第二章《特殊三角形》培优卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·嵊州期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定逐项分析判断即可．
2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB，交BC于点D，OE∥AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有( ).
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，是等腰三角形，
∵等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO=30°，
∴OA=OB，OB=OC，OA=OC，
∴是等腰三角形，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO=30°，∠ODE=∠ABC=60°，∠COE=∠ACO=30°，∠OED=∠BCA=60°，
∴∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO，
∴BD=OD，OD=OE，OE=CE，
∴是等腰三角形，
∴图中等腰三角形共有7个，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、角平分线的定义得是等腰三角形，∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO，于是判断出是等腰三角形，然后由平行线的性质得∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO，从而判断出是等腰三角形，据此即可求解.
3．（2024八上·松原期末）如图，在中， 点M，点N为AC边上的两点， ，， ND⊥BC于点D，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，
∴∠AMB=90°，
∵∠A=70°，
∴∠ABM=90°-∠A=20°，
∵AM=NM，
∴BM是AN的垂直平分线，
∴AB=BN，
∴∠ABM=∠NBM=20°，
∵NM=ND，NM⊥BM，ND⊥BC，
∴BN平分∠MBD，
∴∠NBM=∠NBD=20°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABM-∠NBM-∠NBD=50°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠AMB=90°，再求出BM是AN的垂直平分线，最后根据角平分线求解即可。
4．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
5．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点E在射线上运动（）．
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】先根据题意，确定点E在射线CE上运动（瓜豆原理），再作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小（将军饮马模型），根据等边三角形的判定及性质即可得出答案.
6．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.57
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=7.5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7.5.
故答案选：B.
【分析】连接AD，由AB=AC，点D是BC边的中点可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论.
7．（2023八上·海曙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC=6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，交ED于点P.
∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，AP=PB，
∴△PBF的周长=PB+PF+BF=AP+PF+FB≥AF+BF.
∴当A、P、F三点共线时， △PBF的周长最小，为AF+FB.
∵点F为BC边的中点， AB=AC，
∴AF⊥BC，BF=BC=3.
∵S△ABC = BC×AF=24，BC=6，
∴AF=8.
∴AF+FB=8+3=11.
∴△PBF周长的最小值为11.
故答案为：C．
【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，然后计算即可求解．
8．（2023八上·永兴期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据角之间的关系可得∠ABD＝∠H，根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAD，则∠CDH＝∠H，即CD＝CH＝AC，再根据两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大，即可求出答案.
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
10．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个.
【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：周长为13， 边长为整数的等腰三角形 边长只能是：3，5，5；4，4，5；6，6，1；共3组.
故答案为：3
【分析】根据已知条件，利用三角形三边关系，结合边长是整数进行分析可得答案。
13．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∵，
∴设，则，
∵在长方形中，
∴，，，
∵将沿折叠，使得点C落在上，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，，
在中，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，设，，由折叠可得，，，，即可得到，则，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可．
14．（2024八上·温州期中）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为 dm.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为60°，∠BCA = 90°，
∴依题意得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形，
∵夹角为60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AB=×4=2dm，
∴
∴三角形ABC的面积为：
∴此三角形中斜边上的高应该为：
∴水深至少应为：
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，勾股定理，首先根据直角三角形的性质得出BC的长度，在通过勾股定理得出AC的长度，然后再根据三角形的面积求得三角形斜边上高的值，最后用童的高度减去斜边上的高，即为水的最大深度.
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．（2024八上·金华期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小.解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为.请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是AB的中点，是BC边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在AB上取一点，则的值最小值是 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）作点E关于直线BC的对称点E'，连接E'A，则E'A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E'A，作E'F⊥AC交AC的延长线于F，如图，
∴
∴PA+PE的最小值E'A的值为：
故答案为：.
故答案为：.
