第二章《有理数的运算》培优卷—浙教版（2024）数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七上·萧山月考）数a四舍五入后的近似值为3.1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．用符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5，…，则H（7）+H（8）+…+H（99）的结果为（ ）
A．- 146 B．- 54 C．- 46 D．46
3．（2023七上·柯桥期末）橡皮泥手工制作简单、方便，在制作中左右手同时操作也可调节思维，平衡左右脑智力开发.若某班购买了18块体积、颜色都相同的橡皮泥，将这18块橡皮泥平均分给n 名同学进行手工制作，要求每块橡皮泥最多被分为两部分(可以不相等)，那么n的值不可以是( )
A．19 B．21 C．22 D．24
4．（2023七上·兰溪月考）数学上， 为了简便把1到的连续个自然数的和记作， 即； 把1到的连续个自然数的乘积记作， 即； 则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
5．（2024七上·瑞安期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2024七上·柯桥月考）已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．在一次数学活动课上，数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到。根据以上信息，下列判断正确的是( )
A．四个正整数中最小的是1 B．四个正整数中最大的是8
C．四个正整数中有两个是2 D．四个正整数中一定有3
8．（2023七上·金华期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
9．如图，已知正方形的边长为24 cm，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行。若乙的速度为9cm/s，甲的速度为3cm/s，当它们运动了2024 s时，它们在正方形边上相遇了( )
A．252次 B．253次 C．254次 D．255次
10．已知a>b>c>d>e，从a，b，c，d中随机取两个字母作差后取绝对值，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对|A|--|B|-e进行化简运算，称为“绝差操作”，例如：|d-a|-|c-b|-e=(a-d)-(b-c)-e=a-b+c-d-e为一次“绝差操作”，a-b+c-d--e为“绝差操作”的一种运算结果。下列说法中，正确的个数是( )
①存在“绝差操作”的两种运算结果的和为-2e；
②存在“绝差操作”的两种运算结果的差为2a+2b；
③所有的“绝差操作”共有4种不同的运算结果。
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024七上·龙湾月考）若，且a，b都是奇数，则满足条件的a与b共有 对．
12．（2025七上·新昌期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）．
13．计算： .
14．（2025七上·上城期末）用“☆”定义新运算： 对于任意有理数 a、b，都有 a☆b=a2-b2.例如：7☆4=72-42=33，那么5☆-3= ；-1☆（2☆3）= .
15．观察“田”字中各数之间的关系：
则c= .
16．现有七个数-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，图2给出了一种填法，此时m=64，在所有的填法中，m的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·鄞州月考）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
18．（2024七上·龙湾月考）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则．
（1）填空：______，_____，_____．
（2）若，求m和n的值．
19．（2024七上·龙湾月考）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明乒乓球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，参数中还标明质量是．
乒乓球
型号 3星级
颜色 黄色
质量
直径
包装规格 10只/盒
（1）任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差多少毫米？
（2）四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到吗？请说明理由．
20．（2025七上·临平期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转）
0（立正） 0 1 2
1（向右转） 1 2 0 n
（向左转） 0 2 1
2（向后转） 2 x y m
请完成下面问题：
（1）上述表格中， ， ， ．
（2）若用字母a表示任何一种体育口令，则 ．
（3）判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．
21．（2024七上·余杭月考）根据以下素材，探究完成任务．
素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数不超过的最大整数是．
素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：，进行3次操作之后开始变为固定值．
任务1．______；______．
任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数．
任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和．
22．（2024七上·台州期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费________元；使用“吃货红包”满25可用需花费________元；使用“吃货红包”满45可用需花费________元． ②若邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购________杯，送________杯；外卖APP订购________杯．该方案订购总费用为_______元．
23．（2024七上·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务．
合理使用零花钱的方案
素材1 9月份，小明微信钱包余额1465元．在10月1日当天共进行了7笔交易，其中支出75元，并于当晚手机截屏（如右图所示）．
素材2 国庆期间，正值某服装店周年庆，店铺于10月2日推出优惠活动，当天所有商品均按九折出售，且只要在店内消费即赠送“满500减100，满1000减200”的消费券一张（当天不得使用）．小明看中店内A、B、C三款服饰并打算每款各购买一件，已知A、B、C三种款式的单价分别为250元，550元，850元． 方案评价表
方案评价 钱包余额（元） 得分
优秀方案 余额100 4分
良好方案 60余额<100 2分
合格方案 0余额<60 1分
问题解决
任务1 计算支出 小明在10月1日11：15支付了网约车费用，但手机截屏只显示出部分信息，请根据素材中的信息，计算出网约车费用．
任务2 确定余额 求出10月1日手机钱包余额．
任务3 拟定方案 （不同方案得分不同） 自我评价表
享受九折的商品 （填商品款式） 使用消费券的商品 （填商品款式） 钱包最终 余额（元）
24．（2024七上·杭州10月考）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：________，；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________；
（3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________；
（4）比较________（填“>”“<”或“=”）；
【灵活应用】
（5）算一算：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：∵ 数a四舍五入后的近似值为3.1 ，则需要看a对应的百分位是多少，
∴排除A、C选项；
B选项， ，对应的a的近似值应该是3.14，而不是3.1，
∴D选项正确。
故答案为：Ｄ．
【分析】近似值是通过四舍五入得到的，精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则应进1；若下一位小于5，则应舍去．本题首先排除AC选项，然后从BD选项进行分析，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
H(7)+H(8)+H(9)+...+H(99)
=-8+9-10+11-12+...-98+99-100
=1+1+1+...+1-100
=46-100
=-54
故答案为：B.
