4.1多边形（1）
教学目标：
1、理解四边形的有关概念；
2、掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用；
3、体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想。
教学重点和难点：
重点：四边形内角和定理。
难点：由于四边形内角和定理的证明思路学生不易形成，是数学转化思想的应用，是本节教学的难点。
教学设想：四边形是学生在日常生活中接触得比较多的图形，但学生对于四边形的性质的推理和在日常生活中的应用等却存在。
教学过程设计：
一、章节引入：
目前，整个社会的经济有了很大发展，许多家庭的地面都铺上了地砖、木板，不知同学们有没有仔细看过这些地砖的图形是如何构造，它们有什么特征。这一章我们将学习多边形的有关性质。在小学已经对四边形的知识有所了解，今天我们将更系统的学习它的性质，并运用性质解决一些新问题。
二、讲解新课
1、生活中的四边形寻找：
小明家有一间木材加工场，发现有很多余料，你能从图中找出你所熟悉的图形吗
2、生活中的四边形举例，如图：
等。
3、四边形及其有关概念。
在同一个平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形。结合图形讲解四边形、四边形的边、顶点、角。强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写。如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB。
4、适当解释空间四边形和凸四边形与凹四边形（结合下图）的概念和区别：
凸四边形：四边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧。
凹四边形：四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧。
5、四边形内角和定理
（1）让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。或让学生利用拼图的方法（如图），通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600
。
或
让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证。
（2）利用手中的一副三角板拼出四边形。
已知：四边形ABCD；求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°（
）
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
由于学生有前面的铺垫，添辅助线对于学生来说并不难，因此本题在解决中要注意采用多种思维的思考，及题后的小结，当然对这个命题的证明，也可作如下启发或小结：
①我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？②能否把问题化归为三角形来解决？这样可以使学生对证明思路的转化更有体会。
（3）学生小组合作探讨出其他至少两种方法：
要求有恰当的图形，并简单地叙述解答的思路。
（以上的8种方法均为学生探讨所得(预设)，教师只做适当补充）
6、推导四边形的外角和定理
在图（2）中分别画出以A、B、C、D为顶点的一个外角，记作∠2，∠3，∠4，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值。
猜想并证明四边形的四个外角和等于360°。
解：∵∠1+∠α=∠2+∠β=∠3+∠γ=∠4+∠δ=180°
∴∠1+∠α+∠2+∠β+∠3+∠γ+∠4+∠δ=4×180°=720°
即：(∠1+∠2+∠3+∠4)+(∠α+∠β+∠γ+∠δ)=720°
∵∠α+∠β+∠γ+∠δ=360°(根据四边形的内角和是360°)
∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°－360°=360°
7、例题讲解：
例1、如图，四边形风筝的四个内角∠A，
∠B，
∠C，∠D的度数之比为1：1：0。6：1
。
求它的四个内角的度数。
分析：有了前面练习的经验，对于学生而言，本例的解答应该不成困难，所以可以放手让学生自行解决，教师只需要注意学生在解答中的不足及对学生能够进行恰当的小结即可。
解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0。6：1，∴可设∠A=x，则∠B=∠D=
x，∠C=0。6
x；又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴x+
x+
0。6x+
x=360°，∴x=100
∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×0。6
=60°
注意：本例在知识上主要是两个方面的应用，①四边形的内角和，②比例的转化。
例2、在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补，∠B比∠D大15°，求∠B、∠D的度数。
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=180°①
又∵∠B－∠D=15°②
由①、②得∠B=97。5°，∠D=82。5°
注意：当四边形的四个内角中有两个角互补时，另两个角也互补。这个结论也可让学生记一记。
四、小结：
1、四边形的概念。通过与三角形的类比，得到四边形了有关概念。
2、四边形的内角和定理与四边形外角和定理：
四边形的内角和等于360°，外角和也等于360°。
3、把四边形的问题转化成三角形问题来求，数学常用的化归思想。把四边形问题转化为三角形进行讨论，体现了转化的思想，即把未知转化为已知，把复杂转化为简单。这是我们研究知识解决问题的一种重要方法。
4、作四边形的对角线，是研究四边形的常用辅助线之一。
五、布置作业：4.1《多边形的内角和》教学设计
教学目标分析
1、理解多边形的定义及其相关概念；
2、主动探索、归纳及掌握多边形内角和定理，并熟练地运用定理解决相关问题；
3、通过多边形内角和定理的推导，感悟“从特殊到一般”的“化归”思想，激发学习兴趣，形成合作的团队精神。
教学重点是探索多边形内角和定理及定理的运用。
教学难点是探索多边形内角和定理。
根据以上分析，本节课的教学设计围绕以下五个环节：
1、创设情境，引入新课；
2、合作交流，探索新知；
