【精品解析】第二章《特殊三角形》提升卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测

第二章《特殊三角形》提升卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·浙江期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024八上·宁波竞赛） 如图，在 的正方形网格中，已有线段 ，在格点中再取一点 ，使 成为等腰三角形，这样的点 有（　　）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（2024八上·瑞安期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中，不正确的是(　　).
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题
C．“若a>b，则的逆命题是“若a2>b2，则a>b”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”
7．（2020八上·萧山期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
9．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．如图，∠MON=6°，点A在OM上，设OA=a.按下列要求作图：以A为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，a为半径向右作弧，交OM于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A3，得第3条线段A2A3……这样作下去，直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，则m为(　　).
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·浙江期末）如图，平分．若，则的度数为　 　．
12．（2023八上·桐乡市月考）如图，中，，，垂直平分分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是　 　．
13．（2024八上·海曙期末）下列命题：①若a2＝b，则a＝；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有　 　．
14．（2024八上·武义期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
15．（2024八上·柯桥月考）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当时，S△DEF＝1﹣3；
如图②当时，S△DEF＝1﹣3；
如图③当时，S△DEF＝1﹣3；
…
直接写出，当时，S△DEF＝　 　．
16．（2024八上·瑞安期中）沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝　 　cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝　 　cm．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·吴兴期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
（2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
（3）在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
18．（2024八上·吴兴月考）如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
（1）求证： △BCE≌△CAD；
（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
19．（2025八上·滨江期末）为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
20．（2024八上·绍兴月考）在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接．
（1）在图1中，当点D在边上时，求证：；
（2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．
21．（2024八上·瑞安期中）
项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究．
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
素材三
解决问题
任务一 小明画出了锐角，则　　　．
任务二 小金画出了直角，计算的值，并写出过程．
任务三 小山画出了钝角，则．
22．（2023八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（　　）
③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（　　）
（2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线．
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．
23．（2024八上·拱墅期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ．
【初步运用】
（2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值．
24．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
选项C和选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形，正确。
故答案为：B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该图形称为中心对称图形；把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合，因此是中心对称图形，而选项B有四条对称轴，并且围绕中心点进行旋转即可重合，因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
3．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，点四个点满足题意；
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此画出相应的图形，进行判断即可．
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，以B为顶点的等腰三角形为 以C为顶点的等腰三角形为 和 ，以A为顶点的等腰三角形为
故答案为：D.
【分析】分类讨论：以B为顶点的等腰三角形可确定( 作AB的垂直平分线得到以C为顶点的等腰三角形，则可确定点 和 为 和 以A为顶点的等腰三角形可确定点
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又
∴
∴，解得，，
∴，
故选：D．
【分析】由等边对等角可得，，再由三角形的外角性质可得，再由三角形的内角和定理可得，再在中应用勾股定理可求出即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、“对顶角相等”有逆命题相等的角是对顶角，符合题意；
B、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题，不符合题意；
C、“若a＞b，则a2＞b2的逆命题是“则a2＞b2则a＞b”，不符合题意；
D、“全等三角形的对应边相等”逆命题是“对应边相等的三角形全等”，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角、等腰三角形的两个底角相等，有两个角相等的三角形是等腰三角形、不等式的性质、全等三角形的三条对应边相等，三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝ ∠A+ ∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（ ）°，
∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故答案为：C.
【分析】①根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，把已知条件∠A+∠B=∠C代入计算可求得∠C的度数，根据直角三角形的定义即可判断求解；
②设∠A＝x，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解法可求解；
③根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，把已知条件∠A=90°-∠B代入计算可求得∠C的度数，根据直角三角形的定义即可判断求解；
④根据三角形内角和定理和已知条件可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当得到第1条线段AA1时：∵∠MON=6°，OA=AA1，
∴∠AA1O=∠MON=6°，
∴∠A1AA2=∠AA1O+∠MON=12°=2×6°，
当得到第2条线段A1A2时：∵AA1=A1A2，
∴∠A1A2A=∠A1AA2=12°，
∴∠A2A1A3=∠MON+∠A1A2A=6°+12°=18°=3×6°，
同理可得，当得到第3条线段A2A3时：∠A3A2A4=24°=4×6°，
......
∴当得到第m条线段时：∠AmAm-1Am+1=(m+1)×6°，
∵直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，
∴∠AmAm-1Am+1≤90°，
∴(m+1)×6°≤90°，
解得：m≤14，
∴m=14，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质、三角形外角性质求出∠A1AA2=2×6°，∠A2A1A3=3×6°，∠A3A2A4=4×6°，......，从而得∠AmAm-1Am+1=(m+1)×6°，然后由“直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了”得(m+1)×6°≤90°，解不等式求出m的取值范围，即可求解.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴∠EDA=∠DAF，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=30°，
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作，取DE的中点K，连接MK，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DM=a，证由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠DAE=∠ADE，由等角对等边得AE=DE=2a，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得KM=DK=DM=a，由边相等的三角形是等边三角形得△DKM为等边三角形，则∠MDK=60°，由直角三角形的量锐角互余得∠DEM=30°，由二直线平行，同位角相等得∠BAC=∠DEM=30°，从而根据角平分线定义得出答案.