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果.
3．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A、18块巧克力均分给19名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按18：1的比例分为两小块其中18位同学每人得1块大的，另1位同学每人得18块小的，所以n可以为19；A不符合题意，
B、18块巧克力均分给21名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按6：1的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，另3位同学每人得6块小的，所以n可以为21，B不符合题意，
C、18块巧克力均分给22名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按9：2的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，剩下的橡皮泥无法平均分给4人，所以n不可以为22，C符合题意，
D、18块巧克力均分给24名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按3：1的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，另6位同学每人得3块小的，所以n可以为24，D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据题意先做出假设，再根据实际进行分析，得出结论即可.
4．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意可知：
，，
，，
所以
=
=-2021+2021
=0．
故答案为：A．
【分析】根据新定义把新运算转化成常规运算，然后再根据 有理数的运算法则正确运算即可。
5．【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵九宫格中数字总和为，
∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中最大数字可能是4，
故答案为：A．
【分析】先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解．
6．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，，且，
故数轴上，点N的位置1~2之间，点T的位置在1~3之间，且点N在点T左侧.
∴故N，T的位置符合的是A选项，
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，且，可得然后根据数轴上的位置判断即可．
7．【答案】D
【知识点】有理数的分类；有理数的大小比较-直接比较法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：设这四个数分别为W，X，Y，Z且，故W+X＝5，Y+Z=8，
（1）当W＝1时，则X＝4，
∵
∴，不合题意舍去，
∴，
（2）当 W＝2时，则X＝3，
当Y＝X＝3时，D＝5；
当Y>X时，
∵
∴Y＝Z＝4，
故综上所述，这四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4
A．四个正整数中最小的是2，故选项错误，不符合题意；
B．四个正整数中最大的是4或5，故选项错误，不符合题意；
C．四个正整数中有两个可能是3，不是2，故选项错误，不符合题意；
D．四个正整数中一定有3，故选项正确，符合题意．
故答案为：D
【分析】设这四个数分别为W，X，Y，Z且，分类讨论，进而得出符合题意的答案．
8．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，.……
∴m3分裂后的第一个数是m(m-1)+1，共m个奇数，
∵17×（17-1）+1=273， 18×（18-1）+1=307，
∴若的“分裂数”中有一个是281，则m=17，
故答案为：B.
【分析】观察规律，分裂成的数均为奇数，且个数就是底数，且第一个数=底数×（底数-1）+1，再据此判断281所在的范围即可。
9．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵24×2÷（9+3）=4s，
∴甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48厘米，
∵(24x4)÷(9+3)=8，第一次相遇后每过8秒相遇一次
而(2024-4)÷8=252.5，
当它们运动了2024秒时，它们在正方形边上相遇了252+1=253次，
故答案为：B.
【分析】由已知得，甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48cm，而经过计算可知，第一次相遇后每经过8秒就相遇一次，即可解决问题.