3、应用新知，尝试练习；
4、归纳总结，形成体系；
5、布置作业，巩固提高。
第一环节：创设情境，引入新课。
1、情境与导入
（1）多媒体展示——上海世博会工作人员要对世博会中国馆旁的一块长方形草坪进行改建，想利用草坪的一角划分出一块直角三角形草坪，问：划分后剩下的草坪是什么图形？
（2）类比三角形的定义得出多边形的定义，学习多边形的边、顶点、内角概念。
（3）例举世博园里各国会馆建筑中的多边形实例，引出凸多边形与凹多边形的概念。
2、说明
（1）通过现实情境的展示，调动学生的情绪，激发进一步学习的兴趣。
（2）培养学生的动手能力。
（3）对于边角这些能在图形中识别而又不要求学生掌握的描述性定义，采取学生类比三角形的表示方法来归纳，渗透类比的数学思想。
（4）借助于自制的直观教具来说明多边形定义中“在平面内”这一条件，以及世博会中各参展国家的会馆建筑图片中的各式各样形状的平面图形来突出“线段”、“首位顺次连接”等这些概念中的关键词，易于学生理解，也达到了化解难点的目的。同时，也利用两张图片，自然引出凹凸多边形的概念及如何区分的方法，也进一步规范认识：今后如教材中没有特殊说明的话，所指多边形都是凸多边形。
（5）把学生的注意力自然引入本课研究方向，为探索多边形的内角和作铺垫。
第二环节：合作交流，探索新知。
1、合作与探究
（1）定义：联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
（2）观察图形并回答
四边形、五边形、六边形分别从一个顶点出发可以画多少条对角线？类比归纳得到从边形的一个顶点出可以画多少条对角线？类比归纳得到：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线把这些多边形分别分成了个三角形。请计算四边形、五边形、六边形、边形的内角和。
多边形的内角和定理：边形的内角和等于
(3的整数)。
（3）探究
我们知道，可以通过把多边形分成几个三角形，从而推出多边形的内角和公式，那还有其他的划分方法吗？请以四边形为例小组合作交流。
2、说明
（1）通过学习了解什么叫做多边形的对角线后自然过渡到如何求多边形的内角和。
（2）小组交流合作可以激发每个学生参与，落实面向全体学生，学生可以主动地、富有个性地学习，形成知识辐射。
（3）鼓励学生敢于在课堂发表自己的不同见解，培养探索精神。
（4）通过几何画板，动态展示多种分割方法，发散学生的思维。
（5）从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。利用几何画板的动态演示，达到教学的更优化效果。
第三环节：应用新知，尝试练习。
1、应用与尝试
（1）例题讲解一
例1.求十边形的内角和。
口答：五边形、六边形、十二边形的内角和分别是多少度？
例2.已知一个多边形的内角和是，求它的边数。
（2）尝试练习
1）n+1边形的内角和比n边形的内角和大
度；
2）一个多边形的内角和不可能是（
）
A、1800°
B、360°
C、1000° D、900°
3）在四边形中，，
则
度
4）如图DF是边CD的延长线，则图中=
度
5）一个多边形的内角和是1800°，它是
边形。
（3）例题讲解二
例3.一个多边形的各个内角都是120°，求它的边数。
（4）巩固与应用
1）一个多边形的各个内角都是90°，则它是几边形？
2）小明和妈妈参观世博园时正好看见建筑工人在铺设绿地人行道，小明发现他们选用的是每条边和每个内角都相等的六边形地砖，于是他问妈妈：能不能选用每条边和每个内角都相等的五边形地砖呢？你能回答小明的问题吗？
2、说明
（1）例题1是已知多边形的边数求内角和；例题2是已知多边形的内角和求边数。这两题是教师板书，学生口答一起完成，达到熟悉多边形内角和定理的定理，并熟练应用的目的。
（2）尝试练习1）中的练习比较简单，其中前2道比较基本，可采用抢答的形式完成，目的是复习当天所学，了解学生学习效果。
（3）安排例题3的目的是为后面的巩固应用设计好铺垫。
（4）在巩固与应用2）中的小题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，也起到首尾呼应，让课堂气氛活跃。
（5）第5）题让学生感受数学的趣味性，以及与实际生活的联系。
第四环节：归纳总结，形成体系。
1、提问与总结
教师提问：这节课你学到了哪些知识？你还学到了哪些解决数学问题的方法呢？
2、说明
鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会，有利于培养归纳、总结的习惯和能力，让学生自主建构知识体系。
第五环节：布置作业，巩固提高。
1、练习与提高
（1）编题与解题：围绕
n边形的内角和公式
(n－2)·180°，自编自解3道习题。
（2）练习册：练习册22.1。
（3）选做题：一同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，可能吗？当他发现错了之后，重新检查，发现少算了一个内角，你能求出这个内角是多少度？它的边数是几呢？
2、说明
适当的对作业进行分层设计，让学有余力的学生得到拓展。
四、教法特点与预期效果
本节课本人采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程贯穿了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。合理地利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
本节课把学生熟悉的世博会场景引入课堂，为学生提供丰富多彩的学习素材，在教学上充分发挥小组合作的优势，力求使每个学生都积极参与，都有所收获。学生能主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等探索实践活动，并能应用所学数学知识去分析和解决实际问题。在教师的指导下，他们利用已有的知识、经验、背景材料等，通过自主探究、合作交流，进行“再创造”、“再发现”而获得所学数学知识。在教学中我注重了知识学习的结果，但更注重探索过程，并在这个过程中培养学生的独立思考、大胆创新的个性品质。同时也做到了学习途径和手段多样性，学习评价多元性。
板书设计：多边形内角和
3、例题1：（略）1、多边形定义：
例题2多边形的相关概念：对角线、
边、角、顶点2、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180°(n≥3的整数)课题：4.1多边形内角和
科目：
数学
教学对象：八年级学生
课时：
1
提供者：
