第二章《有理数的运算》提升卷—浙教版（2024）数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七上·柯桥月考）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A．1﹣4+5﹣4＝1﹣4+4﹣5
B．
C．1﹣2+3﹣4＝2﹣1+4﹣3
D．4.5﹣1.7﹣2.5+1.8＝4.5﹣2.5+1.8﹣1.7
2．（2024七上·余杭月考）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·钱塘月考）如图，是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（ ）
填空题（评分标准：每道题5分） （1）；（2）；（3）；（4）
A．20分 B．15分 C．10分 D．5分
4．（2025七上·海曙期末）下列各数： ，在数轴上所对应的点在原点右边的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024七上·瑞安期中）若，，且，那么的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或8 D．或8
6．（2024七上·萧山月考）若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1或5 D．或
7．（2024七上·瑞安期中）若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（ ）
A． B．2 C． D．10
8．2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是( )
A．0 B．1
9．我国古代《易经》一书记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中，表示162颗的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·鹿城期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断2025年为农历（ ）年．
A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2023七上·龙湾期中）如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ．
12．（2025七上·海曙期末）如图①，底面积为30cm2的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”下方实心圆柱的底面积为12cm2.现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示，则图中a的值为 .
13．（2024七上·江北开学考）六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
14．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
15．（2024七上·诸暨月考）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是
16．（2024七上·浙江期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则 ， ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·江北开学考）用合理灵活的方法计算．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
18．（2024七上·乐清月考）阅读下列材料：阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
19．（2024七上·瓯海期中）如图是重庆市地铁一号线部分站点示意图．某天，小川参加地铁志愿者服务活动，从两路口出发，最后在站结束服务活动．如果规定向沙坪坝方向为正，小川当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位；站）：，．
（1）请通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离约为1.8千米，求这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
20．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
21．一辆公共汽车从始发站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站.下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数.
停靠站 始发站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站
上、下 车人数 +21 -3； +8 -4； +2 0； +4 -7； +1 -9； +6 -7； 0 -12
（1）中间第4站上车的人数是 ，下车的人数是 ；
（2）途中的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）公共汽车离开中间第2站时车上的人数为 ，离开中间第4 站时车上的人数为 ；
（4）从表中你还能知道什么信息
22．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
23．（2024七上·瑞安期中）根据下列素材，探索完成任务：
哪种计算工资方式对工人更有利？
素材 1 玩具厂定额每个工人每天生产玩具车20辆，某工人每天生产的玩具车数量与计划定额有出入，如表是该工人某周每天生产的情况(以20辆为标准，超产记为正，减产记为负) 时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天数量(辆)
素材 2 该工厂计算工资有两种方式： 方式A：每生产一辆玩具车报酬为10元； 方式B：实行日计件工资制，每生产一辆报酬9元。 若一天超出定额20辆，则超过部分另外加12元/辆。 若一天不足定额20辆，则根据不足数量扣5元/辆。
问题解决
任务 1 本周该工人最多一天比最少一天多生产 ▲ 辆玩具车。
任务 2 本周该工人实际生产玩具车多少辆？
任务 3 请判断哪种计算工资的方式对该工人更有利，通过计算说明。
24．（2024七上·临平月考）根据以下素材，探究完成任务．
素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数的最大整数是．
素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：
，
进行3次操作之后开始变为固定值．
（1）任务1． ； ．
（2）任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数．
（3）任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、 ，则本项不符合题意；
C、，则本项不符合题意；
D、，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理数加法运算律中的交换律逐项分析即可求解.
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：，或，
∴，或，
在计算的时候，可以利用分配律，这时运算简便，因此在简便运算时，把变形成最合适的形式是 。
故答案为：B．
【分析】首先对括号里面的进行变形，可以变形为两种形式，即或，然后观察即可发现，运算简便。
3．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1），故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3），故（3）正确；
（4），故（4）正确；
∴四道填空题全部正确，
由评分标准可知每题5分，
∴他最后得分是20分，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的乘方运算法则逐项计算，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解： 在数轴上所对应的点在原点的右边，
在数轴上所对应的点在原点的左边，
在数轴上所对应的点在原点的左边，
0在数轴上所对应的点在原点，
即在数轴上所对应的点在原点右边的有1个，
故答案为： A.
