解决下列问题．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）设，交于点，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下，
连接，由图可得，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
（2）解：由得，故
，
，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等面积法的运用，属于中档题型.
（1）根据题意结合勾股定理可得：BC与AE的关系进而可证得，可得到：，再运用等量代换的方法即可求解；
（2）由（1）结合勾股定理可得BC的长度，再根据进行求解即可.
24．（2025八上·慈溪期末）如图，等腰板材，，，数学小组准备将这样的两块等腰直角三角形板材进行裁剪和拼接，尝试拼成一个长是宽两倍的长方形．要求两块等腰直角三角形板材裁出的图形全等，下列是数学小组给出的两种裁、拼方案．
方案1 方案2
根据上述材料，回答下列问题：
（1）分别计算这两种方案所拼成的长方形的面积：________，________；
（2）请尝试设计一种比方案1、2所得长方形面积更大的裁拼方案，在图1中画出裁剪线，在图2中画出长方形的拼接线，并计算出此时长方形的面积．
【答案】（1）4.5；4
（2）解：
如图所示：方案如下：
设，
∵
∴，
∴在长方形中，，，
由得，，
解得，
∴，
∴长方形的面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）解：方案1：如左图，由题意可知，
∴，
∴；
方案2：如右图，由题意可知，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴；
【分析】（1）由方案1知，，由方案2知，；
（2）为使裁剪出的矩形面积最大，可裁剪出两个最大的直角梯形，并使上、下底边之和恰好是高的2倍，此时设裁剪出的上底长为a，则，解得，则矩形面积＝.
（1）方案1：如图，由题意可知，
∴，
∴；
方案2：如图，由题意可知，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）方案如下：
设，
∵
∴，
∴在长方形中，，，
由得，，
解得，
∴，
∴长方形的面积为．
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