10．【答案】B
【知识点】含括号的有理数混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：所有“绝差操作”的运算如下：①|a-b|-|c-d|-e=(a-b)-(c-d)-e=a-b-c+d-e；②|c-d|-|a-b|-e=(c-d)-(a-b)-e=-a+b+c-d-e；③|a-d|-|b-c|-e=(a-d)-(b-c)-e=a-b+c-d—e；④|b-c|-|a-d|-e=(b-c)-(a-d)-e=-a+b-c+d-e；⑤|a-c|-|b-d|-e=(a-c)-(b-d)-e=a-b-c+d-e；⑥|b-d|-|a-c|-e=(b-d)-(a-c)-e=-a+b+c-d-e，∴所有的“绝差操作”共有4种不同的运算结果，故③正确。情况①与情况②的运算结果之和为a-b-c+d-e-a+b+c-d-e=-2e，故①正确。将上述4种结果，任意选取两种相减，没有结果为2a+2b，故②错误。综上所述，正确的有①③，共2个。
故答案为：B.
【分析】 从a，b，c，d中先随机取两个字母，再取剩下两个字母，把所有可能结果列出， 根据|A|-|B|-e对结果进行化简运算，逐项判断即可.
11．【答案】20
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵a，b都是奇数，
∴都是奇数，
∵，
∴或或或或，
∴或或，或或
∴满足条件的a与b共有20对，
故答案为：20．
【分析】本题根据a，b都是奇数，得到都是奇数，则可推出或或或或，再由绝对值的意义即可得到答案．
12．【答案】3与74
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数，
所以它的因数中一定有111，
而，
由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，
因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数，
所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数，
而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99，
所以：经尝试发现 (18是3的倍数），，
因此，这两个自然数分别是37与18或3与74，
故答案为：3与74．
【分析】先得到三位数的因数中一定有111，利用可知这两个非零自然数中两个数必是3和37的倍数，然后尝试代入计算解题．
13．【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：令，
则，
因此，
所以，
所以
．故答案为：．
【分析】令①，
则②，利用②+①可求出S，再代入原式计算即可.
14．【答案】16；- 24
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
5☆-3
故答案为： 16； - 24.
【分析】根据定义的新运算列式计算即可.
15．【答案】270
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：“田”字左上角的数=2n-1，左下角的数=2"，由2n-1=15，得 15+a=271，c=271-1=270.
故答案为：270.
【分析】先归纳 “田” 字中左上角、左下角数的规律表达式，利用已知左上角数15求出n，再依次算出左下角、右下角数，最后根据右下角与右上角数的关系得c.
16．【答案】256
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：填充数字如下，此时m取最大值，m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256．
故答案为：256.
【分析】通过观察，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大，则-8，-8不妨如图1放置，此时与-8，-8同圆的只能是-1，-4或-2，-2，所以m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，
（3）解：，
，
（4）解：，
，
，
（5）解：，
，
，
，
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）先去括号，再运用加法交换律和结合律进行计算，即可求得；
（2）运用加法交换律和结合律，将同分母分数相加减进行计算，即可求得；
（3）先确定4个有理数相乘结果的符号，再将它们的绝对值相乘，即可求得；
（4）运用乘法分配律计算，即可求得；
（5）运用分配律的逆运算计算，即可求得．
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
18．【答案】（1），，；
（2）解：∵，，，∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，．
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）依题意得：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据新运算进行计算即可；
（2）由和F(n)的非负性得到，，再根据可得出答案．
（1）解：依题意得：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，．
19．【答案】（1）解：由题意可知，乒乓球的最大直径是：，
最小直径是：，
∴任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差：
，
答：任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差.