【分析】先根据有理数的乘方进行计算，再判断即可.
5．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，；
∵，
∴，；
当，时，；
当，时，；
综上，a－b的值为2或8；
故答案为：C．
【分析】由题意得，，再根据可确定出a与b的值，然后代入求值即可．
6．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
或，
当时，则，
当，则，
综上，的值为，
故答案为：B．
【分析】首先根据，可以分析得到或，然后分两种情况代入化简，最后计算即可。
7．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据题中的新定义运算求解即可．
8．【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：第一式： 2024减去它的 =；
第二式： 2024减去它的 ，再减去余下的 =；
第三式： 2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的
=；
…
以此类推
第2023式：2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的
=.
故答案为：B.
【分析】先求出前3个式子，从中找出规律，再利用规律求解.
9．【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A.5+3×7+1×72=75；
B.1+3×7+2×72=120；
C.2+3×7+2×72=121；
D.1+2×7+3×72=162；
故答案为： D.
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，然后把它们相加即可.
10．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：天干为：，
地支为：，
∴2025年为农历乙巳年，
故答案为：A．
【分析】根据题意先列式计算，再根据表格中的信息即可得解．
11．【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意得当抽到和时，m的取值最小，
∴m的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据3张卡片上各数之积最小为，当抽到和时，m的取值最小，即可得到答案.
12．【答案】24.5
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：
注满水所需时间为：
故答案为： 24.5.
【分析】
由图象可知圆柱容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为9cm，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s， 高度为6cm，可先求出注水的速度为 ，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可.
13．【答案】5
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件可知：
∵ 参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人
∴ 至少一项比赛的总人数应该是24 + 27 = 51人 ，
∵ 六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛 ，
∴ 乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 ：51-46=5；
故答案为：
【分析】根据集合以及交集的定义，根据已知条件， 其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人 ，两数之和>实际参加的总人数，一定会有即参加 乒乓球和羽毛球比赛的人，即可计算出.
14．【答案】256
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…
∴第8次后可拉出根，
故答案为：256
【分析】根据“第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根.......”结合题意根据有理数的乘方即可求解。
15．【答案】12
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ 要使三角形的每条边上的三个数的和S最大，
∴ 将最大的三个数4，5，6写在三个顶点，如图，
由图可知，．
故答案为：12.
【分析】根据题意可知三角形的三个顶点的数字是这6个数中最大的三个数，再将其他数键入，即可求得.
16．【答案】2；1
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意，得：，，，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：2，1．
【分析】根据题意得到，，，由于是1到9的整数，且5×9=45可得，从而得，，，然后根据，，求解即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：∵
∴
（6）解：
（7）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数乘法运算律求解即可；
（2）根据有理数的运算法则，先算括号里面的，再算括号外面的即可；
（3）（7）根据有理数的加法法则求解即可；
（4）（6）根据有理数混合运算法则即可求解；
（5）根据用倒数法求解即可；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：∵
∴；
（6）解：
；
（7）解：
18．【答案】解：
，
∴．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的除法法则
【解析】【分析】先计算，把除法变成乘法后，利用乘法分配律求解，再把的结果取倒数即可答案．
19．【答案】（1）解：，
∵从两路口出发，规定向沙坪坝方向为正，经过2站，
∴站是是大坪站；
答：站是是大坪站.
（2）解：
（千米）．
答：这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是千米．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法，求出乘车站数的和，再结合示意图即可求解；
（2）根据绝对值的意义和有理数的加法可得一共的站数，再根据总路程=站数×平均距离即可求解.
（1）解：
∵从两路口出发，规定向沙坪坝方向为正，经过2站，
∴站是是大坪站；
答：站是是大坪站
（2）解：
（千米）．
答：这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是千米．
20．【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
21．【答案】（1）1；7
（2）6；3
（3）24；22
（4）答案不唯一，
如：从表中可以知道，途中的6个站中，第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
中间第4站上车的人数是1人，下车人数是7人
故答案为：1；7
（2）由题意可得：
途中的6个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车
故答案为6；3
（3）由题意可得：
公共汽车离开中间第2站时车上的人数为21-3+8-4+2=24人
离开中间第4 站时车上的人数为21-3+8-4+2+4+0-7+1=22人
故答案为：24；22
【分析】（1）根据表中数据即可求出答案.