单位：初级中学
一、教学内容分析
对于多边形内角和的研究，它不仅是学习后面知识的基础，并且是研究多边形的重要依据。因此必须熟练地掌握多边形内角和，并且灵活的应用。
二、教学目标
1、知识目标：了解多边形内角和公式。2、解决问题：通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。3、情感态度目标：通过猜想、推理活动感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。
三、学习者特征分析
学生通过前面的学习已了解了几何图形的概念及特征，通过探索多边形内角和公式，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。
四、教学策略选择与设计
通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。
五、教学重点及难点
重点：探索多边形内角和。难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
（一）创设情境，设疑激思。师：大家都知道三角形的内角和是180°
，那么四边形的内角和，你知道吗？
活动一：探究四边形内角和。在独立探索的基础上，学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。方法一：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是360°。方法二：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是360°。
学生分组讨论,师生互动合作。经过对各种情况得分析,归纳,总结,对学生渗透分类讨论的数学思想。
接下来，教师在方法二的基础上引导学生利用作辅助线的方法，连结四边形的对角线，把一个四边形转化成两个三角形。师：你知道五边形的内角和吗？六边形呢？十边形呢？你是怎样得到的？师：你真聪明！做到了学以致用。交流后，学生运用几何画板演示并验证得到的方法。得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、十边形的内角和。类比四边形、五边形的讨论方法最终得出，六边形内角和是720°，十边形内角和是1440°。
学生模仿上面的研究方法，独立完成操作过程，通过交流，归纳得出结论。活动二：探究五边形、六边形、十边形的内角和。学生先独立思考每个问题再分组讨论。关注：（1）学生能否类比四边形的方式解决问题得出正确的结论。
（2）学生能否采用不同的方法。学生分组讨论后进行交流（五边形的内角和）方法1：把五边形分成三个三角形，3个180°的和是540°。方法2：从五边形内部一点出发，把五边形分成五个三角形，然后用5个180°的和减去一个周角360°。结果得540°。方法3：从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形，然后用4个180°的和减去一个平角180°，结果得540°。方法4：把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180°加上360°，结果得540°。
学生动手操作，通过实践、自主探索、交流，获得新知。
（二）引申思考，培养创新。师：通过前面的讨论，你能知道多边形内角和吗？（三）实际应用，优势互补。
活动三：探究任意多边形的内角和公式。思考：（1）多边形内角和与三角形内角和的关系？
（2）多边形的边数与内角和的关系？
（3）从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系？学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流。发现1：四边形内角和是2个180°的和，五边形内角和是3个180°的和，六边形内角和是4个180°的和，十边形内角和是8个180°的和。发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180°。发现3：一个n边形从一个顶点引出的对角线分三角形的个数与边数n存在（n-2）的关系。得出结论：多边形内角和公式：（n-2）·180。1、口答：（1）七边形内角和（
）
（2）九边形内角和（
）
（3）十边形内角和（
）2、抢答：（1）一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？
（2）一个多边形的内角和是1440°
，且每个内角都相等，则每个内角的度数是（
）。3、讨论回答：一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形每个内角等于多少度？
让学生感受举例的作用。播放多边形内角和在生活中的应用.检测学生对知识的掌握情况及应用能力。
（四）概括存储。（五）作业：练习册
学生在教师引导下回顾反思，归纳整理。学生自己归纳总结：1、多边形内角和公式。2、运用转化思想解决数学问题。3、用数形结合的思想解决问题
。
再次渗透分类的数学思想，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验。
七、教学评价设计
充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生
( http: / / www.21cnjy.com )经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。
八、板书设计
多边形内角和1、总结：多边形内角和。
九．教学反思1、教的转变。本节课教师的角
( http: / / www.21cnjy.com )色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生画图、测量发现结论后，利用几何画板直观地展示，激发学生自觉探究数学问题，体验发现的乐趣。2、学的转变。学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。3、课堂氛围的转变。整节课以“流畅、开放、
( http: / / www.21cnjy.com )合作、‘隐’导”为基本特征，教师应尽量让学生自己讨论、思考归纳结论，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。4.1多边形（2）
【教学目标】
知识与能力：
1．了解多边形定义。
2．掌握多边形内角和的计算公式.