（2）解：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到，理由如下：
由题意可知，表示乒乓球最大质量为：
，
如果每个乒乓球的质量都为，则四盒该品牌乒乓球的总质量为：
，
答：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到．
【知识点】有理数的乘法法则；正数、负数的实际应用；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）根据正负数的定义得到乒乓球的最大直径和最小直径，即可求解；
（2）根据题意，求出每个乒乓球的最大质量和最大的总质量，即可求解．
（1）解：由题意可知，乒乓球的最大直径是：，
最大直径是：，
∴任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差：
，
答：任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差；
（2）解：由题意可知，表示乒乓球最大质量为：
，
如果每个乒乓球的质量都为，则四盒该品牌乒乓球的总质量为：
，
答：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到．
20．【答案】（1）；1；0
（2）
（3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正，∴符合加法的交换律；
∵向右转向左转立正，立正向后转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转，
∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转），
∴符合加法交换律．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】（1）解：∵向后转向右转向左转，
∴；
∵向后转向左转向右转，
∴
∵向后转向后转立正，
∴；
故答案为：-1，1，0；
（2）解：∵任意口令立正该任意口令，
∴；
故答案为：a；
【分析】（1）根据新定义得到向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的法则；
（2）根据任意口令立正的结果为该任意口令解答即可；
（3）得到向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）的法则解题即可．
（1）解：∵向后转向右转向左转，
∴；
∵向后转向左转向右转，
∴
∵向后转向后转立正，
∴；
（2）解：∵任意口令立正该任意口令，
∴；
（3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正，
∴符合加法的交换律；
∵向右转向左转立正，立正向后转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转，
∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转），
∴符合加法交换律．
21．【答案】解：任务1：，
任务2：因为
所以进行3次操作，开始变为固定值，n取到的最大数和最小数分别是和
任务3：因为
所以整数n进行3次操作，开始变为固定值0，n取到的最大数和最小数分别是26和9，
所以
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【分析】任务1，直接根据新定义，先估计出、，然后找到对应的最大整数即可；
任务2，根据新定义，利用临界值求解即可；
任务3，根据新定义，求出临界值，再求和即可．
22．【答案】解：问题1：∵每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，
∴（元），
答：邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费630元；
问题2：②∵邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
∴（元），
答：邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费667元；
问题3：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：问题2：①依题意，（元），
∴某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费元；
依题意，（元），（元），
使用“吃货红包”满25可用需花费元；使用“吃货红包”满45可用需花费元．
故答案为：，，；
问题3：依题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则电话订购30杯，送3杯，
此时（元），
∴（杯）
即外卖订购13杯，
则邱老师通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，
则（元），
其中一次都是使用“吃货红包”满25减4元，
则（元），
其中一次都是使用 “无门槛红包”，
则（元），
∴，
∴电话订购30杯，送3杯；外卖APP订购13杯．该方案订购总费用为元．
故答案为：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【分析】（1）由于每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，则电话订购46杯奶茶可免费赠送4杯，即实际支付42杯奶茶费用即可；
（2）①由于3杯奶茶的费用恰好可以享受全部红包，因此可分三种情况分别计算即可；
②先使用3个“8元吃货红包”则需要购买9杯奶茶，即下3单；再使用2个“4元吃货红包”则需要购买4杯奶茶，即下2单；最后把剩余的一次性全部下单可享受”无门槛红包“，即共下了6单，再列式计算即可；
（3）根据情况可电话订购30杯，送3杯，再分别运用红包类型进行逐个列式计算，只要满足总费用不超过625元即可，答案不唯一．
23．【答案】解：[任务1]依题意：网约车费用为：元.
[任务2]10月1日手机钱包余额为：元.
任务3 购买方案： 当天购买第二天购买， 自我评价表
享受九折的商品 （填商品款式） 使用消费券的商品 （填商品款式） 钱包最终 余额（元）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：[任务3]方案①：一次性购买全部打九折：总费用为（元），
此时余额为：1500－1485=15（元）
余额小于60元，只得1分.
方案②：当天购买B，获得“满500减100，满1000减200”的消费券一张，第二天购买A+C，这样的花费的总费用为：（元），
此时余额为：1500－1395=105（元）
余额大于100元，可得4分.
∴可选方案②.
任务3 购买方案：
当天购买第二天购买， 自我评价表
享受九折的商品
（填商品款式） 使用消费券的商品
（填商品款式） 钱包最终
余额（元）
【分析】[任务1]根据手机截屏数据结合题意，即可求解．
[任务2]根据9月份，小明微信钱包余额1465元．根据10月1日收入，支出75元，列出算式即可求解；
[任务3]根据题意，分别计算只打折不用券和先获得满1000减200消费券一张并使用的两种方案，比较即可求解．
24．【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）＞；
（5）解：
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：；
（2）；
；
；
故答案为：；
（3）a的圈n次方为：；
故答案为：；
（4），
，
，
，
故答案为：＞；
【分析】（1）根据“圈n次方”的定义直接进行计算即可；
（2）根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再把结果表示成幂的形式即可；
（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；
（4）先分别把除方转化为乘方，再计算出结果并进行比较即可；
（5）先将除方转化为乘方，再利用有理数的混合运算顺序进行计算即可．
1 / 1第二章《有理数的运算》培优卷—浙教版（2024）数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七上·萧山月考）数a四舍五入后的近似值为3.1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：∵ 数a四舍五入后的近似值为3.1 ，则需要看a对应的百分位是多少，
∴排除A、C选项；
B选项， ，对应的a的近似值应该是3.14，而不是3.1，
∴D选项正确。
故答案为：Ｄ．
【分析】近似值是通过四舍五入得到的，精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则应进1；若下一位小于5，则应舍去．本题首先排除AC选项，然后从BD选项进行分析，即可得出答案。
2．用符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5，…，则H（7）+H（8）+…+H（99）的结果为（ ）
A．- 146 B．- 54 C．- 46 D．46
【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
H(7)+H(8)+H(9)+...+H(99)
=-8+9-10+11-12+...-98+99-100
=1+1+1+...+1-100
=46-100
=-54
故答案为：B.
