【精品解析】1.1认识三角形（培优卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练

1.1认识三角形（培优卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
2．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
3．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（　　）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴06
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
4．（2024八上·南山开学考）如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的中线、相交于点O，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据，然后再根据三角形面积公式求出，根据“的中线、相交于点O”，可知，O点是三角形ABC的重心，然后再根据三角形重心性质，可得，，，进而求出，，从而得出，最后再由四边形的面积，代入数据即可求解。
5．（2024八上·恩平期末）如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
∵中，，
∴，
∵、分别为及的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得，最后利用角的运算求即可．
6．（2024八上·青原月考）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
平分，平分，
，，
平分，平分，
，，
，，
，
．
故答案为：A．
【分析】由三角形的内角和可求得∠EBC+∠ECB=28°，再由角平分线的定义可求得，，再利用三角形的内角和即可求∠A．
7．（2024八上·江北开学考）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（　　）
A．24 B．42 C．48 D．56
【答案】C
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
设，
∵DE=3AE，
∴，
∴，
∵F、G是边AB上的三等分点，
∴AF=FG=GB，
∴，
∴四边形FGDE的面积为：，
∵四边形FGDE的面积为14，
∴7x=14，
∴x=2，
∴，
∵D是BC的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比．连接，设，则，，由F、G是AB的三等分点可得出，从而有四边形FGDE的面积为7x=14，解方程求出x的值，最后根据三角形中线的性质得的值.
8．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（　　）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
二、填空题
9．（2024八上·海曙开学考）如图，　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图所示，连接
在△ABO中，
在△CEO中，
∵
∴
∴
．
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到：，，因为，可以得到：，所以转化为：即可.
10．（2024八上·广州竞赛）一条长为2010的线段被分为三条长度都是整数的线段，并且这三条线段可围成一个三角形，所得三角形的最长边与最短边的差的最大值是　 　．
【答案】1002
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设分成三段的长为a≥b≥c，则
a+b+c=2010，
并且ac≥2010-1004-1004=2.
a-c≤1004-2=1002.
即最长边与最短边的差，最大是1002.在a=b=1004，c=2时取得最大值.
故答案为：1002.
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求解.
11．（2024八上·香洲期末）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为　 　．（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
12．（2020八上·台州月考）在四边形ABCD中，P是AD 边上任意一点，当AP= AD时， 与 和 之间的关系式为：　 　；一般地，当AP= AD（n表示正整数）时， 与 和 之间关系式为：　 　.
【答案】；
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AP= AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴ ，
∵PD=AD-AP= AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴ ，
∴
；
当AP= AD（n表示正整数）时，
∵AP= AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴ ，
∵PD=AD-AP= AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴ ，
∴
；
故答案为： ； .
【分析】当AP= AD时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到 ，根据△CDP和△CDA的高相等，得到 ，结合图形计算即可；同理，当AP= AD（n表示正整数）时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到 ，根据△CDP和△CDA的高相等，得到 ，结合图形计算即可.
13．（2024八上·丰城开学考）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
，
故答案为：8．
【分析】根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，，，即可求解.
三、解答题
14．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
15．（2024八上·南宁开学考）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD．
证明：过点A作AE⊥BC于E
∵点D是BC边上的中点
∴BD＝CD
∵
∴S△ABD＝S△ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　；
（2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程；
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4），和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．
【答案】（1）3
（2）证明：如图，作AP⊥BC于点P，
∵CD+BD=BC， CD＝2BD，
∴BD=BC，
∵S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，
∴S△ABD＝S△ABC
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
理由：∵Q是BD的中点，
∴AQ是△ABD的中线，CQ是△BCD的中线，
∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD， ∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵ 点D是BC边上的中点 ，
∴S△ABD=S△ACD
∵ S△ABC＝6，
∴S△ABD=S△ABC＝3；
故答案为：3.
【分析】（1）由点D是BC边上的中点 ，可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，继而得解；
（2）作AP⊥BC于点P，由CD+BD=BC，CD＝2BD，可得BD=BC，由三角形的面积公式可得S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，继而得解；
（3）接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
16．（2023八上·大岭山期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”. 例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“3倍角三角形”. 反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线上取一点，过点作交于点，判断是不是“3倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以为端点画射线，交线段于点（点不与点、点重合），若是“3倍角三角形”，求的度数；
（3）如图②，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，若是“3倍角三角形”，求的度数.
【答案】（1）解：是.
理由：，
，
，
为“3倍角三角形”；
（2）解：，
∴当时，
是“3倍角三角形”，
，
当，即时，
是“3倍角三角形”，
，
综上，的度数为或；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
是“3倍角三角形”，
或，
，
或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义、三角形内角和和定理求∠ ABO的度数，根据"3倍角三角形”判断即可.
（2）根据"3倍角三角形"的概念解答即可.
（3）根据比较的性质得∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，最后根据"3倍角三角形”的定义求解即可.
1 / 11.1认识三角形（培优卷）-浙教版（2024）数学八（上）进阶同步练
一、选择题
1．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·海曙开学考）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（　　）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
4．（2024八上·南山开学考）如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2024八上·恩平期末）如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·青原月考）如图，已知两个内角的角平分线交于点D，两个内角的平分线交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·江北开学考）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（　　）
A．24 B．42 C．48 D．56
8．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（　　）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
二、填空题
9．（2024八上·海曙开学考）如图，　 　．
10．（2024八上·广州竞赛）一条长为2010的线段被分为三条长度都是整数的线段，并且这三条线段可围成一个三角形，所得三角形的最长边与最短边的差的最大值是　 　．
11．（2024八上·香洲期末）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为　 　．（用含的式子表示）
12．（2020八上·台州月考）在四边形ABCD中，P是AD 边上任意一点，当AP= AD时， 与 和 之间的关系式为：　 　；一般地，当AP= AD（n表示正整数）时， 与 和 之间关系式为：　 　.