（2）根据表中数据即可求出答案.
（3）结合有理数的加减计算即可求出答案.
（4）根据题意即可求出答案.
22．【答案】（1）；-2
（2）；
（3）解：
=1-3
=-2.
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
故答案为：，-2；
（2）
；
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运算法则计算即可；
（3）结合（2）中的方法，代入化简，然后计算，即可求解.
23．【答案】解：任务1：生产最多一天为6辆，最少一天为-5辆，故6-(-5)=11.
任务2：（辆）
答：本周该工人实际生产玩具车150辆。
任务3：
方式A：（元）
方式B：（元）
因为1500<1519，所以选择方式B对该工人更有利。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务1：找到生产最多和最少的辆数，相减即为多生产的数量；
任务2：20辆为基准，20×7再加上相对生产的数量即可得总共的生产数量；
任务3：分别计算方式A和方式B的工资额，即可得方式B对工人更有利.
24．【答案】（1）1；
（2）解：因为，
，
，
…
…
，
所以进行3次操作，开始变为固定值取到的最大数和最小数分别是和
（3）解：因为，
，
，
，
所以整数n进行3次操作，开始变为固定值0，n取到的最大数和最小数分别是26和9，
所以9+10+...+26 =315.
【知识点】有理数的除法法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：1；-4.
【分析】（1）按照素材1求出不超过的和不超过最大整数即可.
（2）由题意可知n是一个负整数，经过三次操作后变为-1，说明n在第三次操作后应该在-1和0之间。因此n的最大值为-10，最小值为-27.
（3）经过三次操作后变为0，说明初始值n在第三次操作后介于0和1之间。因此，符合条件的n为9， 10， 11， 12， 13， 14， 15，16，17，18，19，20，21 ，22，23， 24，25，26，它们的和为315.
1 / 1第二章《有理数的运算》提升卷—浙教版（2024）数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七上·柯桥月考）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A．1﹣4+5﹣4＝1﹣4+4﹣5
B．
C．1﹣2+3﹣4＝2﹣1+4﹣3
D．4.5﹣1.7﹣2.5+1.8＝4.5﹣2.5+1.8﹣1.7
【答案】D
【知识点】有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、 ，则本项不符合题意；
C、，则本项不符合题意；
D、，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理数加法运算律中的交换律逐项分析即可求解.
2．（2024七上·余杭月考）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：，或，
∴，或，
在计算的时候，可以利用分配律，这时运算简便，因此在简便运算时，把变形成最合适的形式是 。
故答案为：B．
【分析】首先对括号里面的进行变形，可以变形为两种形式，即或，然后观察即可发现，运算简便。
3．（2024七上·钱塘月考）如图，是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（ ）
填空题（评分标准：每道题5分） （1）；（2）；（3）；（4）
A．20分 B．15分 C．10分 D．5分
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1），故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3），故（3）正确；
（4），故（4）正确；
∴四道填空题全部正确，
由评分标准可知每题5分，
∴他最后得分是20分，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的乘方运算法则逐项计算，即可求解．
4．（2025七上·海曙期末）下列各数： ，在数轴上所对应的点在原点右边的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解： 在数轴上所对应的点在原点的右边，
在数轴上所对应的点在原点的左边，
在数轴上所对应的点在原点的左边，
0在数轴上所对应的点在原点，
即在数轴上所对应的点在原点右边的有1个，
故答案为： A.
【分析】先根据有理数的乘方进行计算，再判断即可.