（2）作点C关于直线AB的对称点C'，作C'N⊥AC于N交AB于M，连接AC'，如图，
∴
∴为等边三角形，
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E'，连接E'A，则E'A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E'A，作E'F⊥AC交AC的延长线于F，根据勾股定理求E'A的长即可求解；
（2）作点C关于直线AB的对称点C'，作C'N⊥AC于N交AB于M，连接AC'，证明为等边三角形，进而即可求解.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2023八上·海曙月考）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．
【答案】（1）一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是平方倍三角形，理由如下：
，符合平方倍三角形的定义，
所以这个三角形是平方倍三角形；
（2）解：设该直角三角形三个边长从小到大依次为，
因为是直角三角形，
所以满足①，
又因为该三角形是平方倍三角形，
则②，
根据①②两个式子可得到，
则；
（3）解：设边为，
∵，，，为的中线，
∴，
∴，
又是平方倍三角形，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
所以的面积为或．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平方倍三角形的定义，通过计算进行判断即可；
（2）设该直角三角形三个边长从小到大依次为，根据勾股定理得①，根据 “平方倍三角形”得出②，然后得出，即可得出；
（3）设出来的边长为，根据直角三角形斜边中线的性质可得AB=2x，然后根据平方倍三角形的定义，分类可得出方程，解方程求得x的值，进一步即可得出的面积。
（1）解：一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是平方倍三角形，理由如下：
，符合平方倍三角形的定义，
所以这个三角形是平方倍三角形；
（2）解：设该直角三角形三个边长从小到大依次为，
因为是直角三角形，
所以满足①，
又因为该三角形是平方倍三角形，
则②，
根据①②两个式子可得到，
则；
（3）解：设边为，
∵，，，为的中线，
∴，
∴，
又是平方倍三角形，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
所以的面积为或．
18．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：（3）解：如图：当，时
∴
∴
∵
当时
，∠A=∠ADB
∵∠ADB=∠DBC＋∠C=48°
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当时，
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当，时，，，
=24°
∵ 最小的内角
∴此种情况不符合题意，舍去
综上所述，的度数为或或
【分析】（1）在上取一点，连接，使得，因此∠B=∠BAH=20°，∠AHC=40°，因为∠C=40°，因此∠C=∠AHC，故△ABH与△ACH均为等腰三角形.
（2）过点C作∠BCE=45°交直线AB于点E，过点E作DE⊥AB交直线AC于点D，CE和DE就是所求作的“三分线”，因为AB=AC，∠A=45°，所以∠B=∠ACB=67.5°，又因为∠BCE=45°，所以∠BEC=67.5°，因而CE=CB，∠ACE=22.5°，又因为DE⊥AB，∠A=45°，所以AE=DE，∠ADE=45°，因此∠CDE=135°，∠DEC=22.5°，因此DE=DC.
（3）根据题意，此题分四种情况讨论：
当，时，得出，∠A=∠ADB，根据三角形外角的性质得出：∠ADB=∠DBC＋∠C=48°，因此可得，再根据三角形内角和定理∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°，求出，从而求出的度数． 同理当，时，当时，当，时，按照，情况求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
19．（2024八上·嘉兴期中）根据以下素材，探索解决问题．
如何作出“倍角三角形”？
素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积．
项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
【答案】解：项目操作：如图所示，为“倍角三角形”；
项目探索：
∵，，
①当，，
过作的延长线于点，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当或时，与三角形内角和为矛盾，该种情形不存在；
∴面积为；
项目拓展：
和是倍角三角形．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴是倍角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是倍角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】项目操作：由等腰三角形的性质可得，则可作的角平分线交于点，则，由三角形内角和可得，则为“倍角三角形”；
项目探索：由于，则由“倍角三角形”的概念可分、或三种情况解答即可求解，如图对于，由三角形的内角和可得，
因此可作AB上的高CH，则为等腰直角三角形，由勾股定理求出CH即可；对于，则可得，由三角形内角和得，则与已知矛盾；对于，则由内角和定理可得，则与已知矛盾；
项目拓展：由角平分线的概念可得又已知是公共边相等，则可证明，则、，则等量代换可得，则，即是倍角三角形；再由可得，由内角和定理可得，则，即是倍角三角形．
20．（2023八上·杭州期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．
（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．
（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，
∴AC=BC=5.