12．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴DP+CP=DP+AP，
∵点D为BC上一动点，
∴当AD⊥BC时，DP+AP有最小值，即此时DP+CP有最小值，
过作于，交于，如图，
∵，BC=10，
∴，
解得：，
的最小值是5，
故答案为：5．
【分析】根据垂直平分线的性质得AP=CP，从而有DP+CP=DP+AP，进而得当AD⊥BC时，DP+AP有最小值，即此时DP+CP有最小值，接下来过作于，交于，根据三角形的面积公式求出的长，即可得的长为的最小值.
13．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①a2＝b，则的逆命题是：若，则a2＝b，是真命题；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是：到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
③全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，是假命题.
④等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：①②④.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可.
14．【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图①，当时，
如图②，当时，
如图③，当时，
∴当时，
∴当时，
故答案为：.
【分析】根据题意发现并总结出规律：当时，进而把d代入计算即可.
16．【答案】 ；
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：①∵∠CAB=90°，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，
∴BC=BD-CD=40-10=30cm，
∴在Rt△ABC中，；
②如图，延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，
∵AC∥ED，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=30°，
∴∠DFB=30°，
∵AC=20cm，∠CGA=90°，
∴CG=10cm，，
∵BC=30cm，CG=10cm，∠CGB=90°，
∴，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据勾股定理可以解答本题；
(2)延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，再由勾股定理可知AG，BG的长，从而可以解答本题.
17．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；利用轴对称设计图案；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-等腰（等边）三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形叫等腰三角形”并结合网格图的特征找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形叫等腰三角形”并结合网格图的特征找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A'，连接BA'，交MN于P，P点即为所求.
（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
18．【答案】【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）DE= AD-BE.
（3）DE= BE-AD，理由如下：
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CD-CE=BE-AD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE.
【分析】（1）结合题意利用同角的余角相等得到，然后利用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得出结论；
（3）结合题意利用同角的余角相等得到，再证△BCE≌△CAD，AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得结论.
19．【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
20．【答案】（1）（1）
解：如图1，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）（2）不成立，存在的数量关系为．理由：如图2，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）（3）存在的数量关系为；
如图3，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论．
（1）解：如图1，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）存在的数量关系为；
如图3，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】答：任务一：；
解：任务二：∵，
∴；
由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
∴；
任务三：
【知识点】勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务一：∵，
∴，
∴；
故答案为：；
任务二：∵，
∴；
由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
∴；
任务三：如图，过H作交延长线于点M，
∵，
∴，
∴；
由勾股定理得：；
设，则，；
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】任务一：由周长可得，再利用正方形面积公式计算即可；
任务二：由周长可得，再利用勾股定理求出，再利用正方形面积公式计算即可；
任务三：由于，则可过作的高，则由三角形的外角性质可得，再由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可得，再由勾股定理可得；又由周长知，则在中应用勾股定理可得，再利用正方形面积公式计算即可．
22．【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（3）①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
【分析】（1）①根据全等三角形的性质即可判断；②根据题意可以写出三对等角三角形可判断②错误；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，根据等角三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，则有，然后根据等角三角形的定义即可证明；
（3）分类讨论：当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，等腰三角形的性质、等角分割线定义和三角形外角和求得；
（1）解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）解：①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
23．【答案】（1）和，
（2），
证明：在和中，，，，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，连接，交于，设、交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中，，，，、、三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
图中与线段相等的线段是和，，
故答案为：和，.
【分析】(1)利用已知可证得点B、D、E三点共线，同时可求出∠ADB、∠CBD的度数；利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，∠AEC=∠ADB=105°，再证明∠CBE=∠BEC，利用等角对等边可证得CE=BC，据此可证得结论.
(2)利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用可证，然后根据全等三角形的性质可证得结论.
(3)连接，交于，设、交于，易证，利用SAS可证得△AEC≌△BED，利用全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后利用勾股定理可求出的值.
24．【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
1 / 1第二章《特殊三角形》提升卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·余姚期末）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
选项C和选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形，正确。
故答案为：B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该图形称为中心对称图形；把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合，因此是中心对称图形，而选项B有四条对称轴，并且围绕中心点进行旋转即可重合，因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等要三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
3．（2024八上·浙江期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，点四个点满足题意；
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此画出相应的图形，进行判断即可．
4．（2024八上·宁波竞赛） 如图，在 的正方形网格中，已有线段 ，在格点中再取一点 ，使 成为等腰三角形，这样的点 有（　　）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：如图，以B为顶点的等腰三角形为 以C为顶点的等腰三角形为 和 ，以A为顶点的等腰三角形为
故答案为：D.