13．（2024八上·丰城开学考）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　 　．
三、解答题
14．（2024八上·金华月考）已知中，
（1），，求、、的度数．
（2），，，是三角形的三边长，且，，，都是整数．化简：
15．（2024八上·南宁开学考）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD．
证明：过点A作AE⊥BC于E
∵点D是BC边上的中点
∴BD＝CD
∵
∴S△ABD＝S△ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　；
（2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程；
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4），和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．
16．（2023八上·大岭山期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”. 例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“3倍角三角形”. 反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线上取一点，过点作交于点，判断是不是“3倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以为端点画射线，交线段于点（点不与点、点重合），若是“3倍角三角形”，求的度数；
（3）如图②，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，若是“3倍角三角形”，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴06
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的中线、相交于点O，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据，然后再根据三角形面积公式求出，根据“的中线、相交于点O”，可知，O点是三角形ABC的重心，然后再根据三角形重心性质，可得，，，进而求出，，从而得出，最后再由四边形的面积，代入数据即可求解。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
∵中，，
∴，
∵、分别为及的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义及等量代换可得，最后利用角的运算求即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
，
平分，平分，
，，
平分，平分，
，，
，，
，
．
故答案为：A．
【分析】由三角形的内角和可求得∠EBC+∠ECB=28°，再由角平分线的定义可求得，，再利用三角形的内角和即可求∠A．
7．【答案】C
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
设，
∵DE=3AE，
∴，
∴，
∵F、G是边AB上的三等分点，
∴AF=FG=GB，
∴，
∴四边形FGDE的面积为：，
∵四边形FGDE的面积为14，
∴7x=14，
∴x=2，
∴，
∵D是BC的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比．连接，设，则，，由F、G是AB的三等分点可得出，从而有四边形FGDE的面积为7x=14，解方程求出x的值，最后根据三角形中线的性质得的值.
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图所示，连接
在△ABO中，
在△CEO中，
∵
∴
∴
．
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到：，，因为，可以得到：，所以转化为：即可.
10．【答案】1002
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设分成三段的长为a≥b≥c，则
a+b+c=2010，
并且ac≥2010-1004-1004=2.
a-c≤1004-2=1002.
即最长边与最短边的差，最大是1002.在a=b=1004，c=2时取得最大值.
故答案为：1002.
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求解.
11．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
12．【答案】；
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AP= AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴ ，
∵PD=AD-AP= AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴ ，
∴
；
当AP= AD（n表示正整数）时，
∵AP= AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴ ，
∵PD=AD-AP= AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴ ，
∴
；
故答案为： ； .
【分析】当AP= AD时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到 ，根据△CDP和△CDA的高相等，得到 ，结合图形计算即可；同理，当AP= AD（n表示正整数）时，根据△ABP和△ABD的高相等，得到 ，根据△CDP和△CDA的高相等，得到 ，结合图形计算即可.
13．【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
的面积为，
，
故答案为：8．
【分析】根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，，，即可求解.
14．【答案】（1）解：∵∠A-∠B=20°，∠C=2∠B，
∴∠A=∠B+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+20°+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
∴∠A=40°+20°=60°，∠C=2×40°=80°.
（2）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形的三边关系可得，a+c＞b，c-a＜b，
∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，
∴
=（a-b+c）-（c-a-b）-（a+b）
=a-b+c-c+a+b-a-b
=a-b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；三角形内角和定理；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合已知条件即可求解；
（2）由三角形的三边关系可知，，，得出∴a-b+c＞0，c-a-b＜0，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可．
（1）解：∵设，则，，
，
，
解得：，
，，；
（2）解：，，是三角形的三边长，
，，，
∴，，
．
15．【答案】（1）3
（2）证明：如图，作AP⊥BC于点P，
∵CD+BD=BC， CD＝2BD，
∴BD=BC，
∵S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，
∴S△ABD＝S△ABC
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
理由：∵Q是BD的中点，
∴AQ是△ABD的中线，CQ是△BCD的中线，
∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD， ∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵ 点D是BC边上的中点 ，
∴S△ABD=S△ACD
∵ S△ABC＝6，
∴S△ABD=S△ABC＝3；
故答案为：3.
【分析】（1）由点D是BC边上的中点 ，可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，继而得解；
（2）作AP⊥BC于点P，由CD+BD=BC，CD＝2BD，可得BD=BC，由三角形的面积公式可得S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，继而得解；
（3）接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
16．【答案】（1）解：是.
理由：，
，
，
为“3倍角三角形”；
（2）解：，
∴当时，
是“3倍角三角形”，
，
当，即时，
是“3倍角三角形”，
，
综上，的度数为或；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
是“3倍角三角形”，
或，
，
或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据垂直的定义、三角形内角和和定理求∠ ABO的度数，根据"3倍角三角形”判断即可.
（2）根据"3倍角三角形"的概念解答即可.
（3）根据比较的性质得∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，最后根据"3倍角三角形”的定义求解即可.
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