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果.
3．（2023七上·柯桥期末）橡皮泥手工制作简单、方便，在制作中左右手同时操作也可调节思维，平衡左右脑智力开发.若某班购买了18块体积、颜色都相同的橡皮泥，将这18块橡皮泥平均分给n 名同学进行手工制作，要求每块橡皮泥最多被分为两部分(可以不相等)，那么n的值不可以是( )
A．19 B．21 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：A、18块巧克力均分给19名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按18：1的比例分为两小块其中18位同学每人得1块大的，另1位同学每人得18块小的，所以n可以为19；A不符合题意，
B、18块巧克力均分给21名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按6：1的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，另3位同学每人得6块小的，所以n可以为21，B不符合题意，
C、18块巧克力均分给22名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按9：2的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，剩下的橡皮泥无法平均分给4人，所以n不可以为22，C符合题意，
D、18块巧克力均分给24名同学，每人应分得块，因此，可将每块巧克力按3：1的比例分为两小块，其中18位同学每人得1块大的，另6位同学每人得3块小的，所以n可以为24，D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据题意先做出假设，再根据实际进行分析，得出结论即可.
4．（2023七上·兰溪月考）数学上， 为了简便把1到的连续个自然数的和记作， 即； 把1到的连续个自然数的乘积记作， 即； 则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意可知：
，，
，，
所以
=
=-2021+2021
=0．
故答案为：A．
【分析】根据新定义把新运算转化成常规运算，然后再根据 有理数的运算法则正确运算即可。
5．（2024七上·瑞安期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵九宫格中数字总和为，
∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中最大数字可能是4，
故答案为：A．
【分析】先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解．
6．（2024七上·柯桥月考）已知．若数轴上点N，T所对应的数是n，t，则N，T的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，，且，
故数轴上，点N的位置1~2之间，点T的位置在1~3之间，且点N在点T左侧.
∴故N，T的位置符合的是A选项，
故答案为：A．
【分析】根据题意得到，，且，可得然后根据数轴上的位置判断即可．
7．在一次数学活动课上，数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到。根据以上信息，下列判断正确的是( )
A．四个正整数中最小的是1 B．四个正整数中最大的是8
C．四个正整数中有两个是2 D．四个正整数中一定有3
【答案】D
【知识点】有理数的分类；有理数的大小比较-直接比较法；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：设这四个数分别为W，X，Y，Z且，故W+X＝5，Y+Z=8，
（1）当W＝1时，则X＝4，
∵
∴，不合题意舍去，
∴，
（2）当 W＝2时，则X＝3，
当Y＝X＝3时，D＝5；
当Y>X时，
∵
∴Y＝Z＝4，
故综上所述，这四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4
A．四个正整数中最小的是2，故选项错误，不符合题意；
B．四个正整数中最大的是4或5，故选项错误，不符合题意；
C．四个正整数中有两个可能是3，不是2，故选项错误，不符合题意；
D．四个正整数中一定有3，故选项正确，符合题意．
故答案为：D
【分析】设这四个数分别为W，X，Y，Z且，分类讨论，进而得出符合题意的答案．
8．（2023七上·金华期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，.……
∴m3分裂后的第一个数是m(m-1)+1，共m个奇数，
∵17×（17-1）+1=273， 18×（18-1）+1=307，
∴若的“分裂数”中有一个是281，则m=17，
故答案为：B.