5．（2024七上·瑞安期中）若，，且，那么的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或8 D．或8
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，；
∵，
∴，；
当，时，；
当，时，；
综上，a－b的值为2或8；
故答案为：C．
【分析】由题意得，，再根据可确定出a与b的值，然后代入求值即可．
6．（2024七上·萧山月考）若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1或5 D．或
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：，
或，
当时，则，
当，则，
综上，的值为，
故答案为：B．
【分析】首先根据，可以分析得到或，然后分两种情况代入化简，最后计算即可。
7．（2024七上·瑞安期中）若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据题中的新定义运算求解即可．
8．2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是( )
A．0 B．1
【答案】B
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：第一式： 2024减去它的 =；
第二式： 2024减去它的 ，再减去余下的 =；
第三式： 2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的
=；
…
以此类推
第2023式：2024减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，一直减到余下的
=.
故答案为：B.
【分析】先求出前3个式子，从中找出规律，再利用规律求解.
9．我国古代《易经》一书记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中，表示162颗的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A.5+3×7+1×72=75；
B.1+3×7+2×72=120；
C.2+3×7+2×72=121；
D.1+2×7+3×72=162；
故答案为： D.
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，然后把它们相加即可.
10．（2024七上·鹿城期中）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断2025年为农历（ ）年．
A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：天干为：，
地支为：，
∴2025年为农历乙巳年，
故答案为：A．
【分析】根据题意先列式计算，再根据表格中的信息即可得解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2023七上·龙湾期中）如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上m表示的数中最小的为 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意得当抽到和时，m的取值最小，
∴m的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据3张卡片上各数之积最小为，当抽到和时，m的取值最小，即可得到答案.
12．（2025七上·海曙期末）如图①，底面积为30cm2的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”下方实心圆柱的底面积为12cm2.现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示，则图中a的值为 .
【答案】24.5
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：
注满水所需时间为：
故答案为： 24.5.
【分析】
由图象可知圆柱容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为9cm，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s， 高度为6cm，可先求出注水的速度为 ，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可.
13．（2024七上·江北开学考）六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
【答案】5
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件可知：
∵ 参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人
∴ 至少一项比赛的总人数应该是24 + 27 = 51人 ，
∵ 六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛 ，
∴ 乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 ：51-46=5；
故答案为：
【分析】根据集合以及交集的定义，根据已知条件， 其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人 ，两数之和>实际参加的总人数，一定会有即参加 乒乓球和羽毛球比赛的人，即可计算出.
14．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
【答案】256
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…
∴第8次后可拉出根，
故答案为：256
【分析】根据“第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根.......”结合题意根据有理数的乘方即可求解。
15．（2024七上·诸暨月考）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是
【答案】12
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ 要使三角形的每条边上的三个数的和S最大，
∴ 将最大的三个数4，5，6写在三个顶点，如图，
由图可知，．
故答案为：12.
【分析】根据题意可知三角形的三个顶点的数字是这6个数中最大的三个数，再将其他数键入，即可求得.
16．（2024七上·浙江期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则 ， ．
【答案】2；1
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意，得：，，，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：2，1．
【分析】根据题意得到，，，由于是1到9的整数，且5×9=45可得，从而得，，，然后根据，，求解即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·江北开学考）用合理灵活的方法计算．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：∵
∴
（6）解：
（7）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数乘法运算律求解即可；
（2）根据有理数的运算法则，先算括号里面的，再算括号外面的即可；
（3）（7）根据有理数的加法法则求解即可；
（4）（6）根据有理数混合运算法则即可求解；
（5）根据用倒数法求解即可；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：∵
∴；
（6）解：
；
（7）解：
18．（2024七上·乐清月考）阅读下列材料：阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
【答案】解：
，
∴．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的除法法则
【解析】【分析】先计算，把除法变成乘法后，利用乘法分配律求解，再把的结果取倒数即可答案．
19．（2024七上·瓯海期中）如图是重庆市地铁一号线部分站点示意图．某天，小川参加地铁志愿者服务活动，从两路口出发，最后在站结束服务活动．如果规定向沙坪坝方向为正，小川当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位；站）：，．
（1）请通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离约为1.8千米，求这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
【答案】（1）解：，
∵从两路口出发，规定向沙坪坝方向为正，经过2站，
∴站是是大坪站；
答：站是是大坪站.
（2）解：
（千米）．
答：这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是千米．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据有理数的加法，求出乘车站数的和，再结合示意图即可求解；
（2）根据绝对值的意义和有理数的加法可得一共的站数，再根据总路程=站数×平均距离即可求解.
