1.1认识三角形（提升卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2025八上·鄞州期末）若长度为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024八上·金华月考）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
3．（2024八上·诸暨期末）八年级一班学生源源家和依依家到诸暨西施故里的直线段距离分别是和那么源源，依依两家的直线段距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·路桥期中）如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·新昌月考）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC'=β，∠BDC'=γ，则下列关系式成立的是（ ）
A．2α=β+γ B．α=β+γ
C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
7．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是 上一点， ， 点 是 的中点， 设 的面积分别是 ， 且 ， 则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024八上·拱墅月考）如图，（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（ ）.
A．CM=BC B．
C．∠ACM=30° D．CH·AB=AC·BC
二、填空题
10．（2024八上·杭州月考）在ABC中∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，ABC是 三角形．
11．（2024八上·浦江期末）如图，AD是的中线，，、E、F分别是垂足，已知，则DE与DF长度之比为 .
12．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ．
三、解答题
13．（2023八上·新昌月考）如图，在中，是边上的高线，平分，若，
求：
（1）的度数
（2）的度数．
14．（2024八上·浙江期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明．
15．（2024八上·化州期末）在中，，，平分交于点D．
（1）求的度数；
（2）如图①，若于点F，交于点E．求的度数；
（3）如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数．
16．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，
∴a不可以是2．
故答案为：A．
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三条边的关系列出关于字母a的不等式，求出a的取值范围，从而即可判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设源源，依依两家的直线段距离是 xkm，
∴源源，依依两家的直线段距离不可能是13km.
故答案为： B.
【分析】由三角形三边关系定理得到 即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接，设与交于点M，如图所示．
在中，，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
即∠A+∠ABM+∠MBC+∠ACM+∠MCB=180°，
∴
．
又∵，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，设与交于点M，在△ABC中利用三角形内角和定理，可得，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的度数．
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：∠C=∠C'=α．
∵∠AEC'+∠CEC'=180°，∠BDC'+∠CDC'=180°，
∴β=180°-∠CEC'，γ=180°-∠CDC'．
∴β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∵∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，
∴2α=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∴β+γ=2α．
故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质可得∠C=∠C'=α．再结合β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，求出2α=360°-∠CEC'-∠CDC'，即可得到β+γ=2α，从而得解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12，
∵EC=2BE，
∴BE=BC，
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8，
∴S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为：C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线，由此可求出△ABD的面积，即可得到S△ADF+S△ABF的值；由EC=2BE，可推出BE=BC，由此可求出S△ABF+S△BEF的值，据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠BAC=180°-∠4-∠5，
∠ABC=180°-∠1-∠6，
∠ACB=180°-∠2-∠3
在△ABC中，
∠BAC+∠ABC＋∠ACB=180°
∴180°-∠4-∠5+180°-∠1-∠6+180°-∠2-∠3=180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理，分别求出∠BAC、∠ABC、∠ACB，即可计算出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
9．【答案】D
【知识点】三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC中， ∠ACB=90°， CM是斜边AB上的中线， 可得： CM = AM = MB， 但不能得出CM= BC， 故A错误；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB， 但不能得出CB=AB， 故B错误；
△ABC中， ∠ACB=90°， CH、CM分别是斜边AB上的高和中线， 无法得出∠ACM = 30°， 故C错误；由△ABC中， 由于CH是斜边AB上的高，则CH·AB = AC·BC， 故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中线和高线的定义，利用三角形的面积解题即可.
10．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：，
∴设，则，
，
解得：，
，
是直角三角形，
故答案为：直角.
【分析】根据题意可设，则，然后利用三角形内角和定理得关于的方程，解方程求得的值，从而求得的度数，进而可判断三角形的形状．
11．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AD是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴DE与DF长度之比为2，
故答案为：2.
【分析】根据三角形中线分出的三角形面积相等得到，然后利用三角形面积公式即可解题.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得平分，平分，
∴，，
∵
，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到与∠A的数量关系，计算即可．
13．【答案】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：.
（2）解：∵是边上的高线，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
故答案为：10.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及分别求出∠B和∠C的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵是边上的高线，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
14．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
．
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据角平分线的定义得到：，设，，结合三角形内角和定理和垂直的定义即可求解．
（1）解，，
，
平分，
，
，
；
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，CE平分，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠B+∠ACB=120°，再结合，求出∠B的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和求出∠ADC，再结合，求出∠ECD的度数即可；
（3）先利用角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和求出∠AFC的度数即可.
16．【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示：
∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）证明：如图所示：
∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和可得，再结合，即可证出；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算即等量代换求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到．
1 / 11.1认识三角形（提升卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2025八上·鄞州期末）若长度为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，
∴a不可以是2．
故答案为：A．
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三条边的关系列出关于字母a的不等式，求出a的取值范围，从而即可判断得出答案.