【分析】观察规律，分裂成的数均为奇数，且个数就是底数，且第一个数=底数×（底数-1）+1，再据此判断281所在的范围即可。
9．如图，已知正方形的边长为24 cm，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行。若乙的速度为9cm/s，甲的速度为3cm/s，当它们运动了2024 s时，它们在正方形边上相遇了( )
A．252次 B．253次 C．254次 D．255次
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵24×2÷（9+3）=4s，
∴甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48厘米，
∵(24x4)÷(9+3)=8，第一次相遇后每过8秒相遇一次
而(2024-4)÷8=252.5，
当它们运动了2024秒时，它们在正方形边上相遇了252+1=253次，
故答案为：B.
【分析】由已知得，甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48cm，而经过计算可知，第一次相遇后每经过8秒就相遇一次，即可解决问题.
10．已知a>b>c>d>e，从a，b，c，d中随机取两个字母作差后取绝对值，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对|A|--|B|-e进行化简运算，称为“绝差操作”，例如：|d-a|-|c-b|-e=(a-d)-(b-c)-e=a-b+c-d-e为一次“绝差操作”，a-b+c-d--e为“绝差操作”的一种运算结果。下列说法中，正确的个数是( )
①存在“绝差操作”的两种运算结果的和为-2e；
②存在“绝差操作”的两种运算结果的差为2a+2b；
③所有的“绝差操作”共有4种不同的运算结果。
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】含括号的有理数混合运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：所有“绝差操作”的运算如下：①|a-b|-|c-d|-e=(a-b)-(c-d)-e=a-b-c+d-e；②|c-d|-|a-b|-e=(c-d)-(a-b)-e=-a+b+c-d-e；③|a-d|-|b-c|-e=(a-d)-(b-c)-e=a-b+c-d—e；④|b-c|-|a-d|-e=(b-c)-(a-d)-e=-a+b-c+d-e；⑤|a-c|-|b-d|-e=(a-c)-(b-d)-e=a-b-c+d-e；⑥|b-d|-|a-c|-e=(b-d)-(a-c)-e=-a+b+c-d-e，∴所有的“绝差操作”共有4种不同的运算结果，故③正确。情况①与情况②的运算结果之和为a-b-c+d-e-a+b+c-d-e=-2e，故①正确。将上述4种结果，任意选取两种相减，没有结果为2a+2b，故②错误。综上所述，正确的有①③，共2个。
故答案为：B.
【分析】 从a，b，c，d中先随机取两个字母，再取剩下两个字母，把所有可能结果列出， 根据|A|-|B|-e对结果进行化简运算，逐项判断即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024七上·龙湾月考）若，且a，b都是奇数，则满足条件的a与b共有 对．
【答案】20
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵a，b都是奇数，
∴都是奇数，
∵，
∴或或或或，
∴或或，或或
∴满足条件的a与b共有20对，
故答案为：20．
【分析】本题根据a，b都是奇数，得到都是奇数，则可推出或或或或，再由绝对值的意义即可得到答案．
12．（2025七上·新昌期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）．
【答案】3与74
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数，
所以它的因数中一定有111，
而，
由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，
因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数，
所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数，
而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99，
所以：经尝试发现 (18是3的倍数），，
因此，这两个自然数分别是37与18或3与74，
故答案为：3与74．
【分析】先得到三位数的因数中一定有111，利用可知这两个非零自然数中两个数必是3和37的倍数，然后尝试代入计算解题．
13．计算： .
【答案】
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：令，
则，
因此，
所以，
所以
．故答案为：．
【分析】令①，
则②，利用②+①可求出S，再代入原式计算即可.
14．（2025七上·上城期末）用“☆”定义新运算： 对于任意有理数 a、b，都有 a☆b=a2-b2.例如：7☆4=72-42=33，那么5☆-3= ；-1☆（2☆3）= .
【答案】16；- 24
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
5☆-3
故答案为： 16； - 24.
【分析】根据定义的新运算列式计算即可.
15．观察“田”字中各数之间的关系：
则c= .
【答案】270
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：“田”字左上角的数=2n-1，左下角的数=2"，由2n-1=15，得 15+a=271，c=271-1=270.
故答案为：270.
【分析】先归纳 “田” 字中左上角、左下角数的规律表达式，利用已知左上角数15求出n，再依次算出左下角、右下角数，最后根据右下角与右上角数的关系得c.
16．现有七个数-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，图2给出了一种填法，此时m=64，在所有的填法中，m的最大值为 ．
【答案】256
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：填充数字如下，此时m取最大值，m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256．
故答案为：256.