∵AD=4， AD是腰BC的高线，
∴CD=3；
（2）证明：∵AC=BC，CE=BC，
∴CE=AC.
∴∠E=∠CAE，
∵∠B+∠CAB+∠E+∠CAE=180°，∠B=∠CAB，
∴∠CAE+∠CAB=90°，
即AE⊥AB.
（3）解：
∵
∴=
设CD=18k，CE=25k.
∴DE=CE－CD=7k.
∵AD⊥CE，DE≠CD，
∴AE≠AC.
当CE=CA时，△ACE为等腰三角形，
∵CA=CB，
∴CE=CB.
此时C为EB中点，.
当AE=EC=25k时，△ACE也是等腰三角形，
∵DE=7k，CD=18k，
∴AD=24k，
∴AC=BC=30k，
∴BE=55k，
∴
∴或者.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得AC=BC，利用勾股定理即可求得CD长；
（2）由AC=BC，CE=BC得CE=AC，于是得∠E=∠CAE，结合∠CAB＝∠CBA，用三角形内角和定理即可得∠CAE+∠CAB=90°，结论可证；
（3）根据 得DC：EC=18：25，可设出DC和EC，然后分AE=AC，CE=CA，AE=EC三种情况分别讨论存在性以及求的值.
21．（2023八上·海曙期中）阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ 用x、y的式子表示）
W2＝ （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【答案】（1）解：①3x+7y；6x+8y；
②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W1﹣W2＞0，
∴W1＞W2，即张丽同学用的纸面积最大．
（2）解：①x+3；
②；
③∵＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
分三种情况：
①当＞0时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；
③ 当＝0时，6x﹣39＝0，解得x=6.5；
③ 当＜0时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5；
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，当x＝46.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一．
【知识点】勾股定理的应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： (1)①根据题意可得， W1＝3x+7y， W2＝ 6x+8y.
故答案为：3x+7y，6x+8y
(2)①根据题意可得， a1＝（x+3 ）km.
故答案为：x+3.
②如图，作BM⊥AC交BP的延长线于点A'.
则AM=4-3=1km.
在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM2=x2-1.
在Rt△A'BM中，由勾股定理，得A'B=
∴a2＝AP+BP=A'B=.
故答案为：.
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；
②利用作差法计算即可.
(2)①根据题意列出代数式即可；
②作BM⊥AC交BP的延长线于点A'，然后根据勾股定理求解即可.
③用x表示，然后分三种情况讨论即可.
22．（2024八上·路桥期中）在中，，；于点D，点E，F分别在，上，且，与交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时，
①求证：；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
，，
，
∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，
∴∠BAF=∠BCD，
在△ADN和△CDB中，
，
②；
（2）解：①如图1，
②的值不变，理由如下：
过点作分别交，于点G，M，如图2，所示：
∵EM//AB，，，
∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，
△CGE是等腰直角三角形，
∴EG=CG.
，CD⊥ME，
，
∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG，
∴∠MEF=∠MCG，
，
∴EN=CM=2CF，
．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵，
，
即：.
故答案为：；
【分析】（1）①由，，可证明是等腰直角三角形，利用“角边角”即可证明；
（1）①利用全等三角形的性质得出，进而可得结论；
（2）①按题意作图即可；
（2）②过点作分别交，于点，，利用平行线的性质可得CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，再参考第（1）小题的证明过程，即可得到结论.
（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
在中，
，，
，
，，
，
又，
，
②∵，
，
即：；
（2）①如图1，
②的值不变，理由如下：
如图2，过点作分别交，于点，，
，，，
∵于点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
在与中
，
．
．
23．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
24．（2024八上·瑞安期中）勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.