3.
掌握“多边形外角和等于360°”．
4．会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题．
过程与方法：
1.
通过类比归纳得出多边形的概念，培养学生的类比能力，渗透化归思想方法。
2.
探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；3.
通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性；
4.
探索多边形内角和公式，体验归纳发现规律的思想方法．.
情感与态度：
1.
通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；
2．进一步发展学生合理推理的意识和主动探索的习惯，认识到数学与现实生活紧密联系.
3。使学生在与同伴合作交流的过程中，获得成功的体验，培养学习数学的兴趣。
【教学重点、难点】
重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式．
难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点．。
【教学过程】
1、创设情境，导入新课
（1）
昨天我们已经学习了四边形的定义，今天清晨，小明在广场的小路上跑步，请问小明跑步的图案可以抽象出什么图形呢？
（2）上图广场上的小路可以抽象出一个边数为5的多边形——五边形。我们知道边数为
3的多边形——三角形，边数为4的多边形——四边形，……边数为n的多边形——n边形(n≥3，n是整数).
[设计意图：数学源于生活。教师创设生活情境，通过类比让学生有意识地整理所学习
的内容，激发了学生的探究欲望和兴趣，从而自觉参与数学知识整理的活动和探究新知的过程。]
2、合作交流，探究新知
（1）你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？先启发学生回顾四边形的内角和及推理
方法，提出多边形对角线定义：连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线（是下面解决多边形问题的常用辅助线）。
（2）启发学生用连结对角线的方法把多边形划分成若干个三角形来完成书本第96页的合作学习。
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
0
1
1×180°
4
1
2
2×180°
5
6
…
…
…
…
…
n
（3）再启发学生观察所能划分成的三角形个数与边数n有关。
（4）结论：n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3).
（5）及时巩固：
1）八边形、十二边形的内角和分别是多少？
2）已知一个多边形的内角和为1260°，
这个多边形是几边形？
[设计意图：从学生已有的知识经验展开教学，通过类比发现知识间的内在联系，顺利地形成合理的认知结构。
（6）小明沿这个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。他跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
（7）先启发学生回顾四边形的外角和及推理方法，由学生自己完成推论：任何多边形的外角和为360
（8）及时巩固：
1）十边形的内角和为______，外角和为_____
2）已知一个多边形的每一个外角都是72o，求这个边形的边数为______
3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且
∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
[设计意图：用类比、迁移的方法，使学生轻松地得出任何多边形的外角和为360 。
学生不仅掌握了数学知识，而且潜移默化地受到了数学思想方法的熏陶。]
3、学以致用，体验成功
（1）判断：
一个多边形中，锐角最多只能有三个
（
）
（2）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和的度数（
）
A.增加180°
B.不变
C.增加360°
D.减少180°
（3）一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线
（4）已知多边形一个内角的外角与其余各内角的度数和600°.求这个多边形的边数。
[设计意图：巩固练习是课堂教学的重要环节，是新知教学的补充和延伸，是形成知识结构和发展能力的重要过程。教师通过巩固练习，使学生进一步加深了对多边形知识的认识，积累了数学活动经验，体验了学习成功的快乐。]
4、例题讲解，适当提高
例
一个六边形如图.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
启发：先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以证明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，找到解题的途径。
解：连结AD，如图
∵AB∥DE，
CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E=
1／2
×720°=360°
引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。
∵
CD∥AF∴∠1=∠R,同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，
∴∠AFE=∠DCB
同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=
1／2
×720°=360°
[设计意图：有层次地展开教学活动，着力于学生能力的提高，不同的人在数学上得到不同的发展，培养学生积极思考探究的精神。]
5、深化知识，培养能力
（1）小明跑步的五边形被一条直线截去一个角，剩余部分的多边形的内角和，外角和有
没有变化？
[设计意图：在练习中设计了开放题，这样既巩固了本节课所学知识，提升了能力，又
认识到数学与现实生活紧密联系，这样安排还使整节课首尾呼应。]
6、总结回顾，反思内化
这节课学了什么？学生自由发言。
教师小结：（1）从n边形的一个顶点出发有
条对角线.