【分析】通过观察，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大，则-8，-8不妨如图1放置，此时与-8，-8同圆的只能是-1，-4或-2，-2，所以m=(-8)×(-8)×(-1)×(-4)=256．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·鄞州月考）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，
（3）解：，
，
（4）解：，
，
，
（5）解：，
，
，
，
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）先去括号，再运用加法交换律和结合律进行计算，即可求得；
（2）运用加法交换律和结合律，将同分母分数相加减进行计算，即可求得；
（3）先确定4个有理数相乘结果的符号，再将它们的绝对值相乘，即可求得；
（4）运用乘法分配律计算，即可求得；
（5）运用分配律的逆运算计算，即可求得．
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
18．（2024七上·龙湾月考）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则．
（1）填空：______，_____，_____．
（2）若，求m和n的值．
【答案】（1），，；
（2）解：∵，，，∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，．
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）依题意得：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据新运算进行计算即可；
（2）由和F(n)的非负性得到，，再根据可得出答案．
（1）解：依题意得：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，．
19．（2024七上·龙湾月考）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明乒乓球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，参数中还标明质量是．
乒乓球
型号 3星级
颜色 黄色
质量
直径
包装规格 10只/盒
（1）任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差多少毫米？
（2）四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到吗？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知，乒乓球的最大直径是：，
最小直径是：，
∴任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差：
，
答：任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差.
（2）解：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到，理由如下：
由题意可知，表示乒乓球最大质量为：
，
如果每个乒乓球的质量都为，则四盒该品牌乒乓球的总质量为：
，
答：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到．
【知识点】有理数的乘法法则；正数、负数的实际应用；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）根据正负数的定义得到乒乓球的最大直径和最小直径，即可求解；
（2）根据题意，求出每个乒乓球的最大质量和最大的总质量，即可求解．
（1）解：由题意可知，乒乓球的最大直径是：，
最大直径是：，
∴任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差：
，
答：任选2个该品牌乒乓球，直径最多相差；
（2）解：由题意可知，表示乒乓球最大质量为：
，
如果每个乒乓球的质量都为，则四盒该品牌乒乓球的总质量为：
，
答：四盒该品牌乒乓球的总质量可能达到．
20．（2025七上·临平期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转）
0（立正） 0 1 2
1（向右转） 1 2 0 n
（向左转） 0 2 1
2（向后转） 2 x y m
请完成下面问题：
（1）上述表格中， ， ， ．
（2）若用字母a表示任何一种体育口令，则 ．
（3）判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．
【答案】（1）；1；0
（2）
（3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正，∴符合加法的交换律；
∵向右转向左转立正，立正向后转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转，
∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转），
∴符合加法交换律．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】（1）解：∵向后转向右转向左转，
∴；
∵向后转向左转向右转，
∴
∵向后转向后转立正，
∴；
故答案为：-1，1，0；
（2）解：∵任意口令立正该任意口令，
∴；
故答案为：a；
【分析】（1）根据新定义得到向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的法则；
（2）根据任意口令立正的结果为该任意口令解答即可；
（3）得到向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）的法则解题即可．
（1）解：∵向后转向右转向左转，
∴；
∵向后转向左转向右转，
∴
∵向后转向后转立正，
∴；
（2）解：∵任意口令立正该任意口令，
∴；
（3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正，
∴符合加法的交换律；
∵向右转向左转立正，立正向后转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转，
∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转），
∴符合加法交换律．
21．（2024七上·余杭月考）根据以下素材，探究完成任务．
素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数不超过的最大整数是．
素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：，进行3次操作之后开始变为固定值．
任务1．______；______．
任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数．
任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和．
【答案】解：任务1：，
任务2：因为
所以进行3次操作，开始变为固定值，n取到的最大数和最小数分别是和