【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？
【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：
方案 方案一 方案二
图形
备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD
BC=a，AC=b，AB=c
【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.
方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形
方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED
方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲
综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.
【方法应用】
根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.
提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.
【答案】解：
【方法应用】
方式①
S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD
方式②
S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ，
∴AE=BC=a，AD=AC=b，
∴，
，
方式②：由①可知，ED=AB=c，
∴，
故答案为：，，.
【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论；
【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论.
1 / 1第二章《特殊三角形》培优卷—浙教版（2024）数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·嵊州期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB，交BC于点D，OE∥AC，交BC于点E.图中等腰三角形共有( ).
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
3．（2024八上·松原期末）如图，在中， 点M，点N为AC边上的两点， ，， ND⊥BC于点D，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是（ ）
A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF
5．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.57
7．（2023八上·海曙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC=6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
8．（2023八上·永兴期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
10．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11． 如图，点A，C，F，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CD=CE，EF=EG，则∠F= 度.
12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个.
13．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ．
14．（2024八上·温州期中）如图，将圆桶中的水倒入一个直径为4dm，高为5dm的圆口容器中，放置时圆桶顶部与水平线的夹角为60°，且容器中的水面不能与圆桶接触，则该容器中水的深度至多为 dm.
15．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
16．（2024八上·金华期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小.解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为.请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是AB的中点，是BC边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在AB上取一点，则的值最小值是 .
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2023八上·海曙月考）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．
18．（2024八上·海曙开学考）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数．
19．（2024八上·嘉兴期中）根据以下素材，探索解决问题．
如何作出“倍角三角形”？
素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作 如图，中，，，请将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索 若是倍角三角形，，，，求面积．
项目拓展 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，点在延长线上，若，，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
20．（2023八上·杭州期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．
（1）当AD＝4，BC＝5时，求CD的长．
（2）当BC＝CE时，求证：AE⊥AB．
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．
21．（2023八上·海曙期中）阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1＝ 用x、y的式子表示）
W2＝ （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．
①在方案一中，a1＝ km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2＝ km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
22．（2024八上·路桥期中）在中，，；于点D，点E，F分别在，上，且，与交于点N．
（1）如图1，当点E与点A重合时，
①求证：；
②直接写出的值．
（2）如图2（图在答题卷上），当点E在边上时，
①依题意补全图2；
②的值是否发生变化，请说明理由．
23．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
24．（2024八上·瑞安期中）勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.
【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？
【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：
方案 方案一 方案二
图形
备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD
BC=a，AC=b，AB=c
【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.
方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形
方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED
方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲
综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.
【方法应用】
根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.
提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意；
D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定逐项分析判断即可．
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，是等腰三角形，
∵等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO=30°，
∴OA=OB，OB=OC，OA=OC，
∴是等腰三角形，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO=30°，∠ODE=∠ABC=60°，∠COE=∠ACO=30°，∠OED=∠BCA=60°，
∴∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO，
∴BD=OD，OD=OE，OE=CE，
∴是等腰三角形，
∴图中等腰三角形共有7个，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、角平分线的定义得是等腰三角形，∠ABO=∠OBC=∠BCO=∠ACO=∠CAO=∠BAO，于是判断出是等腰三角形，然后由平行线的性质得∠BOD=∠OBC，∠ODE=∠OED，∠COE=∠BCO，从而判断出是等腰三角形，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，
∴∠AMB=90°，
∵∠A=70°，
∴∠ABM=90°-∠A=20°，
∵AM=NM，
∴BM是AN的垂直平分线，
∴AB=BN，
∴∠ABM=∠NBM=20°，
∵NM=ND，NM⊥BM，ND⊥BC，
∴BN平分∠MBD，
∴∠NBM=∠NBD=20°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABM-∠NBM-∠NBD=50°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠AMB=90°，再求出BM是AN的垂直平分线，最后根据角平分线求解即可。
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图，
∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC，
OH⊥DE，
∴OG=OH.
