2.3三角形的内切圆
教学目的：
1．使学生掌握三角形的内切圆的作法．
2．使学生掌握三角形内心的定义和性质．
教学的重点和难点：
三角形的内切圆的作法和三角形的内心的应用即是重点，又是难点．
教学过程：
一、复习与提问
(学生回答)
角的平分线的性质定理和判定定理
二、讲授新课
1．和三角形的各边都相切的圆．
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？(使学生认识到作三角形的内切圆的实际意义)就是下面的问题．
例1
作圆，使它和三角形的各边都相切．
已知：△ABC
求作：和△ABC各边都相切的圆．
教师先画出草图(图7－161)，然后引导学生分析，寻求作图的思路．(抓住作圆需要“确定圆心和半径”这个关键)提出问题让学生答出：(1)作圆的关键是什么？(确定圆心和半径)；(2)假设⊙I是所求作的圆．并且⊙I和△ABC的三边分别切于点D、E、F，圆心I应满足什么条件？(点I到三角形的各边的距离都相等)怎样根据条件确定圆心I的位置？(点I在三角形ABC的各内角平分线上)；(3)当圆心I确定之后，半径又应怎样确定？(点I到三角形各边的距离)
分析得出，作圆首先是确定圆心的位置，要作与△ABC三边都相切的圆，就是要求出一点作为圆心，使它和三角形的各边的距离都相等，我们知道，AB、BC两边距离相等的点一定在∠B的平分线上，到AC、BC两边距离相等的点也一定在∠C的平分线上．而∠B、∠C平分线的交点又必在∠A的平分线上(为什么？让学生回答)这就确定了所作圆的圆心位置．再由这点到三角形各边距离相等，确定出所求作圆的半径．由此得出三角形的内切圆的作法．教师重新作图以示分析和作法的区别．要求学生自己说出作法．
作法：1．作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I．
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D点．
3．以点I为圆心，ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
(启发学生答出证明过程)
证明：过点I分别作CA、AB的垂线、垂足为点E、F．
∵点I在∠ABC和∠ACB的平分线上．
∴
IF=ID，IE=ID
∴
D、E、F都在⊙O上．
又∵
BC、CA、AB经过点D、E、F且BC⊥ID，CA⊥IE，AB⊥IF．
∴△ABC的三边BC、CA、AB都与⊙I相切．
根据作法提出和三角形各边都相切的圆能作出几个？(学生自己讨论)得出和三角形各边都相切的圆可以作出一个且只可以作出一个这个结论．
2．三角形的内切圆及有关概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
要区别开三角形的内切圆及圆的外切三角形，并与三角形的外接圆与圆内接三角形的概念相比较，以加深对这四个概念的印象．教师要强调学生弄清“内”与
“外”，“接”与“切”的意思．“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”．还要区别开三角形的内心和外心，三角形的内心是三角形内角平分线的交点，若三角形的内心已知，过三角顶点和内心的射线平分三角形的内角，这一点要向学生说明．
3．应用举例
例2
如图7—162，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是三角形的内心．
求：∠BOC．
分析：要求∠BOC的度数，只要知道∠
( http: / / www.21cnjy.com )OBC和∠OCB的度数就可以了．因为O是三角形的内心，OB、OC是∠ABC和∠BCA的平分线，所以再根据已知条件，就能求出∠BOC的度数．
(由教师引导学生分析，得出解法，教师再写出解题过程．)
解：∵
O点是△ABC的内心
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)
=180°-(25°+37.5°)=115.5°
∴
∠BOC等于117.
5°．
三、小结
1．三角形的内切圆的作法．
2．三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点到三角形的各边的距离都相等．2.3三角形的内切圆
教学目标：
1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；
5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想.
教学重点：三角形内切圆的概念和画法.
教学难点：三角形内切圆有关性质的应用.
教学过程
一、知识回顾
1、确定圆的条件有哪些？
（1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点
2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？
（角平线上的点到这个角的两边的距离相等.）
3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？
（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心）
二、创设情境，引入新课
1、合作学习：李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.应该怎样画出裁剪图？
探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心？
2、探究三角形内切圆的画法：
（1）．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
（圆心0在∠ABC的平分线上.）
（2）．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？
（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上.）
（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？
（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）
(
4)．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？21世纪教育网
（只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点.
）
教师示范作图.
3、三角形内切圆的有关概念
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较.
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.
（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.
三、新知应用
例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC的内心
∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠
ACB的平分线
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB
∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°
∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°
小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角.
练习：课本第59页作业题第1题和第3题.
例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面
( http: / / www.21cnjy.com )为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm.
求圆柱底面的半径.
分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由
△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接
OA即得OA平分∠ACB=30°.
例3、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC=
分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，
后面由学生自己完成.
练习：第59页课内练习第2题，作业题第5题
备选例题：
如图，
△ABC中，
E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DE=DB.
四、小结：
1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？
2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：
图形
⊙O的名称
△ABC的名称
⊙O叫做△ABC的内切圆
△ABC叫做⊙O的外切三角形
⊙O叫做△ABC的外接圆
△ABC叫做⊙O的内接三角形
圆心O的名称
圆心O确定
“心”的性质
圆心
O叫做△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三边的距离相等
圆心
O叫做△ABC外心
作两边的中垂线
外心O到三个顶点的距离相等
3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：
如图，⊙I切△ABC三边于点
D、E、F，
则AD=AF=
BD=BE=
CE=CF=
特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID
是正方形，
内切圆的半径
(其中r
、l分别是内切圆的半径和三角形的周长)
掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助.
四、布置作业：