【分析】分类讨论：以B为顶点的等腰三角形可确定( 作AB的垂直平分线得到以C为顶点的等腰三角形，则可确定点 和 为 和 以A为顶点的等腰三角形可确定点
5．（2024八上·瑞安期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又
∴
∴，解得，，
∴，
故选：D．
【分析】由等边对等角可得，，再由三角形的外角性质可得，再由三角形的内角和定理可得，再在中应用勾股定理可求出即可．
6．下列说法中，不正确的是(　　).
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题
C．“若a>b，则的逆命题是“若a2>b2，则a>b”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、“对顶角相等”有逆命题相等的角是对顶角，符合题意；
B、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题，不符合题意；
C、“若a＞b，则a2＞b2的逆命题是“则a2＞b2则a＞b”，不符合题意；
D、“全等三角形的对应边相等”逆命题是“对应边相等的三角形全等”，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角、等腰三角形的两个底角相等，有两个角相等的三角形是等腰三角形、不等式的性质、全等三角形的三条对应边相等，三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可求解.
7．（2020八上·萧山期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝ ∠A+ ∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（ ）°，
∴△ABC为钝角三角形.
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故答案为：C.
【分析】①根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，把已知条件∠A+∠B=∠C代入计算可求得∠C的度数，根据直角三角形的定义即可判断求解；
②设∠A＝x，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解法可求解；
③根据三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，把已知条件∠A=90°-∠B代入计算可求得∠C的度数，根据直角三角形的定义即可判断求解；
④根据三角形内角和定理和已知条件可求解.
8．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
9．（2022八上·东阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，
即AC的长为：6.
故答案为：C.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可.
10．如图，∠MON=6°，点A在OM上，设OA=a.按下列要求作图：以A为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，a为半径向右作弧，交OM于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，a为半径向右作弧，交ON于点A3，得第3条线段A2A3……这样作下去，直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，则m为(　　).
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当得到第1条线段AA1时：∵∠MON=6°，OA=AA1，
∴∠AA1O=∠MON=6°，
∴∠A1AA2=∠AA1O+∠MON=12°=2×6°，
当得到第2条线段A1A2时：∵AA1=A1A2，
∴∠A1A2A=∠A1AA2=12°，
∴∠A2A1A3=∠MON+∠A1A2A=6°+12°=18°=3×6°，
同理可得，当得到第3条线段A2A3时：∠A3A2A4=24°=4×6°，
......
∴当得到第m条线段时：∠AmAm-1Am+1=(m+1)×6°，
∵直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了，
∴∠AmAm-1Am+1≤90°，
∴(m+1)×6°≤90°，
解得：m≤14，
∴m=14，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质、三角形外角性质求出∠A1AA2=2×6°，∠A2A1A3=3×6°，∠A3A2A4=4×6°，......，从而得∠AmAm-1Am+1=(m+1)×6°，然后由“直到得到第m条线段后就不能再作出符合要求的线段了”得(m+1)×6°≤90°，解不等式求出m的取值范围，即可求解.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·浙江期末）如图，平分．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴∠EDA=∠DAF，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=30°，
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作，取DE的中点K，连接MK，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DM=a，证由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠DAE=∠ADE，由等角对等边得AE=DE=2a，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得KM=DK=DM=a，由边相等的三角形是等边三角形得△DKM为等边三角形，则∠MDK=60°，由直角三角形的量锐角互余得∠DEM=30°，由二直线平行，同位角相等得∠BAC=∠DEM=30°，从而根据角平分线定义得出答案.
12．（2023八上·桐乡市月考）如图，中，，，垂直平分分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴DP+CP=DP+AP，
∵点D为BC上一动点，
∴当AD⊥BC时，DP+AP有最小值，即此时DP+CP有最小值，
过作于，交于，如图，
∵，BC=10，
∴，
解得：，
的最小值是5，
故答案为：5．
【分析】根据垂直平分线的性质得AP=CP，从而有DP+CP=DP+AP，进而得当AD⊥BC时，DP+AP有最小值，即此时DP+CP有最小值，接下来过作于，交于，根据三角形的面积公式求出的长，即可得的长为的最小值.
13．（2024八上·海曙期末）下列命题：①若a2＝b，则a＝；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①a2＝b，则的逆命题是：若，则a2＝b，是真命题；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是：到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
③全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，是假命题.
④等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：①②④.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可.
14．（2024八上·武义期末）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得：
故答案为：24.
【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可.