在Rt△DGO和Rt△DHO中，
，
∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)，
∴DG=DH，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，
∵OG⊥AC， OM⊥BC，
∴OG=OM，
∴OH=OM.
在Rt△CGO和Rt△CMO中，
，
∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)，
∴CG=CM.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CGM为等边三角形，
∴CG=CM = MG.
∵O为正△ABC的内心，
在Rt△EHO和Rt△EMO中，
，
∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)，
∴EH=EM，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE
=CD+DH+EH+CE
=CD+DG+EM+CE
=CG+CM
=2CG
= AC.
∴△ABC的周长
=AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长，
∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可.
故答案为：A.
【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点E在射线上运动（）．
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】先根据题意，确定点E在射线CE上运动（瓜豆原理），再作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小（将军饮马模型），根据等边三角形的判定及性质即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD，AM，
∵AB=AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=7.5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，
∴CM+DM的最小值为7.5.
故答案选：B.
【分析】连接AD，由AB=AC，点D是BC边的中点可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AF，交ED于点P.
∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，AP=PB，
∴△PBF的周长=PB+PF+BF=AP+PF+FB≥AF+BF.
∴当A、P、F三点共线时， △PBF的周长最小，为AF+FB.
∵点F为BC边的中点， AB=AC，
∴AF⊥BC，BF=BC=3.
∵S△ABC = BC×AF=24，BC=6，
∴AF=8.
∴AF+FB=8+3=11.
∴△PBF周长的最小值为11.
故答案为：C．
【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，然后计算即可求解．
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据角之间的关系可得∠ABD＝∠H，根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAD，则∠CDH＝∠H，即CD＝CH＝AC，再根据两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大，即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
11．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： △ABC是等边三角形
CD=CE
EF=EG
故答案为：15
【分析】根据等边三角形的性质可得根据等腰三角形底角相等即可得出的度数。
12．【答案】3
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：周长为13， 边长为整数的等腰三角形 边长只能是：3，5，5；4，4，5；6，6，1；共3组.
故答案为：3
【分析】根据已知条件，利用三角形三边关系，结合边长是整数进行分析可得答案。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∵，
∴设，则，
∵在长方形中，
∴，，，
∵将沿折叠，使得点C落在上，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，，
在中，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，设，，由折叠可得，，，，即可得到，则，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为60°，∠BCA = 90°，
∴依题意得△ABC是一个斜边为4dm的直角三角形，
∵夹角为60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AB=×4=2dm，
∴
∴三角形ABC的面积为：
∴此三角形中斜边上的高应该为：
∴水深至少应为：
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，勾股定理，首先根据直角三角形的性质得出BC的长度，在通过勾股定理得出AC的长度，然后再根据三角形的面积求得三角形斜边上高的值，最后用童的高度减去斜边上的高，即为水的最大深度.
15．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）作点E关于直线BC的对称点E'，连接E'A，则E'A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E'A，作E'F⊥AC交AC的延长线于F，如图，
∴
∴PA+PE的最小值E'A的值为：
故答案为：.
故答案为：.
（2）作点C关于直线AB的对称点C'，作C'N⊥AC于N交AB于M，连接AC'，如图，
∴
∴为等边三角形，
∴的最小值为
故答案为：.
【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E'，连接E'A，则E'A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E'A，作E'F⊥AC交AC的延长线于F，根据勾股定理求E'A的长即可求解；
（2）作点C关于直线AB的对称点C'，作C'N⊥AC于N交AB于M，连接AC'，证明为等边三角形，进而即可求解.