（2）一个n边形共有
条对角线。
（3）n边形的内角和为
（4）任何多边形的外角和为360°
（5）数学思想：类比（多边形定义类比四边形定义）
转化（多边形内角和问题可以转化为三角形问题）。
7、作业布置，延伸拓展 4.1
多边形（2）
教学目标：
1、探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法；
2、掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°；
3、会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题。
教学重点和难点：
重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式；
难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点。
教学设想：
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在分析理解性质的证明过程时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。
教学过程设计：
一、创设情境，导入新课：
展示图片，增加学生的感官感受。上图中美国五角大楼的边缘是一个边数为5的多边形——五边形。如下图中的花边，则主要是由八边形图案组成。又如：我们知道边数为3的多边形——三角形，边数为4的多边形——四边形，……边数为n的多边形——n边形(n≥3)。
多边形定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形。
让学生例举多边形在生活中的实例。（对于学生而言，他们所能举的例子通常是四边形或六边形<地砖>，很少会想到如蜂巢为六边形，亭子则有八边形和六边形，工艺品则有多种多边形的组合等，教师应该事先加以注意，并在学生的回答中适当地加以引导。也可以结合一些实例向学生展示，增加学生对于了解日常生活中多边形的应用的意识和认识。）如：
连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线（这是解决多边形问题的常用辅助线）。——解决多边形的问题，就是将它转化为三角形或四边形。如图：
二、合作交流，探究新知
（1）你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？先启发学生回顾四边形的内角和及推理方法，下面可用连结对角线这同样的方法把多边形划分成若干个三角形来完成书本第96页的合作学习。
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
0
1
1×180°
=180°
4
1
2
2×180°
=360°
5
2
3
3×180°
=540°
6
3
4
4×180°
=720°
…
…
…
…
…
n
n-3
n-2
(n-2)×180°
（2）再启发学生观察所能划分成的三角形个数与边数n有关。
（3)结论：n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3)。
（4）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过一个角，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
主要利用的是①可以利用五边形的外角和来计算；
②可以应用转身的角度（一周）来思考。
（5）先启发学生回顾四边形的外角和及推理方法，由学生自己完成推论：任何多边形的外角和为360 。
多边形的外角和
三、应用新知，体验成功
（1）判断：
一个多边形中，锐角最多只能有三个。（
）
一个多边形的内角和等于1080°，则它的边数为8。
（
）
（2）完成书本第97页的课内练习1。2。
四、掌握思维方法，例题讲解
例、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
因本题中学生的思考思路通常不容易形成，可以作适当的教师启发：先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以证明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，转化思想的应用，找到解题的途径。
方法一方法二
解：连结AD，如图一
∵AB∥DE，
CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E=
1／2
×720°=360°
引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。（如图二）
∵
CD∥AF∴∠1=∠R，同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，∴∠AFE=∠DCB
同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=
1／2
×720°=360°
本题对于学生而言，主要是没有或很少接触此类问题的时机，因此学生的思路通常很有局限性，在解决问题之后，可以培养学生进行合适的题后小结，尤其是寻找解题途径的思路，或解题中常用的转化方法——利用对角线将多边形转化为三角形或四边形等比较熟悉的问题来解决（可在内部，也可向外拓展）。
5、深化知识，培养能力
（1）一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
（3）有一个n边形的内角和与外角和之比为9：2，求n边形的边数。
（4）铺地板的六角砖内角和是多少度？
（5）公园里的八角亭的内角和是多少度
（6）十边形的内角和是多少？外角和呢
（7）若一个n边形内角和是1800°
，则n=
（8）n边形的每个内角都等于120°，则n=
（9）n边形的每个外角都等于72°，则n=
（10）一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线
（11）五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o，且∠B：∠C：∠
E=3：2：4，则∠C的度数为_____
（12）完成书本第98页的作业题4。
6、小结内容，自我反馈
学生自由发言：这节课学了什么？（师小结提问：学了什么？有什么规律？有什么常用方法？）
7、作业布置