任务3：因为
所以整数n进行3次操作，开始变为固定值0，n取到的最大数和最小数分别是26和9，
所以
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【分析】任务1，直接根据新定义，先估计出、，然后找到对应的最大整数即可；
任务2，根据新定义，利用临界值求解即可；
任务3，根据新定义，求出临界值，再求和即可．
22．（2024七上·台州期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．元/单
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费________元；使用“吃货红包”满25可用需花费________元；使用“吃货红包”满45可用需花费________元． ②若邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购________杯，送________杯；外卖APP订购________杯．该方案订购总费用为_______元．
【答案】解：问题1：∵每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，
∴（元），
答：邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费630元；
问题2：②∵邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
∴（元），
答：邱老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费667元；
问题3：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：问题2：①依题意，（元），
∴某顾客通过某外卖买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费元；
依题意，（元），（元），
使用“吃货红包”满25可用需花费元；使用“吃货红包”满45可用需花费元．
故答案为：，，；
问题3：依题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则电话订购30杯，送3杯，
此时（元），
∴（杯）
即外卖订购13杯，
则邱老师通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，
则（元），
其中一次都是使用“吃货红包”满25减4元，
则（元），
其中一次都是使用 “无门槛红包”，
则（元），
∴，
∴电话订购30杯，送3杯；外卖APP订购13杯．该方案订购总费用为元．
故答案为：30，3，13，623.5（答案不唯一）
【分析】（1）由于每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，则电话订购46杯奶茶可免费赠送4杯，即实际支付42杯奶茶费用即可；
（2）①由于3杯奶茶的费用恰好可以享受全部红包，因此可分三种情况分别计算即可；
②先使用3个“8元吃货红包”则需要购买9杯奶茶，即下3单；再使用2个“4元吃货红包”则需要购买4杯奶茶，即下2单；最后把剩余的一次性全部下单可享受”无门槛红包“，即共下了6单，再列式计算即可；
（3）根据情况可电话订购30杯，送3杯，再分别运用红包类型进行逐个列式计算，只要满足总费用不超过625元即可，答案不唯一．
23．（2024七上·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务．
合理使用零花钱的方案
素材1 9月份，小明微信钱包余额1465元．在10月1日当天共进行了7笔交易，其中支出75元，并于当晚手机截屏（如右图所示）．
素材2 国庆期间，正值某服装店周年庆，店铺于10月2日推出优惠活动，当天所有商品均按九折出售，且只要在店内消费即赠送“满500减100，满1000减200”的消费券一张（当天不得使用）．小明看中店内A、B、C三款服饰并打算每款各购买一件，已知A、B、C三种款式的单价分别为250元，550元，850元． 方案评价表
方案评价 钱包余额（元） 得分
优秀方案 余额100 4分
良好方案 60余额<100 2分
合格方案 0余额<60 1分
问题解决
任务1 计算支出 小明在10月1日11：15支付了网约车费用，但手机截屏只显示出部分信息，请根据素材中的信息，计算出网约车费用．
任务2 确定余额 求出10月1日手机钱包余额．
任务3 拟定方案 （不同方案得分不同） 自我评价表
享受九折的商品 （填商品款式） 使用消费券的商品 （填商品款式） 钱包最终 余额（元）
【答案】解：[任务1]依题意：网约车费用为：元.
[任务2]10月1日手机钱包余额为：元.
任务3 购买方案： 当天购买第二天购买， 自我评价表
享受九折的商品 （填商品款式） 使用消费券的商品 （填商品款式） 钱包最终 余额（元）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：[任务3]方案①：一次性购买全部打九折：总费用为（元），
此时余额为：1500－1485=15（元）
余额小于60元，只得1分.
方案②：当天购买B，获得“满500减100，满1000减200”的消费券一张，第二天购买A+C，这样的花费的总费用为：（元），
此时余额为：1500－1395=105（元）
余额大于100元，可得4分.
∴可选方案②.
任务3 购买方案：
当天购买第二天购买， 自我评价表
享受九折的商品
（填商品款式） 使用消费券的商品
（填商品款式） 钱包最终
余额（元）
【分析】[任务1]根据手机截屏数据结合题意，即可求解．
[任务2]根据9月份，小明微信钱包余额1465元．根据10月1日收入，支出75元，列出算式即可求解；
[任务3]根据题意，分别计算只打折不用券和先获得满1000减200消费券一张并使用的两种方案，比较即可求解．
24．（2024七上·杭州10月考）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：________，；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________；
（3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________；
（4）比较________（填“>”“<”或“=”）；
【灵活应用】
（5）算一算：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）＞；
（5）解：
【知识点】有理数的除法法则；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：；
（2）；
；
；
故答案为：；
（3）a的圈n次方为：；
故答案为：；
（4），
，
，
，
故答案为：＞；
【分析】（1）根据“圈n次方”的定义直接进行计算即可；
（2）根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再把结果表示成幂的形式即可；
（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；
（4）先分别把除方转化为乘方，再计算出结果并进行比较即可；
（5）先将除方转化为乘方，再利用有理数的混合运算顺序进行计算即可．
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