2．（2024八上·金华月考）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别为AC、BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD=S△ABC=10，
∴S△EBD=S△CBD=5，
∴S△AFD=S△ABD=5，S△DEF=S△EBD=2.5，
∴S四边形ADEF=S△AFD+S△DEF=7.5
故答案为：D
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可得出答案.
3．（2024八上·诸暨期末）八年级一班学生源源家和依依家到诸暨西施故里的直线段距离分别是和那么源源，依依两家的直线段距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设源源，依依两家的直线段距离是 xkm，
∴源源，依依两家的直线段距离不可能是13km.
故答案为： B.
【分析】由三角形三边关系定理得到 即可得到答案.
4．（2024八上·路桥期中）如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接，设与交于点M，如图所示．
在中，，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
即∠A+∠ABM+∠MBC+∠ACM+∠MCB=180°，
∴
．
又∵，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接，设与交于点M，在△ABC中利用三角形内角和定理，可得，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的度数．
5．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
6．（2023八上·新昌月考）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC'=β，∠BDC'=γ，则下列关系式成立的是（ ）
A．2α=β+γ B．α=β+γ
C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：∠C=∠C'=α．
∵∠AEC'+∠CEC'=180°，∠BDC'+∠CDC'=180°，
∴β=180°-∠CEC'，γ=180°-∠CDC'．
∴β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∵∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，
∴2α=360°-∠CEC'-∠CDC'．
∴β+γ=2α．
故答案为：A．
【分析】利用折叠的性质可得∠C=∠C'=α．再结合β+γ=360°-∠CEC'-∠CDC'．∠C+∠CEC'+CDC'+∠C'=360°，求出2α=360°-∠CEC'-∠CDC'，即可得到β+γ=2α，从而得解.
7．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是 上一点， ， 点 是 的中点， 设 的面积分别是 ， 且 ， 则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴BD是AC边上的中线，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12，
∵EC=2BE，
∴BE=BC，
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8，
∴S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为：C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线，由此可求出△ABD的面积，即可得到S△ADF+S△ABF的值；由EC=2BE，可推出BE=BC，由此可求出S△ABF+S△BEF的值，据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
8．（2024八上·拱墅月考）如图，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠BAC=180°-∠4-∠5，
∠ABC=180°-∠1-∠6，
∠ACB=180°-∠2-∠3
在△ABC中，
∠BAC+∠ABC＋∠ACB=180°
∴180°-∠4-∠5+180°-∠1-∠6+180°-∠2-∠3=180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理，分别求出∠BAC、∠ABC、∠ACB，即可计算出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
9．已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（ ）.
A．CM=BC B．
C．∠ACM=30° D．CH·AB=AC·BC
【答案】D
【知识点】三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解： △ABC中， ∠ACB=90°， CM是斜边AB上的中线， 可得： CM = AM = MB， 但不能得出CM= BC， 故A错误；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB， 但不能得出CB=AB， 故B错误；
△ABC中， ∠ACB=90°， CH、CM分别是斜边AB上的高和中线， 无法得出∠ACM = 30°， 故C错误；由△ABC中， 由于CH是斜边AB上的高，则CH·AB = AC·BC， 故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中线和高线的定义，利用三角形的面积解题即可.
二、填空题
10．（2024八上·杭州月考）在ABC中∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，ABC是 三角形．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：，
∴设，则，
，
解得：，
，
是直角三角形，
故答案为：直角.
【分析】根据题意可设，则，然后利用三角形内角和定理得关于的方程，解方程求得的值，从而求得的度数，进而可判断三角形的形状．
11．（2024八上·浦江期末）如图，AD是的中线，，、E、F分别是垂足，已知，则DE与DF长度之比为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AD是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴DE与DF长度之比为2，
故答案为：2.
【分析】根据三角形中线分出的三角形面积相等得到，然后利用三角形面积公式即可解题.
12．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得平分，平分，
∴，，
∵
，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到与∠A的数量关系，计算即可．
三、解答题
13．（2023八上·新昌月考）如图，在中，是边上的高线，平分，若，
求：
（1）的度数
（2）的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：.
（2）解：∵是边上的高线，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
故答案为：10.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及分别求出∠B和∠C的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵是边上的高线，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
14．（2024八上·浙江期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
．
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据角平分线的定义得到：，设，，结合三角形内角和定理和垂直的定义即可求解．
（1）解，，
，
平分，
，
，
；
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
15．（2024八上·化州期末）在中，，，平分交于点D．
（1）求的度数；
（2）如图①，若于点F，交于点E．求的度数；
（3）如图②，若平分交于点E，交于点F，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，CE平分，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠B+∠ACB=120°，再结合，求出∠B的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和求出∠ADC，再结合，求出∠ECD的度数即可；
（3）先利用角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和求出∠AFC的度数即可.
16．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示：
∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）证明：如图所示：
∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和可得，再结合，即可证出；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算即等量代换求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到．
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