（1）解：
∵从两路口出发，规定向沙坪坝方向为正，经过2站，
∴站是是大坪站；
答：站是是大坪站
（2）解：
（千米）．
答：这次小川志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是千米．
20．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
21．一辆公共汽车从始发站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站.下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数.
停靠站 始发站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站
上、下 车人数 +21 -3； +8 -4； +2 0； +4 -7； +1 -9； +6 -7； 0 -12
（1）中间第4站上车的人数是 ，下车的人数是 ；
（2）途中的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）公共汽车离开中间第2站时车上的人数为 ，离开中间第4 站时车上的人数为 ；
（4）从表中你还能知道什么信息
【答案】（1）1；7
（2）6；3
（3）24；22
（4）答案不唯一，
如：从表中可以知道，途中的6个站中，第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
中间第4站上车的人数是1人，下车人数是7人
故答案为：1；7
（2）由题意可得：
途中的6个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车
故答案为6；3
（3）由题意可得：
公共汽车离开中间第2站时车上的人数为21-3+8-4+2=24人
离开中间第4 站时车上的人数为21-3+8-4+2+4+0-7+1=22人
故答案为：24；22
【分析】（1）根据表中数据即可求出答案.
（2）根据表中数据即可求出答案.
（3）结合有理数的加减计算即可求出答案.
（4）根据题意即可求出答案.
22．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
【答案】（1）；-2
（2）；
（3）解：
=1-3
=-2.
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
故答案为：，-2；
（2）
；
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运算法则计算即可；
（3）结合（2）中的方法，代入化简，然后计算，即可求解.
23．（2024七上·瑞安期中）根据下列素材，探索完成任务：
哪种计算工资方式对工人更有利？
素材 1 玩具厂定额每个工人每天生产玩具车20辆，某工人每天生产的玩具车数量与计划定额有出入，如表是该工人某周每天生产的情况(以20辆为标准，超产记为正，减产记为负) 时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天数量(辆)
素材 2 该工厂计算工资有两种方式： 方式A：每生产一辆玩具车报酬为10元； 方式B：实行日计件工资制，每生产一辆报酬9元。 若一天超出定额20辆，则超过部分另外加12元/辆。 若一天不足定额20辆，则根据不足数量扣5元/辆。
问题解决
任务 1 本周该工人最多一天比最少一天多生产 ▲ 辆玩具车。
任务 2 本周该工人实际生产玩具车多少辆？
任务 3 请判断哪种计算工资的方式对该工人更有利，通过计算说明。
【答案】解：任务1：生产最多一天为6辆，最少一天为-5辆，故6-(-5)=11.
任务2：（辆）
答：本周该工人实际生产玩具车150辆。
任务3：
方式A：（元）
方式B：（元）
因为1500<1519，所以选择方式B对该工人更有利。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】任务1：找到生产最多和最少的辆数，相减即为多生产的数量；
任务2：20辆为基准，20×7再加上相对生产的数量即可得总共的生产数量；
任务3：分别计算方式A和方式B的工资额，即可得方式B对工人更有利.
24．（2024七上·临平月考）根据以下素材，探究完成任务．
素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数的最大整数是．
素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：
，
进行3次操作之后开始变为固定值．
（1）任务1． ； ．
（2）任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数．
（3）任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和．
【答案】（1）1；
（2）解：因为，
，
，
…
…
，
所以进行3次操作，开始变为固定值取到的最大数和最小数分别是和
（3）解：因为，
，
，
，
所以整数n进行3次操作，开始变为固定值0，n取到的最大数和最小数分别是26和9，
所以9+10+...+26 =315.
【知识点】有理数的除法法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：1；-4.
【分析】（1）按照素材1求出不超过的和不超过最大整数即可.
（2）由题意可知n是一个负整数，经过三次操作后变为-1，说明n在第三次操作后应该在-1和0之间。因此n的最大值为-10，最小值为-27.
（3）经过三次操作后变为0，说明初始值n在第三次操作后介于0和1之间。因此，符合条件的n为9， 10， 11， 12， 13， 14， 15，16，17，18，19，20，21 ，22，23， 24，25，26，它们的和为315.
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