17．【答案】（1）一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是平方倍三角形，理由如下：
，符合平方倍三角形的定义，
所以这个三角形是平方倍三角形；
（2）解：设该直角三角形三个边长从小到大依次为，
因为是直角三角形，
所以满足①，
又因为该三角形是平方倍三角形，
则②，
根据①②两个式子可得到，
则；
（3）解：设边为，
∵，，，为的中线，
∴，
∴，
又是平方倍三角形，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
所以的面积为或．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平方倍三角形的定义，通过计算进行判断即可；
（2）设该直角三角形三个边长从小到大依次为，根据勾股定理得①，根据 “平方倍三角形”得出②，然后得出，即可得出；
（3）设出来的边长为，根据直角三角形斜边中线的性质可得AB=2x，然后根据平方倍三角形的定义，分类可得出方程，解方程求得x的值，进一步即可得出的面积。
（1）解：一个三角形的三边长分别是4，和3，这个三角形是平方倍三角形，理由如下：
，符合平方倍三角形的定义，
所以这个三角形是平方倍三角形；
（2）解：设该直角三角形三个边长从小到大依次为，
因为是直角三角形，
所以满足①，
又因为该三角形是平方倍三角形，
则②，
根据①②两个式子可得到，
则；
（3）解：设边为，
∵，，，为的中线，
∴，
∴，
又是平方倍三角形，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
当，此时，
∴，
∴，
此时的面积为，
所以的面积为或．
18．【答案】（1）解：如图即为所求：
∴AH为所画的“二分线”.
（2）解：如图即为所求：
∴DE，EC为所画的“三分线”.
（3）解：的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：（3）解：如图：当，时
∴
∴
∵
当时
，∠A=∠ADB
∵∠ADB=∠DBC＋∠C=48°
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当时，
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°
当，时，，，
=24°
∵ 最小的内角
∴此种情况不符合题意，舍去
综上所述，的度数为或或
【分析】（1）在上取一点，连接，使得，因此∠B=∠BAH=20°，∠AHC=40°，因为∠C=40°，因此∠C=∠AHC，故△ABH与△ACH均为等腰三角形.
（2）过点C作∠BCE=45°交直线AB于点E，过点E作DE⊥AB交直线AC于点D，CE和DE就是所求作的“三分线”，因为AB=AC，∠A=45°，所以∠B=∠ACB=67.5°，又因为∠BCE=45°，所以∠BEC=67.5°，因而CE=CB，∠ACE=22.5°，又因为DE⊥AB，∠A=45°，所以AE=DE，∠ADE=45°，因此∠CDE=135°，∠DEC=22.5°，因此DE=DC.
（3）根据题意，此题分四种情况讨论：
当，时，得出，∠A=∠ADB，根据三角形外角的性质得出：∠ADB=∠DBC＋∠C=48°，因此可得，再根据三角形内角和定理∠ABD＋∠A＋∠ADB=180°，求出，从而求出的度数． 同理当，时，当时，当，时，按照，情况求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
19．【答案】解：项目操作：如图所示，为“倍角三角形”；
项目探索：
∵，，
①当，，
过作的延长线于点，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当或时，与三角形内角和为矛盾，该种情形不存在；
∴面积为；
项目拓展：
和是倍角三角形．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴是倍角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是倍角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】项目操作：由等腰三角形的性质可得，则可作的角平分线交于点，则，由三角形内角和可得，则为“倍角三角形”；
项目探索：由于，则由“倍角三角形”的概念可分、或三种情况解答即可求解，如图对于，由三角形的内角和可得，
因此可作AB上的高CH，则为等腰直角三角形，由勾股定理求出CH即可；对于，则可得，由三角形内角和得，则与已知矛盾；对于，则由内角和定理可得，则与已知矛盾；
项目拓展：由角平分线的概念可得又已知是公共边相等，则可证明，则、，则等量代换可得，则，即是倍角三角形；再由可得，由内角和定理可得，则，即是倍角三角形．
20．【答案】（1）解：∵ 等腰△ABC中，∠CAB＝∠CBA，
∴AC=BC=5.