15．（2024八上·柯桥月考）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF．
如图①当时，S△DEF＝1﹣3；
如图②当时，S△DEF＝1﹣3；
如图③当时，S△DEF＝1﹣3；
…
直接写出，当时，S△DEF＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图①，当时，
如图②，当时，
如图③，当时，
∴当时，
∴当时，
故答案为：.
【分析】根据题意发现并总结出规律：当时，进而把d代入计算即可.
16．（2024八上·瑞安期中）沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝　 　cm．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝　 　cm．
【答案】 ；
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：①∵∠CAB=90°，AC=20cm，CD=10cm，BD=40cm，
∴BC=BD-CD=40-10=30cm，
∴在Rt△ABC中，；
②如图，延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，
∵AC∥ED，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=30°，
∴∠DFB=30°，
∵AC=20cm，∠CGA=90°，
∴CG=10cm，，
∵BC=30cm，CG=10cm，∠CGB=90°，
∴，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据勾股定理可以解答本题；
(2)延长DE交AB于点F，作CG⊥AB于点G，再由勾股定理可知AG，BG的长，从而可以解答本题.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·吴兴期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
（1）在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
（2）在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
（3）在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；利用轴对称设计图案；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-等腰（等边）三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形叫等腰三角形”并结合网格图的特征找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）根据等腰三角形的定义“有两边相等的三角形叫等腰三角形”并结合网格图的特征找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A'，连接BA'，交MN于P，P点即为所求.
（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
18．（2024八上·吴兴月考）如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
（1）求证： △BCE≌△CAD；
（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
【答案】【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）DE= AD-BE.
（3）DE= BE-AD，理由如下：
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CD-CE=BE-AD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE.
【分析】（1）结合题意利用同角的余角相等得到，然后利用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得出结论；
（3）结合题意利用同角的余角相等得到，再证△BCE≌△CAD，AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得结论.
19．（2025八上·滨江期末）为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问题 如何测量墙体是否与地面垂直？
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
测量示意图
（1）第一、二小组的方案可行吗 如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理解题即可；
利用，即可得到，，然后利用三角形内角和定理可得解题即可；
以点为顶点得到等腰，然后利用三线合一定理得到，点是的中点，则解题即可．
（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
方案二、
证明：如下图所示，
，若，则，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线，，上分别取点，，，
放置绳子，，使，
用叠合法比较与的长度，
若，则墙体与地面垂直，即于点，
否则不垂直，
证明：，
是等腰三角形，
若，则是等腰三角形的中线，
根据等腰三角形性质可知，
即．
20．（2024八上·绍兴月考）在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接．
（1）在图1中，当点D在边上时，求证：；
（2）在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．
【答案】（1）（1）
解：如图1，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）（2）不成立，存在的数量关系为．理由：如图2，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）（3）存在的数量关系为；
如图3，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论．
（1）解：如图1，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）存在的数量关系为；
如图3，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2024八上·瑞安期中）
项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究．
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
素材三
解决问题
任务一 小明画出了锐角，则　　　．
任务二 小金画出了直角，计算的值，并写出过程．
任务三 小山画出了钝角，则．
【答案】答：任务一：；
解：任务二：∵，
∴；
由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
∴；
任务三：
【知识点】勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：任务一：∵，
∴，
∴；
故答案为：；
任务二：∵，
∴；
由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
∴；
任务三：如图，过H作交延长线于点M，
∵，
∴，
∴；
由勾股定理得：；
设，则，；
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】任务一：由周长可得，再利用正方形面积公式计算即可；
任务二：由周长可得，再利用勾股定理求出，再利用正方形面积公式计算即可；
任务三：由于，则可过作的高，则由三角形的外角性质可得，再由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可得，再由勾股定理可得；又由周长知，则在中应用勾股定理可得，再利用正方形面积公式计算即可．
22．（2023八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（　　）
③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（　　）
（2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线．
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．
【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（3）①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
【分析】（1）①根据全等三角形的性质即可判断；②根据题意可以写出三对等角三角形可判断②错误；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，根据等角三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，则有，然后根据等角三角形的定义即可证明；
（3）分类讨论：当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，等腰三角形的性质、等角分割线定义和三角形外角和求得；
（1）解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）解：①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
23．（2024八上·拱墅期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ．
【初步运用】
（2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值．
【答案】（1）和，
（2），
证明：在和中，，，，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，连接，交于，设、交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中，，，，、、三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
图中与线段相等的线段是和，，
故答案为：和，.
【分析】(1)利用已知可证得点B、D、E三点共线，同时可求出∠ADB、∠CBD的度数；利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，∠AEC=∠ADB=105°，再证明∠CBE=∠BEC，利用等角对等边可证得CE=BC，据此可证得结论.
(2)利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用可证，然后根据全等三角形的性质可证得结论.
(3)连接，交于，设、交于，易证，利用SAS可证得△AEC≌△BED，利用全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后利用勾股定理可求出的值.
24．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
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