∵AD=4， AD是腰BC的高线，
∴CD=3；
（2）证明：∵AC=BC，CE=BC，
∴CE=AC.
∴∠E=∠CAE，
∵∠B+∠CAB+∠E+∠CAE=180°，∠B=∠CAB，
∴∠CAE+∠CAB=90°，
即AE⊥AB.
（3）解：
∵
∴=
设CD=18k，CE=25k.
∴DE=CE－CD=7k.
∵AD⊥CE，DE≠CD，
∴AE≠AC.
当CE=CA时，△ACE为等腰三角形，
∵CA=CB，
∴CE=CB.
此时C为EB中点，.
当AE=EC=25k时，△ACE也是等腰三角形，
∵DE=7k，CD=18k，
∴AD=24k，
∴AC=BC=30k，
∴BE=55k，
∴
∴或者.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得AC=BC，利用勾股定理即可求得CD长；
（2）由AC=BC，CE=BC得CE=AC，于是得∠E=∠CAE，结合∠CAB＝∠CBA，用三角形内角和定理即可得∠CAE+∠CAB=90°，结论可证；
（3）根据 得DC：EC=18：25，可设出DC和EC，然后分AE=AC，CE=CA，AE=EC三种情况分别讨论存在性以及求的值.
21．【答案】（1）解：①3x+7y；6x+8y；
②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W1﹣W2＞0，
∴W1＞W2，即张丽同学用的纸面积最大．
（2）解：①x+3；
②；
③∵＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
分三种情况：
①当＞0时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；
③ 当＝0时，6x﹣39＝0，解得x=6.5；
③ 当＜0时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5；
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，当x＝46.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一．
【知识点】勾股定理的应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： (1)①根据题意可得， W1＝3x+7y， W2＝ 6x+8y.
故答案为：3x+7y，6x+8y
(2)①根据题意可得， a1＝（x+3 ）km.
故答案为：x+3.
②如图，作BM⊥AC交BP的延长线于点A'.
则AM=4-3=1km.
在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM2=x2-1.
在Rt△A'BM中，由勾股定理，得A'B=
∴a2＝AP+BP=A'B=.
故答案为：.
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；
②利用作差法计算即可.
(2)①根据题意列出代数式即可；
②作BM⊥AC交BP的延长线于点A'，然后根据勾股定理求解即可.
③用x表示，然后分三种情况讨论即可.
22．【答案】（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
∴AD=CD.
，，
，
∴∠B+∠BAF=90°=∠B+∠BCD，
∴∠BAF=∠BCD，
在△ADN和△CDB中，
，
②；
（2）解：①如图1，
②的值不变，理由如下：
过点作分别交，于点G，M，如图2，所示：
∵EM//AB，，，
∴CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，
△CGE是等腰直角三角形，
∴EG=CG.
，CD⊥ME，
，
∴∠EMF+∠MEF=90°=∠EMF+∠MCG，
∴∠MEF=∠MCG，
，
∴EN=CM=2CF，
．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）②∵，
，
即：.
故答案为：；
【分析】（1）①由，，可证明是等腰直角三角形，利用“角边角”即可证明；
（1）①利用全等三角形的性质得出，进而可得结论；
（2）①按题意作图即可；
（2）②过点作分别交，于点，，利用平行线的性质可得CD⊥ME，∠MEC=∠BAC=45°，再参考第（1）小题的证明过程，即可得到结论.
（1）①证明：，，
是等腰直角三角形，
在中，
，，
，
，，
，
又，
，
②∵，
，
即：；
（2）①如图1，
②的值不变，理由如下：
如图2，过点作分别交，于点，，
，，，
∵于点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
在与中
，
．
．
23．【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
24．【答案】解：
【方法应用】
方式①
S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD
方式②
S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ，
∴AE=BC=a，AD=AC=b，
∴，
，
方式②：由①可知，ED=AB=c，
∴，
故答案为：，，.
【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论；
【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论.
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